1、高考资源网（ ），您身边的高考专家2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1. 已知集合，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 72. 若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前n项和，且，则等于A. 50B. 42C. 38D. 364. 函数的图象大致为A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. C. D. 7. 设命题p：，命题，若q是p的必要不充
2、分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知，则A. B. C. D. 9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D. 10. 设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B. C. D. 9二、填空题（本大题共7小题）11. 抛物线的焦点坐标是_，准线方程是_12. 已知点，点在线段AB上，则直线AB的斜率为_；的最大值为_13. 若实数满足约束条件，则的最小值为_；的最小值为_14. 已知长方体中，则直线与平面所成的角为_；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与
3、平面所成的最大角为_15. 已知是等比数列，且，则_，的最大值为_16. 已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为_17. 已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题）18. 已知的最大值为求实数a的值；若，求的值19. 在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，求A；求的取值范围20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，M为AC的中点，且求二面角的大小；求直线PM与平面PBC所成角的正弦值21. 已知数列的前n项和为，且满足：求数列的通项公式；数列满足，求数列通项公式22. 在平面直角坐
4、标系中，已知，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切求抛物线C的方程；若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】解：0，1，2，3，4，3，4，的元素的个数为4故选：C可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出，从而得出的元素的个数本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】D【解析】解：，b，且，取，可排除A，B；取，可排除C由不等式的性质知当时，故D正确故选：D根据不
5、等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误本题考查了不等式的基本性质，属基础题3.【答案】B【解析】解：，解可得，则故选：B结合等差数列的求和公式求出，d，然后再带入求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题4.【答案】A【解析】解：，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当，排除C，当时，排除D，故选：A先判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想以及当时的函数值是否对应进行排除即可本题主要考查函数与图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想，利用排除法是解决本题的关键5.【答案】B【解析】【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4本题
6、考查了棱柱的结构特征和三视图，属于基础题【解答】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4所以五棱柱的表面积为故选：B6.【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，即将的图象向左平移个单位，得到故选：C直接利用三角函数关系式的平移变换和诱导公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型7.【答案】A【解析】解：命题p：解得：命题q：，解得：又是p的必要不充分条件，故选：A先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值
7、范围本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用对数不等式和分式不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键8.【答案】B【解析】解：已知，则，整理得：，所以，又因为，所以，即，所以，由条件可得，整理得，所以，即，所以和两式平方和得，所以，解得故选：B直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9.【答案】A【解析】【分析】设出椭圆方程与双曲线方程，再设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及
8、基本不等式，可得所求最小值本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题【解答】解：不妨设椭圆方程为，双曲线方程为再设，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，在三角形中，可得，即有，可得，即为，则，当且仅当，即，取得最小值故选：A10.【答案】C【解析】解：设a，b为正实数，且，设，则，由柯西不等式：，所以，化简得，所以不等式的解的端点就是n的一个最大值和一个最小值，也就是其对应的方程的两个根的和，由韦达定理，其对应的方程的根的和为，故的最大值和最小值之和为为故选：C利用换元法，设，则，利用柯西不等
9、式转化为，解不等式，利用根与系数的关系，解出即可考查换元法，柯西不等式的应用，一元二次不等式的解法，韦达定理，综合题11.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点坐标是；准线方程是：故答案为：；利用抛物线的标准方程求解焦点坐标以及准线方程即可本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题12.【答案】 【解析】解：，；线段AB的方程为点在线段AB上，即当时，ab有最大值为故答案为：；直接由两点求斜率公式可得直线AB的斜率；求出线段AB的方程，把P的坐标代入，可得a，b的关系，把ab转化为a的二次函数求最值本题考查直线的斜率，训练了利用二次函数求最值，是基础题13.【答案】1 【解析】解：作出实数满足约束条
10、件，表示的可行域，作出直线，平移直线，当过点时，取最小值：1的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离的最小值为：故答案为：1；作出不等式组表示的可行域，以及直线，平移通过目标函数的几何意义，即可得到所求最小值的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离本题考查线性目标函数在不等式组下的最值问题的解法，注意运用平移法，考查作图能力，属于基本知识的考查14.【答案】 【解析】解：建立右图所示的空间直角坐标系，则有0，0，设平面的一个法向量为，则有，即，设直线与平面所成的角为，则有，故直线与平面所成的角为空间的一条直线l与直线所成的角为，不妨设直线l恒过定点A，则直线l与
11、平面的交点M的轨迹为：以点为圆心，为半径的圆则点M的坐标可设为，又平面的一个法向量为，直线l与平面所成的角为，则有，故直线l与平面所成的最大角为建立空间直角坐标系，用向量法可求解；构造法，设动直线l恒过定点A，与平面的交点是以点为圆心，为半径的圆；然后设定直线l的方向向量，即可求解此题主要考查利用向量法求解立体几何运动题，凡是可建立坐标系的这类题应选择向量法更为适宜15.【答案】5 【解析】解：因为是等比数列，所以，所以，即，又，所以，故答案为：5，根据等比中项的性质，代入原式化简即可本题考查了等比数列的等比中项的性质，基本不等式等知识，属于基础题16.【答案】【解析】解：因为，所以：当点A位
12、于Y轴左侧时：设直线PA的倾斜角为因为；，所以：；斜率k的取值范围：由对称性可知：当点A位于Y轴右侧时，斜率k的取值范围：综上可得：直线l的斜率k的取值范围是：故答案为：先设出直线的倾斜角，根据三角形内角和为，求出点A位于Y轴左侧时倾斜角的范围，进而求出斜率，再根据对称性即可求出结论本题主要考查直线和圆的位置关系，本题的关键点在于根据条件分析出倾斜角的取值范围，属于基础题目17.【答案】【解析】解：，又，设，则又，当或时，取得最小值为，当时，取得最大值故答案为：计算，得出，设，根据和角公式化简，再根据的范围求出答案本题考查了平面向量的坐标运算，三角函数的化简求值，属于中档题18.【答案】解：，
13、由于函数的最大值为，故，解得由于，所以，整理得所以，所以或，所以或，故，所以当时当时，所以原式【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果利用三角函数的关系式的变换和同角三角函数及倍角公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.【答案】解：在锐角中，可得，由余弦定理可得：，由A为锐角，可得，又，可得，即的取值范围是【解析】由已知可得，由余弦定理可得，由A为锐角，可得A的值由三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求B的范围，进而利用三角函数的有界限即可得取值范围本题主要考查了正弦定理，余弦定理
14、，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质等基础知识在解三角形中的综合应用，考查了运算能力和转化思想，属于中档题20.【答案】解：分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设，则有在等腰直角中，O是中点，则有-在等腰直角中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有-由可知，平面PON，又，平面PON，则有又，则，又，则有，又，由三角形余弦定理可知，即二面角的大小为建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作交NO延长线于点D，设，则有0，2，0，1，由可知，又，设平面PBC的一个法向量为，则有，又，设直线PM与平面PBC所成角为，则有：故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为【解析】关键
15、是找到；利用空间向量，建立恰当的空间直角坐标系，就可以很好地求解在几何法不好求解的立体几何题，可以选择用向量法去处理，但前提是：能够很好地建立空间直角坐标系，求出各点的坐标21.【答案】解：数列的前n项和为，且满足：当时，两式相减得：，所以数列是以2为首项为公比的等比数列所以由于，所以，由于，所以，所以【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式利用的结论，进一步利用关系式的变换的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型22.【答案】解：，可得FP的中点为，当时，FP的中点为原点，当
16、时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为，代入抛物线方程，可得，由直线和抛物线相切可得，解得，则抛物线的方程为；证明：可设过点的直线的方程为，即，代入抛物线的方程，可得，设，则，由，两边对x求导可得，即，可得M处的切线方程为，化为，同理可得N处的切线方程为，由可得，即，又，分别与y轴交于点，设过A，B，C的外接圆的方程为，即有，结合，可得，可得的外接圆方程为，可得，由可得或，则当变化时，的外接圆过定点和；的外接圆的半径，可得当时，r的最小值为，则的外接圆面积的最小值为【解析】求得FP的中点，讨论和t不为0，求得直线FP的斜率，可得中垂线l的斜率和方程，联立抛物线方
17、程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程；可设过点的直线的方程为，即，代入抛物线方程，设，运用韦达定理，由导数可得切线的斜率，分别求得M，N处切线的方程，求得交点A的坐标，B和C的坐标，设过A，B，C的外接圆的方程为，由待定系数法解方程可得D，E，F，由圆过定点的求法，可得所求定点；求得的外接圆的半径r，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查圆的方程的求法和运用，以及圆过定点的求法，考查化简运算能力和推理能力，是一道综合题欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
