1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（ ）A B C D2.设集合，若，则（ ）A B C D3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C
2、D5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C 1 D 96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12种 B18种 C24种 D36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A2 B3 C4 D59.若双曲线（，
3、）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A2 B C D10.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D.112.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 14.函数（）的最大值是 15.等差数列的前项和为，则 16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 三、解答题：共70分。解答应
4、写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）的内角的对边分别为 ,已知(1)求 (2)若 , 面积为2,求 18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3
5、） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 E是PD的中点19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形BCD， （1）证明：直线 平面PAB（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 21.（1
6、2分）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知.证明：（1）；（2）。2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学解析1D【解析】2C【解析】1是方程的解，代入方程得的
7、解为或，3B【解析】设顶层灯数为，解得4B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半5A【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为6D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作由此把4份工作分成3份再全排得7D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话甲不知自己成绩乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）乙看了丙成绩，知自己成绩丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩8B【解析】，代入循环得，时停止循环，9A【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为得，10C【解析】，分别为，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异
8、面线所成角为）可知，作中点，则可知为直角三角形，中，则，则中，则中，又异面线所成角为，则余弦值为11A【解析】，则，则，令，得或，当或时，当时，则极小值为12B 【解析】几何法：如图，（为中点），则，要使最小，则，方向相反，即点在线段上，则，即求最大值，又，则，则解析法：建立如图坐标系，以中点为坐标原点，设，则其最小值为，此时，13【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，则14【解析】令且则当时，取最大值115【解析】设首项为，公差为则求得，则，16【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，又由定义，且，17.【解析】（1）依题得：，（2）由可知，18【解析】（
9、1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件而（2）箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得的观测值为有以上的把握产量的养殖方法有关（3），中位数为19【解析】（1）令中点为，连结，为，中点，为的中位线，又，又，四边形为平行四边形，又，（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系设，则，在底面上的投影为，为等腰直角三角形为直角三角形，设，设平面的法向量，设平面的法向量为，二面角的余弦值为20【解析】 设，易知又，又在椭圆上，即设点，由已知：，设直线：，因为直线与垂直故直线方程为，令，得，若，则，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点21【解析】
10、 因为，所以令，则，当时，单调递减，但，时，；当时，令，得当时，单调减；当时，单调增若，则在上单调减，；若，则在上单调增，；若，则，综上， ，令，则，令得，当时，单调递减；当时，单调递增所以，因为，所以在和上，即各有一个零点设在和上的零点分别为，因为在上单调减，所以当时，单调增；当时，单调减因此，是的极大值点因为，在上单调增，所以当时，单调减，时，单调增，因此是的极小值点所以，有唯一的极大值点由前面的证明可知，则因为，所以，则又，因为，所以因此，22【解析】设则解得，化为直角坐标系方程为连接，易知为正三角形为定值当高最大时，面积最大，如图，过圆心作垂线，交于点交圆于点，此时最大23【解析】由柯西不等式得：当且仅当，即时取等号由均值不等式可得：当且仅当时等号成立
