1、专题24.10 圆周角（知识讲解）【学习目标】1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；【要点梳理】【知识点一】定义：顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角。(两条件缺一不可)；【知识点二】圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。【知识点三】圆周角定理推论：推论1：在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等；推论2：直径(半圆)所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦为直径。【知识点四】常见的辅助线作法： 常见辅助线：有直径可构成直角，有90度圆周角可构成直径； 找圆心的方法:作两个9
2、0度圆周角所对两弦交点)。【知识点五】圆内接四边形性质：1、 圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补。(任意一个外角等于它的内对角)【知识点六】补充知识点：补充1：两条平行弦所夹的弧相等；补充2：圆的两条弦1在圆外相交时,所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半；（2)在圆内相交时,所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半；补充3：同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角,最小的是圆外角。【典型例题】类型一、圆周角概念1观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见分析，(c)图中3、4、BAD是圆周角解：(a)1顶点在O内，两边与圆相交，所以1不是圆周角；(b)
3、2顶点在圆外，两边与圆相交，所以2不是圆周角；(c)图中3、4、BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以3、4、BAD是圆周角(d)5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以5不是圆周角；(e)6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知6不是圆周角.【点拨】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键举一反三：【变式】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：【答案】图（3）是圆周角图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角【分析】根据圆周角的定义对各图进行判断即可解：图（3）顶点在圆上
4、，并且两边都与圆相交，是圆周角图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角【点拨】本题考查了圆周角定义，解题关键是明确顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角类型二、利用圆周角定理求值或证明2如图，点A，B，C，D在O上，求证：(1) ACBD； (2) ABEDCE 【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似解：(1)BD=AC(2)B=C；AEB=DECABEDCE【点拨】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键举一反三：【变式1】如
5、图，在菱形ABCD中，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点(1) 求证：AB为的直径(2) 请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据菱形的性质可得APB=90，再由90角所对的弦为圆的直径，即可求证；（2）延长DA交于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为的直径，可得AQB=90，从而得到BDQ+PBQ=90，再由菱形的性质可得ABP+PBQ=90，再由圆周角定理，即可求解解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，即APB=90，经过A，B，P三点AB为的直径；(2)解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，理由：连
6、接BQ，AB为的直径，AQB=90，BDQ+PBQ=90，四边形ABCD是菱形，ACBD，AB=AD，APB=90，BDQ=ABP，ABP+PBQ=90，ABP+BAP=90，BAP=PBQ，BAP=BQP，PBQ =BQP，BP=PQ【点拨】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键【变式2】如图，在中，以AC为直径作O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交O于点F，连接AF(1) 求证：；(2) 若，求AF的长【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）根据，根据等边对等角即可得证；（2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根
7、据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长解：(1)，(2) ，四边形是平行四边形，连接， 是直径，【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键3如图，四边形ABCD内接于O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED(1)求证：；(2)若，O的直径长为 【答案】(1) 见分析 (2) 10【分析】（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到A=DCE，证明ABDCED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得AOD=60，根据等边三角形的判定定理可得
8、AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径(1)证明：D是弧AC的中点，AD=CD，四边形ABCD内接于O，A=DCE，在ABD和CED中，ABDCED（SAS），BD=ED(2)解：连接OA，OD，如图，D是弧AC的中点，ABD=CBD=，AOD=2ABD=230=60，OA=OD，AOD是等边三角形，半径OA= AD=5，直径长=10故答案为：10【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质举一反三：【变式1】如图， A，是半圆上的两点，是的直径，是的中点(1) 在上求作一点，使得最短；(2) 若，求的最小值【答案】
9、(1) 作图见分析 (2) 【分析】（1）作出B关于CD的对称点，连接，交CD于P点，P就是所求的点； （2）延长AO交圆与E，连接，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得A的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解(1)解： 作，交圆于，然后连接，交CD于P点，P就是所求的点；此时：(2) : 延长AO交圆于E，连接 ， AOD=80，B是的中点， ， 又， AE是圆的直径， ， 而 直角中， 【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键【变式2】如图，点A，B分别在DPE两边上，且，点C在DPE平分线上(1)连接AC，BC，求证：
10、；(2)连接AB交PC于点O，若，求PO的长；(3)若，且点O是的外心，请直接写出四边形PACB的形状 【答案】(1)证明见分析(2)(3)正方形，理由见分析【分析】（1）证明PACPBC即可得到结论； （2）根据已知条件得到APC=BPC=30，OPAB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论； （3）先证明在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明APB=PBC=BCA=CAP=90， 可得四边形为矩形，再证明 根据正方形的判定定理即可得到结论(1) 证明：点C在DPE平分线上， ， 又PA=PB，PC=PC，PACPBC（SAS）；(2)解：APC=BPC=30，OPAB于O； PA=
11、6， AO=3，(3)解：如图， 点O是PAB的外心， OA=OB=OP，而OP=OC， 在以O为圆心，OP为半径的圆上，为圆的直径，APB=PBC=BCA=CAP=90， 四边形为矩形，平分 四边形为正方形【点拨】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键类型三、 同弧或等弧所对的圆周角相等4已知：如图，中，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若求证： 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据弦与圆周角的关系可得，进而证明，可得，根据已知条件，等量代换即可得证解：连接，如图， AB为直径的O，又，
12、【点拨】本题考查了弦与圆周角的关系，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键举一反三：【变式1】如图，AB为的直径，于D，交BE于F，连接CB求证：【分析】连接AE，根据同圆等弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据垂直的定义得到，从而可以推出得到解：证明：连接AE，AB为直径，于D，【点拨】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键【变式2】如图，ABC内接于O，设B，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）(1) 在图中画一个度数是2的圆心角；(2)
13、 在图中作出C的余角【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍，分别连接OC、OA，可得COA2；（2）连接OA，延长OA交圆于P连接PC，根据直径所对的圆周角是直角可得PCA90，可得PCB是ACB的余角解：(1)如图，连接OA、OC，ABC和AOC是所对的圆周角和圆心角，B，AOC=2ABC=2AOC即为所求(2)如图，连接OA，延长OA交圆于P，连接PC，AP为直径，ACP=90，ACB+PCB=90，PCB是ACB的余角，PCB即为所求【点拨】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；熟练
14、掌握圆周角定理是解题关键类型四、半圆或直径所对的圆周角等于90度5如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，点C是弧AB的三等分点，AD=6，BD=8求BC的长【答案】5【分析】先利用直径所对的圆周角是直角，求得ADB和ACB的度数，结合已知条件利用勾股定理求得直径AB的长，再根据点C是弧AB的三等分点得到BOC的度数，进而利用30的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解解：AB是直径ADB=ACB=90AB= 点C是弧AB的三等分点BOC= =60BAC=30BC=AB=5【点拨】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，正确识图是解题的关键举一反三：【变式1】请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留
15、画图痕迹，不写作法）已知四边形ABCD内接于，且已知(1) 在图1中已知，在上求作一个度数为30的圆周角；(2) 在图2中，已知，在上求作一个度数为30的圆周角【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质可得 结合得出答案； （2）如图，作直径AE，连接AC，利用圆周角定理得出进而得出答案(1)解：如图1，（或）即为所求作的角，(2)解：如图2，【点拨】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理的应用，正确应用圆周角定理是解题关键【变式2】 如图，四边形ABCD内接于，连接AC、BD，BD是的直径，且，求证：【分析】要证，只要证，可先证ABC是等边三角形，求得，即可解：，BD是的直径
16、，ABC是等边三角形，【点拨】本题考查了圆周角定理的推论及等边三角形的判定，直径所对的圆周角等于90，通过计算角的度数证线段相等是解决问题的关键类型五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆6已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP若（1）如图1，当，时，求的半径；（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）；见分析【分析】（1）连接AB，由已知得到A
17、PB=APQ+BPQ=90，根据圆周角定理证得AB是O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；（2）证明是等腰直角三角形，得出，根据可得结论；（3）连接OA、OB、OQ，由APQ=BPQ证得，即可证得OQAB，然后根据三角形内角和定理证得NOQ=90，即NOOQ，即可证得ABON解：（1）连接AB，如图1，AB是的直径，的半径为；（2）连接AQ，BQ，如图2，是等腰直角三角形，（3），理由如下：连接OQ，如图3，【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键举一反三：【变式1】如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E（1）求证：DED
18、B；（2）若BAC90，BD5，求ABC外接圆的半径【答案】（1）见分析；（2）ABC外接圆的半径：r【分析】（1）结合角平分线的定义，首先证明D为弧BC的中点，从而证得DBCBAE，再利用等角对等边证明即可；（2）在（1）的基础上，连接CD，利用等弧所对的弦相等，从而得到等腰直角三角形，进而求解即可解：（1）证明：AD平分BAC，BE平分ABC，ABECBE，BAECAD，DBCCAD，DBCBAE，DBECBE+DBC，DEBABE+BAE， DBEDEB，DEDB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，CDBD5，BAC90，BC是直径，BDC90，BC5， ABC外接圆的半径：r
19、 【点拨】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键【变式2】仅用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，锐角ABC内接于O，ODBC于点D. 请画出ABC的角平分线AM；（2）在图2中，点C在半圆内，请作出ABC中AB边上的高【答案】（1）见分析； （2）见分析【分析】（1）根据垂径定理延长OD交半圆于点E，弧BE与弧CE相等，则他们所对的圆周角相等，即可求得；（2）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90，画图即可解：（1）延长OD交O于点E，连接AE交BC于点M，AM即为所求； （2）延长AC、BC分别交半圆于点E、D，连接BE、AD并延长交于点P，连接PC并延长交AB于点F，则线段CF即为所求的高：【点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理
