1、2006年山西高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R2（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）Af（2x）=e2x（xR）Bf（2x）=ln2lnx（x0）Cf（2x）=2ex（xR）Df（2x）=lnx+ln2（x0）3（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D4（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A1B1CD5（5分）函数的单调增区间为（）AB（k，（k+1），kZC
2、D6（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD7（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D328（5分）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0距离的最小值是（）ABCD39（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A1+2+3=0B12+3=0C1+23=0D1+2+3=010（5分）设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80
3、，则a11+a12+a13=（）A120B105C90D7511（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）ABCD20cm212（5分）设集合I=1，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A50种B49种C48种D47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于14（4分）设z=2yx，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为15（4分）安排7位工作
4、人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 种（用数字作答）16（4分）设函数若f（x）+f（x）是奇函数，则=三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值18（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观
5、察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望19（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（）证明ACNB；（）若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值20（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值21（14分）已知函数（）设a0，讨论y=f（x）的单调性；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1，求a的取值范围22（12分）设数列a
6、n的前n项的和，n=1，2，3，（）求首项a1与通项an；（）设，n=1，2，3，证明：2006年山西高考理科数学真题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集【解答】解：集合M=x|x2x0=x|0x1，N=x|x|2=x|2x2，MN=M，故选：B2（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）Af（2x）=e2x（xR）Bf（2x）=ln2lnx（x0）Cf（2x）=2ex（
7、xR）Df（2x）=lnx+ln2（x0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x0），选D3（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程
8、，从而求出m的值【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m0，且双曲线方程为，m=，故选：A4（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A1B1CD【分析】注意到复数a+bi（aR，bR）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2m）+（1+m3）i是实数，1+m3=0，m=1，选B5（5分）函数的单调增区间为（）AB（k，（k+1），kZCD【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围【解答】解：函数的单调增区间满足，单调增区间为，故选C6（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
9、若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B7（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D32【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，球的半径为，球的表面积是24，故选C8（5分）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y
10、8=0距离的最小值是（）ABCD3【分析】设抛物线y=x2上一点为（m，m2），该点到直线4x+3y8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值【解答】解：设抛物线y=x2上一点为（m，m2），该点到直线4x+3y8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B9（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A1+2+3=0B12+3=0C1+23=0D1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向
11、量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，1+2+3=0，故选D10（5分）设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A120B105C90D75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可【解答】解：an是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，a2=5，a1a3=（5d）（5+d）=16，d=3，a12=a2+10d=35a11+a12+a13
12、=105故选B11（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）ABCD20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10海伦公式S=故排除C，D，由于等号成立的条件为10a=10b=10c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10由海伦公式S=知S=203由于等号成立的条件为10a=10b=10c，故“=”不成立，S203排除C，D由以上不等式推测，当三边长相等时面
13、积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B12（5分）设集合I=1，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A50种B49种C48种D47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案
14、【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，
15、则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3
16、、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tan=，二面角等于60，故答案为6014（4分）设z=2yx，式中变量x、y满足
17、下列条件：，则z的最大值为11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2yx表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在ABC中满足z=2yx的最大值是点C，代入得最大值等于11故填：1115（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有 2400种（用数字作答）【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据
18、分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，根据分步计数原理知共有20120=2400种安排方法故答案为：240016（4分）设函数若f（x）+f（x）是奇函数，则=【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求的值【解答】解：，则f（x）+f（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=02sin（）=0，0，=故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）ABC
19、的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值【分析】利用三角形中内角和为，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=，得=，所以有cos=sincosA+2cos=cosA+2sin=12sin2+2sin=2（sin）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验
20、组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望【解答】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效
21、的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=2=，所求概率为：P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）=+=（）的可能值为0，1，2，3且B（3，）P（=0）=（）3=，P（=1）=C31（）2=，P（=2）=C32（）2=，P（=3）=（）3=的分布列为：0123P数学期望E=3=19（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（）证明ACNB；（）若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值【分析】（1）欲证ACNB，可先证BN面ACN，根据线面垂直的判
22、定定理只需证ANBN，CNBN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，NBH为NB与平面ABC所成的角，在RtNHB中求出此角即可【解答】解：（）由已知l2MN，l2l1，MNl1=M，可得l2平面ABN由已知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB又AN为AC在平面ABN内的射影ACNB（）AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，RtCANRtCNB，AC=BC，又已知ACB=60，因此ABC为正三角形RtANBRtCNB，NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，NBH为NB与
23、平面ABC所成的角在RtNHB中，cosNBH=20（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中ab0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x0，y0）y=2
24、（0x1）y=设P（x0，y0），因P在C上，有0x01，y0=2，y|x=x0=，得切线AB的方程为：y=（xx0）+y0设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x1，y2）（）|2=x2+y2，y2=4+，|2=x21+54+5=9且当x21=，即x=1时，上式取等号故|的最小值为321（14分）已知函数（）设a0，讨论y=f（x）的单调性；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1，求a的取值范围【分析】（）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增
25、减性即可得到f（x）的单调区间；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1即要讨论当0a2时，当a2时，当a0时三种情况讨论得到a的取值范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（，1）（1，+）对f（x）求导数得f（x）=eax（）当a=2时，f（x）=e2x，f（x）在（，0），（0，1）和（1，+）均大于0，所以f（x）在（，1），（1，+）为增函数（）当0a2时，f（x）0，f（x）在（，1），（1，+）为增函数（）当a2时，01，令f（x）=0，解得x1=，x2=当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表： x （1，+）f（x）+ f（x）f（x）在（，），（，1），（1，+）为增函数
26、，f（x）在（，）为减函数（）（）当0a2时，由（）知：对任意x（0，1）恒有f（x）f（0）=1（）当a2时，取x0=（0，1），则由（）知f（x0）f（0）=1（）当a0时，对任意x（0，1），恒有1且eax1，得f（x）=eax1综上当且仅当a（，2时，对任意x（0，1）恒有f（x）122（12分）设数列an的前n项的和，n=1，2，3，（）求首项a1与通项an；（）设，n=1，2，3，证明：【分析】对于（）首先由数列an的前n项的和求首项a1与通项an，可先求出Sn1，然后有an=SnSn1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（）已知，n=1，2，3，将an=4n2n代入Sn=an2n
27、+1+，n=1，2，3，得Sn=（4n2n）2n+1+=（2n+11）（2n+12）然后再利用求和公式进行求解【解答】解：（）由Sn=an2n+1+，n=1，2，3，得a1=S1=a14+所以a1=2再由有Sn1=an12n+，n=2，3，4，将和相减得：an=SnSn1=（anan1）（2n+12n），n=2，3，整理得：an+2n=4（an1+2n1），n=2，3，因而数列an+2n是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：an+2n=44n1=4n，n=1，2，3，因而an=4n2n，n=1，2，3，（）将an=4n2n代入得Sn=（4n2n）2n+1+=（2n+11）（2n+12）=（2n+11）（2n1）Tn=（）所以，=）=（）（1）
