1、 2021 年上海市春季高考数学试卷2021.01一. 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第16 题每题4 分，第712 题每题5 分）1-8 未收集到9. 在无穷等比数列a 中，lim(a -a ) = 4 ，则a 的取值范围是n1n2n【解析】(-4, 0) U(0, 4) ，由题意，q(-1, 0) U(0,1) ，lima = 0，nnlim(a -a ) = a = 4 ，a = a q = 4q (-4, 0) U(0, 4)1n121n10. 某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A 运动B 运动8 点-9 点 9
2、点-10 点 10 点-11 点 11 点-12 点20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟C 运动D 运动E 运动7 点-8 点30 分钟【解析】23，由题意，至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中，AB、DB、EB 的组合是不符题意的，C5 +C5 +C5 +C5-3 = 235432y211. 已知椭圆x2+=1（0 b 0 ，对任意nN* ，总存在实数j ，使得cos(nq +j) AOB = ，对任意nN* 要成立，N* ，632p即q = ，p2pk N* ，同时q ，q 的最小值为k35二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）13-14 未收集到15.
3、已知函数y = f (x) 的定义域为R ，下列是 f (x) 无最大值的充分条件是（）A. f (x) 为偶函数且关于直线x =1对称C. f (x) 为奇函数且关于直线x =1对称B. f (x) 为偶函数且关于点(1,1) 对称D. f (x) 为奇函数且关于点(1,1) 对称【解析】选D，反例如图所示. 选项D，易得 f (n) = n ，n Z16. 在ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD中点，则以下结论： 存在ABC ，使得u uur uuruuruur uurABCE = 0； 存在三角形ABC ，使得CE (CB +CA) ；成立的是（）A. 成立，成立B. 成立，不成立C
4、. 不成立，成立D. 不成立，不成立【解析】选B，不妨设A(2x,2y) ，B(-1, 0) ，C(1, 0) ，D(0,0) ，E(x, y)，u uuruuru uur uur AB = (-1-2x,-2y) ，CE = (x -1, y) ，若ABCE = 0，-(2x +1)(x -1) -2y = 0 ，2-(2x+1)(x -1) = 2y2 ，满足条件的(x, y) 明显存在，成立；uur uur uuurF 为AB 中点，(CB +CA) = 2CF ，CF 与AD交点即重心G ，uur uuurG 为AD三等分点，E 为AD中点，CE 与CG 不共线，即不成立；故选B 三.
5、 解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分）17. 四棱锥P - ABCD ，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB中点，PE 平面ABCD .（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥P - ABCD 的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45，求PD 与AC 所成角的大小.【解析】（1）正方形ABCD 边长为4，PAB为等边三角形，E 为AB中点，PE = 2 3 ，132 33VP-ABCD = 422 3 =；3（2）如图建系，P(0, 0, 4) ，D(-2, 4,0) ，A(-2,0,0)，uuur uuurC(2, 4, 0)
6、，PD = (-2, 4,-4) ，AC = (4, 4, 0) ，uuur uuurPD AC82cosq = uuur uuur =，| PD| | AC | 64 262即PD 与AC 所成角的大小为arccos61418. 已知A、B、C 为ABC 的三个内角，a 、b、c 是其三条边，a = 2，cosC = -（1）若sin A = 2sin B，求b、c ；.p4（2）cos(A- ) = ，求c .4522+12-c21【解析】（1）sin A = 2sin B a = 2b，b =1，cosC = - c = 6 ；2214p47 21021154（2）cos(A- ) =
7、cos A =，sin A =，cosC = - sinC =，451042c5 30由正弦定理，= c =sin A sinC2 19.（1）团队在O 点西侧、东侧20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足| PA| -| PB |= 20 千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15 千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现| QA| -| QB |= 30 千米，| QC | -| QD |=10 千米，求| OQ |（精确到1 米）和Q
8、 点位置（精确到1 米，1）x2y2【解析】（1）a =10 ，c = 20，b2= 300 ，双曲线为-=1；100 300315 2 5 6直线OP: y =x ，联立双曲线，得P(,)；322x2y2（2）| QA| -| QB |= 30 ，a =15 ，c = 20，b2=175 ，双曲线为-=1；225 175y2x2 | QC | -| QD |=10 ，a = 5 ，c =15 ，b2= 200，双曲线为-=1；25 20014400 2975联立双曲线，得Q(,) ，OQ 19米，Q 点位置北偏东66474720. 已知函数 f (x) = | x+ a | -a - x .
9、（1）若a =1，求函数的定义域；（2）若a 0，若 f (ax) = a 有2 个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数 f (x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.【解析】（1） f (x) = | x +1| -1 - x，| x +1| -1 0 ，解得x(-,-2U0,+) ；（2） f (x) = | x+ a | -a = x +a，设x + a = t 0 ， t -a = t 有2 个不同实数根，1整理得a = t -t2 ，t 0 ，同时a 0，a(0, ) ；4111（3）当x -a ，f (x) = | x+ a | -a -
10、x = x - x = -( x - ) + ，在 ,+) 递减，224411此时需满足-a ，即a - 时，函数 f (x) 在-a,+)上递减；44当x -a ， f (x) = | x+ a | -a - x = -x -2a - x ，在(-,-2a上递减，11a - -a 0 ，即当a - 时，函数 f (x) 在(-,-a) 上递减；441综上，当a - 时，函数 f (x) 在定义域R 上连续，且单调递减4 21. 已知数列a 满足a 0，对任意n 2 ，a 和a 中存在一项使其为另一项与a 的nnnn+1n-1等差中项（1）已知a = 5 ，a = 3，a = 2 ，求a 的所
11、有可能取值；1243（2）已知a = a = a = 0 ，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列，147258258并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3 项为0，即a = a = a = 0 ，2 r s t ，且a =1，a = 2 ，rst12求a + a + a 的最大值.r+1s+1t+1【解析】（1）由题意，2a = a +a 或2a = a + a ，nn+1n-1n+1nn-12a = a + a a =1，2a = a + a a = 4，经检验，a =1231332133aa（2）a = a = a = 0 ，a = 2a ，或a = 2 ，经检验，a3
12、 = 2 ；14732322a32aaaa5 =a6 =a8 =2 ，或a = -a = - 2 （舍），a5 = 2 ；53424a52aaa2 ，或a = -a = - 2 （舍），a6 = 2 ；65848a62aaa2 ；2 ，或a = -a = - 2 （舍），a8 =86168161综上，a 、a 、a 成等比数列，公比为 ；2584a - aa -a = - 1，（3）由2a = a +a 或2a = a + a ，可知n+2n+1=1或 n+2n+1an+1 -annn+1n-1n+1nn-1-anan+12由第（2）问可知，ar = 0 ar-2 = 2a a -a = -a ，r-1r-1r-2r-11= - 11111i2ar= 0 ar+1=2 ar-1(ar-1-ar-2 ) = - - 1r- -()i3 i (a a ) = - (- ) ，iN* ，-2122221(a ) = ，r+1 max4111121j1同理，as+1= - -()j1s- - - (a2 rj-ar )= - -() ， jN* ，(as+1)max = ，r+122241612164同理，(at+1)max = ，a + a + a 的最大值为r+1s+1t+164
