1、1996年北京高考文科数学真题及答案第卷（选择题共65分）注意事项：1答案卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回一选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分，第1115题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合则A B C D【答案】C【解析】显然C正确2当时，在同一坐标系中，函数与的图像 【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，且过点3
2、若，则的取值范围是ABC D【答案】D【解析】或，解得或，即，所以的取值范围是4复数等于A B C D【答案】B【解析】56名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A720种 B360种 C240种 D120种【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有6已知是第三象限角且，则A B C D【答案】D【解析】由已知得，所以7如果直线与平面满足：和，那么必有A且 B且 C且 D且【答案】A【解析】略8当时，函数的A最大值是1，最小值是 B最大值是1，最小值是C最大值是2，最小值是 D最大值是2，最小值是【答案】D【解析】因为，由已知故当，即时，有最大值是2；当，即时，有最
3、小值是9中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是A B C D【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是10圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是A B C D【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，则圆锥高为，圆锥的体积是11椭圆的两个焦点坐标是A B C D【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以的焦点坐标是12将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 A B C D【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示均为等腰直角三角形，则面，就是三棱锥的高，所以13等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为A130 B170 C210
4、 D260【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以14设双曲线的半焦距为，直线过两点已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为A2 B C D【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线的距离为，则，即，解得或，又，所以，所以不合题意15 是上的奇函数，当时，则 等于A B C D【答案】B【解析】 第卷（非选择题共85分）注意事项： 1第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 2答卷前将密封线内的项目填写清楚二填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分把答案填在题中横线上16已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 【答案】4【解析】由已知得，解得17正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3
5、个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有个18的值是 【答案】【解析】，19如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 【答案】【解析】由于，所以即为异面直线与所成角，设正方形边长为，在中，三解答题：本大题共6小题；共69分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤20（本小题满分11分） 解不等式【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分（）时，原不等式等价于不等式组： 2分解得 5分（）当时，原不等式等价于不等式组：7分解得 10分综上，当时
6、，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 11分21（本小题满分12分） 设等比数列的前项和为若，求数列的公比【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力满分12分若，则有但，即得，与题设矛盾，故 2分又依题意可得整理得由得方程， 9分， 12分22（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求的值解法一：由题设条件知 2分，将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 6分将代入上式得将代入上式并整理得 9分，从而得 12分解法二：由题设条件知设，则，可得， 3分所以 7分依题设条件有，整理得 9分，从而得 11分23（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号的写法
7、，在标号、的横线上填写适当步骤，完成（）证明的全过程；并解答（），如图2】如图1，在正三棱柱中，分别是上的点，且（）求证：面面；（）求三棱锥的体积（）证明：，延长与延长线交于，连结， 面（）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力满分12分（）， 1分是等腰三角形，且， 3分面，是在面上的射影，且， 5分，面，面，面面 7分（），在面内作，垂足为面面，面，而面，三棱柱的高为9分 10分 12分24（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每
8、年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力满分10分设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/公顷依题意得不等式5分化简得 7分 9分（公顷）答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷 10分25（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为和 （）求的斜率的取值范围；（）若恰是双曲线的一个顶点，求的值【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力满分12分（）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组 1分有两个不同的解在方程组中消去，整理得 若，则方程组只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故，即，方程的判别式为设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组 有两个不同的解在方程组中消去，整理得 同理有又因为，所以有 4分于是，与双曲线各有两个交点，等价于解得6分 7分（）双曲线的顶点为取时，有，解得从而 8分将代入方程得 记与双曲线的两交点为，则由知 11分当取时，由双曲线关于轴的对称性，知所以过双曲线的一个顶点时， 12分
