1、2015-2016学年度下学期高三年级一模考试理数试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）A B C D3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）A B C D4.中三边上的高依次为，则为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不存在这样的三角形6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，当周长最小时，其
2、面积为（ ）A4 B8 C D7.已知等式，定义映射，则（ ）A B C D8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）A1 B C D9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（ ）A B C D参考数据公式：独立性检验临界值表独立性检验随机变量的值的计算公式：10.在一个棱长为4的正方体
3、内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）A64 B65 C66 D6711.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：，依次类推可得：，其中.设，则的最小值为（ ）A B C D12.已知，直线与函数的图像在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）A有最小值 B有最小值 C有最大值 D有最大值 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是 .14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则 .15.如图，将平面直
4、角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，则的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，又，直线与直线所成的角为.（1）求证：；（2）求二面角的余
5、弦值；（3）求点到平面的距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算
6、其数学期望和方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.若，求圆的方程；设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.21.（本小题满分12分）设为实数，函数.（1）当时，求在上的最大值；（2）设函数当有两个极值点时，总有，求实数的值（为的导函数）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于
7、点的平分线分别交和圆于点，若.（1）求证：；（2）求的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为参数）距离的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求函数的最大值；（2）解关于的不等式.参考答案及解析一、选择题1-5 CABCC 6-10 ACCBC 11-12 CD二、填空题13. 6 14. 15. 16.（2）当时，当时，两式相减，得18.(1)平面，平面，（2）在平面内，过点作的垂线，并建立空
8、间直角坐标系，如图所示设，且设平面的一个法向量为则由，平面的一个法向量为显然，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为（3）点到平面的距离.19.（1）若三瓶口味均不一样，有若其中两瓶口味不一样，有，若三瓶口味一样，有8种，所以小王共有56+56+8=120种选择方式（2）可能的取值为0,1,2,3由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为故随机变量服从二项分布，即，所以的分布列为0123期数学期望方差20.（1）椭圆短轴下端点在抛物线的准线上，所以椭圆的方程为（2）由（1），知，设，则的圆心坐标为的方程为，当时，所在直
9、线方程为，此时，与题意不符，不成立，.可设直线所在直线方程为，即又圆的半径由，得解得圆的方程为或当，由，知的方程为由消去，得则当且仅当，即时取等号又，当时，直线的方程为，综上，所以实数的取值范围为.21.（1）当时，则，令，则显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有在区间内是减函数，又当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；在区间内的极大值也即最大值是（2）由题意，知，则根据题意，方程有两个不同的实根，即，且，由其中，得所以上式化为又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.当，不等式恒成立，；当时，恒成立，令函数显然是内的减函数，当，时，恒成立，即由，当，即综上所述，.22.（1）是圆的切线，又是公共角，；（2）由切割线定理，得，又又是的平分线，由相交弦定理，得.23.（1）为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当时，故的普通方程为，到的距离所以当时，取得最小值.24.（1）当时，所以当，函数取得最大值2.（2）由，得两边平方，得即得，所以当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当，不等式的解集为.
