1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)理科数学第卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016山东理，1)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z等于()A12i B12i C12i D12i2(2016山东理，2)设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB等于()A(1,1) B(0,1) C(1，) D(0，)3(2016山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,2
2、2.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D1404(2016山东理，4)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D125(2016山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D16(2016山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7(2016山东理，7)函数f(x)(sin
3、xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()A. BC. D28(2016山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D9(2016山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x时，f f ，则f(6)等于()A2 B1 C0 D210(2016山东理，10)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf (x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3第卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11(2016山东理，11)
4、执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为_12(2016山东理，12)若5的展开式中x5的系数为80，则实数a_.13(2016山东理，13)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_14(2016山东理，14)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_15(2016山东理，15)已知函数f(x) 其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_三、解答题：本答题共6小题，共75分16(20
5、16山东理，16)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值17(2016山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角F-BC-A的余弦值18(2016山东理，18)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.19(2016山东理，19)甲、乙两人组成“
6、星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)20(2016山东理，20)已知f(x)a(xln x)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立21(2016山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
7、1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标答案解析1.解析设zabi(a，bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i，故选B.答案B2.解析Ay|y0，Bx|1x时，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)当x0时，f(x)x31且1x1，
8、f(x)f(x)，f(2)f(1)f(1)2，故选D.答案D10.解析对函数ysin x求导，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，k1k21，l1l2；对函数yln x求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yx3，得y2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.答案A11.解析第1次循环：i1，a1，b8，ab；第2次循环：i2，a3，b6，ab，输出i的值为3.答案312.解析Tr1C(ax2)5rra5rCx，10r5，解得r2，a3C80，解得a2.答案213.解析由
9、已知得|AB|，|BC|2c，232c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去)答案214.解析由已知得，圆心(5,0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得km时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m3.答案(3，)16.(1)证明由题意知2.化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin
10、B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2)解由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.17.(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(
11、0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m，因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角F-BC-A的余弦值为.18.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(3)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.19.解(1)记
12、事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的独立性与互斥性，P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(X2)，
13、P(X3)，P(X4)2.P(X6).可得随机变量X的分布列为x012346P所以数学期望E(X)012346.20.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增(2)证明由(1)知，a1时，f(x)f(x)xln x
14、xln x1，x1,2设g(x)xln x，h(x)1，x1,2，则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号又h(x).设(x)3x22x6，则(x)在x1,2单调递减因为(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)时，(x)0，x(x0，2)时，(x)g(1)h(2).即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立21.(1)解由题意知，可得a24b2，因为抛物线E的焦点F，所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明设P(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)(*)且x1x2，因此x0，将其代入ymx，得y0，因为.所以直线OD方程为yx，联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上解由知直线l的方程为ymx，令x0，得y，所以G，又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.设t2m21，则2，当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.
