1、27.2相似三角形专题一 相似形中的开放题1 如图，在正方形网2 格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似1 已知：如图，ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，BDE+BCE=180.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二 相似形中的实际应用题3如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=
2、OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三 相似形中的探究规律题4某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在RtABC中，C90，AC30 cm，AB50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A24 B25 C26 D275如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3（1）如图，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长； （3）如图，三个正方形组成的矩形内
3、接于ABC，求正方形的边长； （4）如图，n个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长专题四 相似形中的阅读理解题6某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方，请你协助他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；(3)如图1，是完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB为30
4、cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径. 图1 图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于F请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形8如图，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，
5、固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点 F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）求证：BHGD=BF2；（2）操作：如图，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG探究：FD+DG= DB，请给予证明专题六 相似形中的综合题9正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=时，四边形ABCN的面积最大10如图，在锐角ABC中，AC是
6、最短边，以AC的中点O为圆心，AC长为半径作O，交BC于E，过O作ODBC交O于D，连接AE、AD、DC（1）求证：D是的中点；（2）求证：DAO =B +BAD；（3）若，且AC=4，求CF的长. 【知识要点】1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6如果一个三角形的两个角与另一个
7、三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8相似三角形对应高的比等于相似比.9相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比
8、等于相似比.2在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1或 【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC=， A=A，若ADEABC时，即，解得AE=.若ADEACB时，即，解得AE=.当AE=或时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似2解：（1）ADEACB，CEFDBF，EFBCFD (不唯一). （2）由BDE+BCE=180，可得ADE=BCE. A=A，ADEACB; =. A=A， AEBADC;BDE+BCE=180，BCE+ECF=180， ECF=BDF， 又F
9、=F， CEFDBF;=，而F=F，EFBCFD.3解： OA:OCOB:ODn 且AOBCOD,AOBCOD. OA:OCAB:CDn , 又CDb,AB=CDn nb，x.4C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于5cm，设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为AMNACB，所以又因为AM=AC-1n=30-n，MN5 cm，所以，得n26.25，所以n最多取整数26 5解：（1）在题图中过点C作CNAB于点N，交GF于点M 因为C=90，AC=4，BC=3，所以AB=5 因为5CN=34，所以CN=因为GFAB，所以CGF=A，CFG=B，所以CGFCAB
10、，所以设正方形的边长为x，则，解得所以正方形的边长为 （2）同（1），有，解得 （3）同（1），有，解得 （4）同（1），有，解得 6解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则=,x=2m.(3)两个扇形相似，新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15.7证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，N为BC的中点，.在RtDNC中，NE=ND，.，故矩形DCEF为黄金矩形.8解：（1）证明：将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）
11、剪开，B=D. 将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，BF=DF.HFG=B，GFD=BHF，BFHDGF， ，BHGD=BF2. （2）证明：AGCE，FAGC.CFE=CEF，AGF=CFE，AF=AG. BAD=C，BAF=DAG，ABFADG，FB=DG，FD+DG=DB，9210解：（1）证明：AC是O的直径，AEBC. ODBC，AEOD，D是的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OGBC .AGD=B. OA=OD，DAO=ADO. ADO=BAD+AGD ，DAO=B +BAD. 方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则ADO=AHC.AHC=B +BAD，ADO =B +BAD. OA=OD，DAO=B +BAD. （3） AO=OC，.，. ACD=FCE，ADC=FEC=90，ACDFCE. ，即，CF=2.
