1、1990年江西高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1（4分）方程=的解是（）Ax=Bx=Cx=Dx=92（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）ABiCD3（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）ABCD4（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2）内的解的个数是（）A1B2C3D45（4分）已知如图是函数y=2sin（x+）（|）的图象，那么（）A=，=B=，=C=2，=D=2，=6（4分）函数的值域是（）A2，4B2，0，4C2，0，2，4D4，2，0，47（4分）如果直线y=ax+2与直
2、线y=3xb关于直线y=x对称，那么（）Aa=，b=6Ba=，b=6Ca=3，b=2Da=3，b=68（4分）极坐标方程4sin=5表示的曲线是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线9（4分）设全集I=（x，y）|x，yR，集合M=（x，y）|=1，N=（x，y）|yx+1那么等于（）AB（2，3）C（2，3）D（x，y）|y=x+110（4分）（2010建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）ABCD11（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A90B60C45D3012（4分）已知
3、h0设命题甲为：两个实数a，b满足|ab|2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a1|h且|b1|h那么（）A甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C甲是乙的充分条件D甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件13（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A24种B60种C90种D120种14（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A70个B64个C58个D52个15（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C又设图象C与C关于原点对称，那么C所对应的函数是
4、（）Ay=arctg（x2）By=arctg（x2）Cy=arctg（x+2）Dy=arctg（x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16（5分）双曲线的准线方程是_17（5分）（x1）（x1）2+（x1）3（x1）4+（x1）5的展开式中，x2的系数等于_18（5分）（2011上海模拟）已知an是公差不为零的等差数列，如果sn是an的前n项的和，那么等于_19（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 _20（5分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=_三、
5、解答题（共6小题，满分65分）21（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数22（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值23（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBCDE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E又SA=AB，SB=BC求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数24（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a25（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离
6、是求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标26（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n2（）如果f（x）当x（，1时有意义，求a的取值范围；（）如果a（0，1，证明2f（x）f（2x）当x0时成立参考答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化 分析：根据指数式与对数式的互化可知，进而得到答案解答：解：故选A点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化2考点：复数代数形式的混合运算 分析：把复数1+i乘以cos（）+isin（），化简为代数形式即可解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+
7、i）cos（）+isin（）=（1+i）=，故选D点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题3考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为由题意知，S=h2，h=，V=（）2h=故选D点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型4考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出
8、x的值解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinxsinx=0或cosx=x（0，2）x=或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式属基础题5考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；数形结合法分析：由图象过（0，1）及|，求出的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知+=2，求出解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sin，sin=，|，=，故函数y=2sin（x+），又函数图象过点（，0），0=2sin（+），由五点法作图的过程知，+=2，=2，综上，=，=2，故选C点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象
9、上的五个关键点的横坐标分别为：0，26考点：函数的值域；三角函数的化简求值 专题：计算题；分类讨论分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解解答：解：由题意知，函数的定义域是x|x，kZ，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1111=2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=11+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=2；所以函数的值域是2，0，4故选B点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符
10、号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值7考点：反函数 分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3xb的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解解答：解：法一：由题意，函数y=3xb的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3xb上，故得b=6；又y=3x6上有点（0，6），则点（6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思
11、路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁8考点：简单曲线的极坐标方程 分析：先在极坐标方程4sin=5的两边同乘以，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断解答：解：将方程4sin=5两边都乘以p得：4sin=52，化成直角坐标方程为5x2+5y24y=0它表示一个圆故选A点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进
12、行极坐标和直角坐标的互化9考点：交、并、补集的混合运算 分析：先化简集合M，再计算解答：解：M=（x，y）|y=x+1或（x，y）（2，3），又故答案选B点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素10考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式
13、、数形结合求最值11考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题；压轴题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SABC，则EDDFDEF=45，故选C点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题12考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题解答：解：由|a1|h且
14、|b1|h 得|ab|=|a1+1b|a1|+|1b|2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=0.3，|a1|=0.51，而|b1|=1.31，因而甲不是乙的充分条件故选B点评：|a|+|b|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a1|+|1b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法13考点：排列、组合的实际应用 专题：转化思想分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与
15、B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为A55=60，故选B点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的14考点：棱锥的结构特征 专题：压轴题；分类讨论分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：7012=58个故选C点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题15考点：函数的图象与图象变化 专题：压轴题分析：根据平移变换和
16、对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C对应的解析式即可解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg（x2）又图象C与C关于原点对称则C对应的解析式为y=arctg（x2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解解答：解：a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是点评：本题
17、比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上17考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数解答：解：展开式中含x2项的系数为1C32C42C52=13610=20故答案为20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用18考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和 分析：设an=a1+（n1）d，sn=na1+d，代入求出极限即可解答：解：设an=a1+（n1）d，sn=na1+d，代入得=2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算
18、极限的能力19考点：三角函数的最值 专题：计算题；压轴题分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值解答：解：令t=sinx+cosx=则sinxcosx=y=（）对称轴t=1当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法20考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；压轴题分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总
19、体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=VV1以及面积关系，求出体积之比解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总体积为：V计算体积：V1=h（s1+s+）V=sh V2=VV1由题意可知，s1=根据解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题三、解答题（共6小题，满分65分）21考点：数列的应用 专题：计算题分析：设四个数依次为x，y，12y，16x根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数解答：
20、解：设四个数依次为x，y，12y，16x依题意，有由式得x=3y12将式代入式得y（163y+12）=（12y）2，整理得y213y+36=0解得y1=4，y2=9代入式得x1=0，x2=15从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用22考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用 分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号解答：解法一：由已知得sin+sin=2sincos=，cos，两式相除得tan=，tan（+）=点评：数学课本中常见的三
21、角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错23考点：平面与平面之间的位置关系 专题：计算题分析：欲证BDDE，BDDC，先证BD面SAC，从而得到EDC是所求的二面角的平面角，利用RtSAC与RtEDC相似求出EDC即可解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SCBE又已知SCDE，BEDE=E，SC面BDE，SCBD又SA底面ABC，BD在底面ABC上，SABD而SCSA=S，BD面SACDE=面SAC面BDE，DC=面SAC面B
22、DC，BDDE，BDDCEDC是所求的二面角的平面角SA底面ABC，SAAB，SAAC设SA=a，则AB=a，BC=SB=aABBC，AC=，在RtSAC中tanACS=ACS=30又已知DESC，所以EDC=60，即所求的二面角等于60点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题24考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件 专题：压轴题；分类讨论分析：由于z2=a2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数
23、即可解答：解：设|z|=r若a0，则z2=a2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra由于z2=a2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论解得r=（r=0，不合，舍去）故z=（）i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a2|z|0，于是z为实数解方程r2=a2r，得r=（r=0，不合，舍去）故z=（）（2）若ra，则z2=a2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2ra，得r=或r=（a1）故z=（）i（a1）综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=（）i；当0a1时，解为：z=（），z=（）i；当a1时，解为：z=（）点评：本题还可以令z=x+yi（x、y
24、R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解25考点：椭圆的应用 专题：计算题；压轴题分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中02，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中02，由可得，即a=2b设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则=如果，即，则当sin=1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是
25、点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用26考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：计算题；压轴题分析：（）、f（x）当x（，1时有意义的条件是1+2x+（n1）x+nxa0，x（，1，n2，即，然后由函数的单调性求实数a的取值范围（）、欲证如果a（0，1，证明2f（x）f（2x）当x0时成立，只需证明n2时，1+2x+（n1）x+nxa2n1+22x+（n1）2x+n2xa，a（0，1，x0即可得证解答：解：（）f（x）当x（，1时有意义的条件是1+2x+（n1）x+nxa0，x（，1，n2，即，上都是增函数，在（，1上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值所以，等
26、价于，故a的取值范围是a|a（）证明：只需证明n2时，1+2x+（n1）x+nxa2n1+22x+（n1）2x+n2xa，a（0，1，x0（a1+a2+an2）2=（a12+a22+an2）+2（a1a2+a2a3+an1an）（a12+a22+an2）+（a12+a22）+（a12+an2）+（a22+a32）+（a22+an2）+（an22+an12）+（an22+an2）+（an12+an2）=n（a12+a22+an2）于是（a1+a2+an）2n（a12+a22+an2）当a1=a2=an时成立利用上面结果知，当a=1，x0时，因12x，所以有1+2x+（n1）x+nxa2n1+22x+（n1）2x+n2xa，a（0，1，当0a1，x0时，因a2a，所以有1+2x+（n1）x+nxa2n1+22x+（n1）2x+n2xa，即有2f（x）f（2x）a（0，1，x0点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误
