1、高考资源网（ ），您身边的高考专家学军中学2019-2020学年第一学期期中考试高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1. 设全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D. 2. 设纯虚数z满足=1+ai（其中i为虚数单位），则实数a等于（）A. 1B. C. 2D. 3. 若x、y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D. 4. 已知a，bR，下列四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是（ ）A. B. C. D. 5. 函数y=的图象大致是（）A. B. C. D. 6. 已知函数，则（）A. ,0是的一个周期B. ,1是的一个周
2、期C. ,1是的一个周期D. ,的最小正周期不存在7. 若关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t无解，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D. 8. 若O是ABC垂心，且，则m=（）A. B. C. D. 9. 已知二次函数f（x）=ax2+bx（|b|2|a|），定义f1（x）=maxf（t）|-1tx1，f2（x）=minf（t）|-1tx1，其中maxa，b表示a，b中的较大者，mina，b表示a，b中的较小者，下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知数列an满足，若，设数列bn的前项和为Sn，则使得|S2019-k|最小
3、的整数k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题）11. （1-2x）5展开式中x3的系数为_；所有项的系数和为_12. 等比数列an中，则=_，a1a2a3a4=_13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则C=_；若，ABC的面积为，则a+b=_14. 已知函数，则=_，若函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，则k的取值范围是_15. 已知x，yR且x2+y2+xy=1，则x+y+xy的最小值为_16. 已知平面向量满足，则的最大值为_17. 当x1，4时，不等式0ax3+bx2+4a4x2恒成立，则7a+b的取值范围是_三、解答题（本
4、大题共5小题）18. 已知函数f（x）=2sinxcos（x+）+（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值及最小值19. 已知在ABC中，|AB|=1，|AC|=2（）若BAC的平分线与边BC交于点D，求；（）若点E为BC的中点，求的最小值20. 已知正项等差数列an满足：，其中Sn是数列an的前n项和（）求数列an的通项公式；（）令，证明：21. 设函数f（x）=ex-ax+a，aR，其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：22. 已知函数f（x）=lnx-ax2-bx-2，aR（）当b=2时，试讨论f（
5、x）的单调性；（）若对任意的，方程f（x）=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21=x|x1或x-1，MP=P，MP=M故选：C先分别求出集合M，P，利用交集和并集的定义直接求解本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：由=1+ai，得z=，由z为纯虚数，得，即a=1故选：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】D【解析】解：x、y满足约
6、束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+）故选：D画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，属于基础题根据充要条件的定义，逐一分析给定四个条件与ab的充要关系，可得答案【解答】解：ab+1是ab的充分不必要的条件；ab-1是ab的必要不充分条件；|a|b|是ab的既不充分也不必要条件；2a2b是ab的充要条件.故选：B5.【答案】D【解析】解：当x0时，y=
7、xlnx，y=1+lnx，即0x时，函数y单调递减，当x，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题6.【答案】B【解析】解：若x为有理数，D（D（x）=D（1）=1，若x为无理数，D（D（x）=D（0）=1，综上D（D（x）=1，排除C，D根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，若x为有理数，D（x+1）=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），若x为无理数，D（x+1）=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），综上D（x+1）=D（x），即1是函数D（x）
8、的一个周期，故选：B根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定义是解决本题的关键7.【答案】C【解析】解：|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t无解等价于|2t+1|3t，或，t0，解得t1故选：C先求f（x）的最小值，然后把关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t无解转化为|2t+1|3t，解不等式可得本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题8.【答
9、案】D【解析】解：在ABC中，sinBsinC0，由，得+=2m，连接CO并延长交AB于D，O是ABC垂心，CDAB，=+=2m（+），两端同乘以得+=2m（+），c2+bccosA=2m=2m|ccos0=2mbcosAcA=c2+bc=bcm，由正弦定理化为sin2C+sinBsinC=msinBsinC，cosCsinC+cosBsinC=msinBsinC，又sinC0，约去sinC，得cosC+cosB=msinB，C=-A-B=-B，cosC=cos（-B）=-cosB+sinB，代入上式，得sinB=msinB，又sinB0，约去sinB，m=故选：D利用垂心的性质，连接CO并延
10、长交AB于D，得到CDAB，把由，变形，两端同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简得到得cosC+cosB=msinB，再把cosC化为cos（-B）整理就可以得到m的值本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法属于难题9.【答案】C【解析】解：对于A，若f1（-1）=f1（1），则f（-1）为f（x）在-1，1上的最大值，f（-1）f（1）或f（-1）=f（1）故A错误；对于B，若f2（-1）=f2（1），则f（-1）是f（x）在-1，1上的最小值，f（-1）f（1）或f（-1）=f（1），故B错误；对于C
11、，若f2（1）=f1（-1），则f（-1）为f（x）在-1，1上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在-1，1上的最大值，f1（-1）f1（1）故C正确；对于D，若f2（1）=f1（-1），由新定义可得f1（-1）f2（-1），则f2（1）f2（-1），故D错误故选：C由新定义可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在-1，1上的最大值为f1（1），最小值为f2（1），即可判断A，B，D错误，C正确本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题10.【答案】C【解析】解：an+1-an=0，a1=-，等号不成立，可得an+1an，
12、数列an是递增数列数列an满足，=-，bn=-数列bn的前项和为Sn=-+-+-=2-则使得|S2019-k|=|2-k|使得|S2019-k|最小的整数k的值为2故选：Can+1-an=0，可得数列an是递增数列数列an满足，可得=-，bn=-进而得出结论本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.【答案】-80 -1【解析】解：根据题意得，（1-2x）5展开式的通项为Tr+1=（-2x）r=（-2）rxr令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有项的系数和为（1-2）5=-1故答案为-80，-1运用二项展开式的通项及所有项系数的和可解决
13、此问题本题考查二项展开式的通项及所有项的系数和12.【答案】 【解析】解：等比数列an中，q=，=（）6=，a1a2a3a4=（）4（）6=4=故答案为：，推导出q=，由等比数列的通项公式得=，a1a2a3a4=，由此能求出结果本题考查等差数列的两项和的比值、四项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13.【答案】 7【解析】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，由正弦定理可得，解得，解得ab=6，cosC=，解得a=1，b=6或a=6，b=1，a+b=7故答案为：，7由正弦定理可得，从而得到，由，得ab=6，由此利用余弦定理能求出a+b本题考
14、查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题14.【答案】 0，+）【解析】解：根据题意，函数，则f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-20，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min0函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，即函数y=f（x）与函数y=k有无穷多个交点，则k0故答案为：6-8；0，+）由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根
15、据由f（x）=2x+2-x-20，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min0，零点问题转化为交点问题，即可求解本题考查分段函数的性质，涉及函数与方程的关系，属于基础题15.【答案】【解析】解：已知x，yR且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令，则xy=t2-1，故当时x+y+xy的最小值为，故答案为：本题已知条件二元二次方程表示平面上的一条曲线，所求式子也是二元函数最值问题，从基本不等式角度出发，然后换元处理即
16、可本题考查了基本不等式的性质、换元解决二元函数最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题16.【答案】10【解析】解：，设与的夹角为，=，cos=-1时，取得最大值10故答案为：10根据，可设与的夹角为，根据=进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值本题考查向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题17.【答案】-4，8【解析】解：当x1，4时，不等式可化为，若a=0，则0b4，故7a+b0，4；若a0，y=，y=a-=a（1-）=a，当x1，2，y递减，x2，4，y递增，可得x=1，y最大值为5a，x=2，y最小3a，故3a+b0，5a+b4，
17、7a+b-（3a+b）+2（5a+b）8，若a0，由上知，5a+b0，3a+b4，由7a+b-（3a+b）+2（5a+b-4，综上，7a+b-4，8故答案为：-4，8当x1，4时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据3a+b，5a+b的范围，确定7a+b范围考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题18.【答案】解：（）函数f（x）=2sinxcos（x+）+=2sinx（cosx-sinx）+=sinxcosx-sin2x+ =sin2x-+=sin（2x+）令2k+x2k+，求得k+xk+，可得函数的减区间为k+，k+，kZ（）在区间0，上，2x+，故当2x+=时，函数f（
18、x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-【解析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间（）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间0，上的最值本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题19.【答案】解：（1）AD为BAC的平分线，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三点共线，所以=（2）由E为BC的中点，由平行四边形对角线的性质，所以=，所以由柯西不等式（）（）（2+1）2=9，当且仅当时，取等号，故的最小值为【解析】（1）利用三点共线定理，求出，代入求
19、出即可；（2）根据平行四边形对角线性质得到=，利用柯西不等式求出最值考查三点共线定理，向量的运算，平行四边形对角线性质，柯西不等式，中档题20.【答案】解：（）依题意，数列an为正项等差数列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以数列an的公差d=2-1=1，所以an=1+（n-1）1=n；（）证明：=（-1）n-1-（-1）n，b1+b2+b3+bn=（1+）+（-）+（+）+（-1）n-1-（-1）n，）=1-1+=，命题得证【解析】（）将原式中的n换为1，2得到a1，a2的方程组，解出a1，a2的值，即可得
20、到公差，进而得到数列an的通项公式；（）利用裂项相消法求出数列bn的前n项和，再放缩证明即可本题考查了等差数列的通项公式，列项相消法求数列的前n项和，放缩法证明不等式考查了运算求解能力和推理能力，属于中档题21.【答案】解：（1）f（x）=ex-ax+a，f（x）=ex-a，若a0，则f（x）0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾a0，令f（x）=0，则x=lna，当f（x）0时，xlna，f（x）是单调减函数，当f（x）0时，xlna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，函数f（x）=ex-ax+a（aR）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x
21、1x2），f（lna）=a（2-lna）0，即ae2，此时，存在1lna，f（1）=e0，存在3lnalna，f（3lna）=a3-3alna+aa3-3a2+a0，又由f（x）在（-，lna）及（lna，+）上的单调性及曲线在R上不间断，可知ae2为所求取值范围（2），两式相减得a=，记=s（s0），则f（）=-=2s-（es-e-s），设g（s）=2s-（es-e-s），则g（s）=2-（es+e-s）0，g（s）是单调减函数，则有g（s）g（0）=0，而0，f（）0又f（x）=ex-a是单调增函数，且，f（）0【解析】（1）由f（x）=ex-ax+a，知f（x）=ex-a，再由a的符号进
22、行分类讨论，能求出f（x）的单调区间，然后根据交点求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，求出f（）0，然后再根据f（x）=ex-a的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明；本题属于难题，考察了分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，能提高分析问题解决问题的能力22.【答案】解：（）当b=2时，f（x）=-2ax-2=，x0，（1）当a0，令f（x）=0，解得x=，当0x时，f（x）0，当x时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，（2）当a=0时，令f（x）=0，解得x=，当0x时，f（x）0，当x时，f（x）0，f（x）在（0
23、，）上单调递增，在（，+）上单调递减，（3）当-a0，令f（x）=0，解得x=或x=当0x，或x时，f（x）0，当x时，f（x）0，f（x）在（0，），（，+）上单调递增，在（，）上单调递减，（4）a-，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增；（）问题等价于=ax+b有两解令g（x）=，x0有g（x）=，x0，令g（x）=0，解得x=e3，当0xe3，g（x）0，当xe3，g（x）0，g（x）在（0，e3）上单调递增，在（e3，+）上单调递减，当x-时，g（x）-，当x+时，g（x）0，g（e2）=0，由图象可知a0时，过（0，-）作切线时，斜率a最大，设切点为（x0，y0），则有y=x+，=-，x0=e，此时斜率a取最大值，故a的取值范围为（0，【解析】（）根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，（）问题等价于=ax+b有两解，令g（x）=，利用导数和函数最值的关系，即可求出本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
