1、总复习一圆一、圆的认识(一)1.圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离都相等。2.圆的画法。(1)手指画圆法。以拇指为固定点,食指与拇指间的距离不变,将食指绕拇指旋转一周,食指的运动轨迹就形成了一个圆。(2)实物画圆法。把圆形物体放在纸上固定不动,用笔沿实物的边缘描一周,就画成了一个圆。(3)系绳画圆法。用一个图钉、一根线(没有弹力)和一支笔画圆的方法:用图钉将线的一端固定在一点上,用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周,就画成了一个圆。(4)圆规画圆法。根据圆心到圆上任意一点的距离(即半径)都相等,可以用圆规来画圆。步骤如下:把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);
2、把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一个圆。3.圆的各部分名称。在食指绕拇指旋转一周的过程中,拇指所按的点不变,食指与拇指间的距离不变。用图钉、线和笔画圆时,图钉要固定好,线要拉直。用圆规画圆,针尖所在的位置是圆心,两脚间的距离是半径。1.同一个圆里有无数条半径,长度都相等。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第1页(1)圆心。画圆时,圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母 O 表示。(2)半径。用圆规画圆时,圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径,即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母 r 表示。在同一个圆里,所有
3、半径的长度都相等。(3)直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母 d表示。在同一个圆里,所有直径的长度都相等。4.圆的各部分之间的关系。圆有无数条直径,无数条半径;同圆(或等圆)中的直径都相等,半径都相等;直径的长度是半径的 2 倍,可以表示为 d=2r 或 r=d2。5.圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。6.圆在生活中的应用。汽车车轮、自行车的车轮、球、齿轮、方向盘、圆规、井盖、钟表、水杯、环岛二、圆的认识(二)1.圆的对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。2.常见的轴对称图形的对称轴的数量。正方形有 4 条、长方形有
4、2 条、等边三角形有 3 条、等腰三角形有 1 条、等腰梯形有 1 条和圆有无数条。2.直径是圆内最长的线段。1.判断直径和半径时,一定要看其是否经过圆心。2.圆的大小与半径的长短有关,与它所在的位置无关。3.在同圆(或等圆)中,“d=2r”才能成立。圆的对称轴是直径所在的直线,而不是直径。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第2页3.利用圆的对称性确定圆心的方法。方法一把圆形纸片按下面的方法对折,两条折痕的交点就是圆心。方法二把圆形纸片沿不同的方向任意折出两条直径(直径所在的直线即对称轴),两条直径(折痕)的交点就是圆心。4.圆与内接或外接正多边形组成的组合图形的对称轴是经过圆心的正
5、多边形的对称轴。三、欣赏与设计综合运用旋转、轴对称和平移的知识设计图案。四、圆的周长1.圆的周长的意义。圆的周长就是圆一周的长度,也可以理解为将圆滚动一圈的长度。直径的长短决定圆周长的大小。2.圆周长的测量方法。方法一用滚动法测量圆的周长。在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A 对准直尺的 0 刻度,然后使圆形硬纸板在直尺上向右滚动一周,点 A 所指的新刻度就是这个圆形硬纸板的周长。方法二用绕线法测量圆的周长。在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A 对准线的一个点,然后用线从点 A 开始绕圆形硬纸板一周,做好标记,再拉直并测量绕圆形硬纸板一周的线的长度,该长度就是圆形硬纸板的周长。易错点:
6、对称轴是一条直线,所以直径所在的直线是圆的对称轴。利用圆可以设计出美丽的图案,并且设计图案时可以综合运用平移、旋转和轴对称的知识。绕线时,要选择没有弹性的线,并使线与圆形硬纸板的边缘完全重合。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第3页3.圆周率的意义。圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用字母表示,计算时通常取 3.14。4.圆的周长的计算公式。如果用字母 C 表示圆的周长,那么 C=d 或 C=2r。5.圆的周长计算公式的应用。已知圆的半径、直径和周长三种量中的一种量,就可以求出另外两种量。(1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2r。(2)已知圆的直径,求圆的周长:
7、C=d。(3)已知圆的周长,求圆的半径:r=C2。(4)已知圆的周长,求圆的直径:d=C。五、圆的面积1.圆的面积的含义。圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。2.圆面积的计算方法:方法一用数格子的方法估算出圆的面积。在圆内画方格数一数,得到圆的面积。此方法无法得到圆的面积的精确值。方法二转化法:将圆转化成平行四边形。(1)将一个圆形纸片分别分成 8 等份、16 等份后剪切、拼接。所有圆的圆周率都相等,约等于 3.14。易错点:圆的周长的一半与半圆的周长不同,半圆的周长包括圆周长的一半和一条直径的长度。半圆的周长用公式表示为C=r+d=r+2r。错例:=3.14分析:在计算时
8、,圆 周 率通 常 取3.14,3.14是一个近似值。是一个无限不循环小数,它的近似值是3.14,但它并不等于3.14。正解:3.14关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第4页等分圆时,要沿着半径剪开;拼接时,也要使半径重合。发现:把圆分成 8 等份、16 等份后,可以拼成近似的平行四边形。(2)将一个圆形纸片分成 32 等份后剪切、拼接。发现:把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就越接近平行四边形。3.拼成的平行四边形和圆之间的比较。观察圆和剪拼后的图形,可以发现:(1)在剪拼的过程中,图形面积的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行四边形的面积。(
9、2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相当于圆的周长的一半。4.公式推导。圆的面积=平行四边形的面积=底高=C2r=rr把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就越接近平行四边形。1.拼接后的图形总有两条边是曲线,所以只能叫“近似平行四边形”。2.圆的面积公式的推导过程中运用了转化的思想。r与 2r 的区别:r表示的是 rr,读作 r的平方;2r 表示的是r+r。半径越长,圆的面积。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第5页=r圆的面积计算公式:(1)文字公式为圆的面积=圆周率半径的平方;(2)如果用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是 S=r
10、。5.把圆转化成三角形,推导圆的面积计算公式。(1)把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿一条半径剪开,得到许多长短不同的草绳,然后把草绳按由短到长的顺序排列,拼成一个三角形。(2)三角形的面积相当于圆的面积,三角形的底相当于圆的周长,高相当于圆的半径。三角形的面积=底高2,所以圆的面积公式为S=2rr2=r。6.圆的面积计算公式。如果用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是 S=r。7.圆的面积计算公式的应用。求圆的面积必须知道圆的半径。当已知圆的直径或周长,求面积时,必须先求出圆的半径。(1)已知圆的半径,求圆的面积:S=r。(2)已知圆的直径,求圆的面积:r=d2,S=
11、r=d22。(3)已知圆的周长,求圆的面积:r=C2,S=r=(C2)。8.圆环的面积计算公式。内圆面积:S 内=r错例:一个圆的半径是 1.5 cm,它的面积是多少?错解:3.141.52=3.143=9.42(cm)。正解:3.141.52=3.142.25=7.065(cm)。先算内圆的面积,后算外圆的面积,最后用外圆面积减去内圆面积。半圆的面积:S=r2关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第6页外圆面积:S 外=R圆环面积:S 环=R-r=(R-r)半圆的面积=圆的面积2组合图形的面积:几种基本图形的面积相加;几种基本图形的面积相减。二分数混合运算一、分数混合运算(一)1.分数
12、混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同,没有括号的,按从左到右的顺序计算;有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。2.“连续求一个数的几分之几是多少”的解题方法:依据分数乘法的意义,用这个数连续乘几分之几。3.分数连乘的运算顺序:没有括号的,按从左到右的顺序计算;有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。4.根据“除以一个数,等于乘这个数的倒数”,可以把分数乘除混合运算或分数连除直接改写成分数连乘进行计算。二、分数混合运算(二)1.整数的运算律在分数运算中同样适用。在分数混合运算中运用运算律,可以使计算简便。2.“已知一个数比另一个数多(或少)几分之几,求这个数”的解题方法:先找
13、准题中不同的单位“1”,再根据已知或未知的量确定计算方法。在分数混合运算中运用运算律,可以使计算简便。关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第7页(1)先根据分数乘法的意义,求出多(或少)的几分之几是多少,再用加(或减)法求这个数;(2)先求出另一个数占单位“1”的几分之几,再根据分数乘法的意义,用乘法计算。3.“已知总量及一部分量占总量的几分之几,求另一部分量”的解题方法:(1)总量-总量已知部分量占总量的分率=另一部分量;(2)总量(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量。三、分数混合运算(三)1.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的解题方法:(1)先求比这个数
14、多(或少)的数占这个数(即单位“1”)的几分之几,再根据分数乘法的意义列方程解答;(2)先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少,再根据加减关系列方程解答。2.“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量,求总量”的解题方法(用方程解):把总量看作单位“1”,可以根据“总量(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根据“总量-总量已知部分量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。乘加、乘减混合运算中包含两级运算,计算时要先进行第二级运算,再进行第一级运算。求单位“1”是多少,用方程法解答比较简便。画图理解数量关系时,要先画表示单位“1”的量。关注微信公众号“捷思
15、课堂”获取更多学习资料！第8页三观 察 物 体一、搭积木比赛1.辨认并画出从不同方向(上面、正面、左面)观察到的立体图形(不超过 5 个小正方体组合)的形状。要想正确画出从不同方向(上面、正面、左面)观察到的立体图形(5 个小正方体组合)的形状,应选好观察的方向,并确定观察到的立体图形画成平面图形后的正确位置。2.根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立体图形所需要的小正方体的数量范围。(1)根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立体图形所需要的小正方体的数量范围时,可以采取根据给出的平面图形还原立体图形的方法,将可能搭成的立体图形的各种情况一一列举出来,然后数出需要的
16、小正方体的数量。(2)根据从两个方向看到的形状搭立体图形的方法是不唯一的。3.根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量还原立体图形。根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量可以还原成不同的立体图形,要把可能搭成的立体图形的各种情况一一列举出来。检验方法:根据平面图形摆立体图形时,摆完后要进行观察,验证所看到的形状与已知平面图形是否相符。要综合从不同方向看到的所有平面图形,才能确定原来的立体图形是什么形状。错例:选择:观察下面的立体图形,下面的说法中正确的是(C)。A.从正面和右面观察到的形状相同B.从上面和左面观察到的形状相同C.从左面和右面观察到的形状相同分析:左、右的位置具有相对性,一般情况下,从左面和右面观察到的 形状有所 不同。题中的立体图形关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第9页4.三视图:三视图是观察者从三个不同方向观察同一个立体图形而画出的平面图形。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面看,所得到的视图称为主视图,也叫正视图,能反映物体前面的形状;从物体的上面向下面看,所得到的视图称为俯视图,能反映物体上面的形状;从物体的左面向右面看,所
