1、2001年陕西高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷(选择题 60分)注意事项:1 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。3考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式:三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长,表示斜高或母线长台体的体积公式其中、分别表示上、下底面积,表示高一、 选择题:
2、本大题共12小题;第每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 若,则在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限(2)过点且圆心在直线上的圆的方程是(A) (B)(C) (D)(3)设是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间内的函数满足,则的取值范围是(A)(0,) (B)(0, (C)(,+) (D)(0,+)(5)极坐标方程的图形是(A) (B) (C) (D)(6)函数的反函数是(A) (B)(C) (D)(7)若椭圆经过原点,且焦点
3、为,则其离心率为(A) (B) (C) (D)(8)若,则(A) (B) (C) (D)(9)在正三棱柱中,若,则与所成的角的大小为(A)60 (B)90 (C)105 (D)75(10)设都是单调函数,有如下四个命题:若单调递增,单调递增,则单调递增;若单调递增,单调递减,则单调递增;若单调递减,单调递增,则单调递减;若单调递减,单调递减,则单调递减;其中,正确的命题是(A) (B) (C) (D)(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:单向倾斜;双向倾斜;四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则(A)(B)(C)(D)(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结
4、点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点向结点传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为 (A)26 (B)24(C)20 (D)19第II卷(非选择题 90分)注意事项:1 第II卷共7页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。二填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。(13)若一个椭圆的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个椭圆的侧面积是 (14)双曲线的两个焦点为,点在双曲线上.若,则点到x轴的距离为 .(15)设是公比为的等比数列,是它的前n
5、项和.若是等差数列,则 .(16)圆周上有2n个等分点(),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题:本大题共6小题;共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,面,.()求四棱锥的体积;()求面与面所成的二面角的正切值.(18) (本小题满分12分)已知复数.()求及;()当复数满足,求的最大值.(19)(本小题满分12分)设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于两点. 点在抛物线的准线上,且x轴. 证明直线经过原点.(20)(本小题满分12分)已知是正整数,且.()证明 ;()证明 .(21) (本小题满
6、分12分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少. 本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. ()设n年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元. 写出的表达式;()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?(22) (本小题满分14分)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有,且.()求及;()证明是周期函数;()记,求.参考解答及评分标准说明:一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几
7、种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一.选择题:本题考查基本知识和基本运算每小题5分,满分60分(1)B (2)C (3)B (4)A (5)C(6)A (7)C (8)A (9)B (10)C(11)D (12)D二.填空题:本题考查
8、基本知识和基本运算每小题4分,满分16分(13)2 (14) (15)1 (16)2n (n1) 三.解答题:(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力满分12分解:()直角梯形ABCD的面积是M底面, 2分 四棱锥SABCD的体积是 M底面 4分()延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱 6分 ADBC,BC = 2AD, EA = AB = SA, SESB, SA面ABCD,得SEB面EBC,EB是交线,又BCEB, BC面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影, CSSE,所以BSC是所求二面角的平面角 10分 ,BC =1,BCSB,
9、tanBSC 即所求二面角的正切值为 12分(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力满分12分解:()z1 = i (1i) 3 = 22i, 将z1化为三角形式,得, , 6分 ()设z = cos i sin ,则zz1 = ( cos 2)(sin 2) i,(), 9分当sin() = 1时,取得最大值从而得到的最大值为 12分(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力满分12分证明一:因为抛物线y2 =2px (p0)的焦点为F (,0),所以经过点F的直线的方程可设为; 4分代入抛物线方程得y2 2pmyp2 = 0
10、,若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2 = p2 8分因为BCx轴,且点c在准线x = 上,所以点c的坐标为(,y2),故直线CO的斜率为即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O 12分证明二:如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作ADl,D是垂足则ADFEBC 2分连结AC,与EF相交于点N,则, 6分根据抛物线的几何性质, 8分 ,即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O 12分(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分12分()证明: 对于1im有 = m(mi1), 同理
11、 , 4分 由于 mn,对整数k = 1,2,i1,有,所以 ,即 6分()证明由二项式定理有, , 8分由 ()知(1imn,而 , 10分所以, (1imn因此,又 , 即 (1m)n(1n)m 12分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力满分12分解:()第1年投入为800万元,第2年投入为800(1)万元,第n年投入为800(1)n1万元所以,n年内的总投入为an = 800800(1)800(1)n1 = 40001()n; 3分第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400(1)万元,第n年旅游业收入为400
12、(1)n1万元所以,n年内的旅游业总收入为bn = 400400(1)400(1)n1 = 1600 ()n1 6分()设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bnan0,即 1600()n 140001()n0化简得 5()n2()n 70, 9分设()n,代入上式得5x27x20,解此不等式,得,x1(舍去)即 ()n,由此得 n5答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 12分(22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力满分14分()解:因为对x1,x20,都有f (x1x2) = f (x1) f (x2),
13、所以 f () f ()0,x0,1 f () = f () f () = f ()2, f ()f () = f () f () = f ()2 3分, f (),f () 6分()证明:依题设y = f (x)关于直线x = 1对称,故 f (x) = f (11x),即f (x) = f (2x),xR 8分又由f (x)是偶函数知f (x) = f (x) ,xR, f (x) = f (2x) ,xR,将上式中x以x代换,得f (x) = f (x2),xR这表明f (x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期 10分()解:由()知f (x)0,x0,1 f ()= f (n ) = f ((n1)) = f () f ((n1)) = f () f () f () = f ()n, f () = , f () = f (x)的一个周期是2, f (2n) = f (),因此an = , 12分 () = 0 14分