1、1997年黑龙江高考理科数学真题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟第卷（选择题共65分）一选择题:本大题共15小题；第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合M=x0x2,集合N=xx2-2x-3b0,给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)；f(b)f(a)g(b)g(a)；f(a)f(b) q,且，设,Sn为数列的前n项和求22（本小题满分12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本（以元为单位
2、）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元I把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；II为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点I证明ADD1F；II求AE与D1F所成的角；III证明面AED面A1FD1；IV设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 24(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0x1x2I当x(0, x1)时，证明
3、xf (x)x1；II设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x01=p()p10qpbc2，故有abcvabc20，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分解:()AC1是正方体， AD面DC1又D1F面DC1，ADD1F ()取AB中点G，连结A1G，FG因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边
4、形，A1GD1F设A1G与AE相交于点H，则AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以RtA1AGRtABE，GA1A=GAH，从而AHA1=90，即直线AE与D1F所成角为直角 ()由()知ADD1F，由()知AED1F，又ADAE=A，所以D1F面AED又因为D1F面A1FD1，所以面AED面A1FD1()连结GE，GD1FGA1D1，FG面A1ED1，AA1=2，正方形ABB1A1 (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分证明:()令F(x)=f(x)x因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，所
5、以F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0，x1)时，由于x10，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20得x1f(x)0由此得f(x)x1 ()依题意知因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根， 因为ax21，所以(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力满分12分解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b， a由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得
6、的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1 又点P(a，b)到直线x2y=0的距离为， 所以5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2b2a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值 由此有解此方程组得或由于r2=2b2知于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二:同解法一，得得将a2=2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d21)0，得5d215d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入式得2b24b+2=0解得b=1将b=1代入r2=2b2，得r2=2由r2=a2+1得a=1综上a=1，b=1，r2=2由=1知a，b同号于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2
