1、2015年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015重庆）已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（）A2B1，2C1，3D1，2，32（5分）（2015重庆）“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件3（5分）（2015重庆）函数f（x）=log2（x2+2x3）的定义域是（）A3，1B（3，1）C（，31，+）D（，3）（1，+）4（5分）（2015重庆）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶
2、图如，则这组数据的中位数是（）A19B20C21.5D235（5分）（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD6（5分）（2015重庆）若tan=，tan（+）=，则tan=（）ABCD7（5分）（2015重庆）已知非零向量满足|=4|，且（）则的夹角为（）ABCD8（5分）（2015重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）ABCD9（5分）（2015重庆）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D10（5分）（2015重庆）若不等
3、式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A3B1CD3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11（5分）（2015重庆）复数（1+2i）i的实部为12（5分）（2015重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为13（5分）（2015重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=，3sinA=2sinB，则c=14（5分）（2015重庆）设a，b0，a+b=5，则的最大值为15（5分）（2015重庆）在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概
4、率为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015重庆）已知等差数列an满足a3=2，前3项和S3=（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足b1=a1，b4=a15，求bn前n项和Tn17（13分）（2015重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810（）求y关于t的回归方程=t+（）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款附：回归方程=t+中18（13分）（2015重
5、庆）已知函数f（x）=sin2xcos2x（）求f（x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象当x时，求g（x）的值域19（12分）（2015重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（aR）在x=处取得极值（）确定a的值；（）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性20（12分）（2015重庆）如题图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EFBC（）证明：AB平面PFE（）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长21（1
6、3分）（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围2015年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015重庆）已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（）A2B1，2C1，3D1，2，3考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：集合分析：直接利用集合的交集的求法求解即可解答：解：集合A=
7、1，2，3，B=1，3，则AB=1，3故选：C点评：本题考查交集的求法，考查计算能力2（5分）（2015重庆）“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件考点：充要条件菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：先求出方程x22x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案解答：解：由x22x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x22x+1=0”的充要条件，故选：A点评：本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题3（5分）（2015重庆）函数f（x）=log2（x2+2x3）的定义域是（）A3，1B（3，1）C（，31，+）
8、D（，3）（1，+）考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；不等式分析：利用对数函数的真数大于0求得函数定义域解答：解：由题意得：x2+2x30，即（x1）（x+3）0解得x1或x3所以定义域为（，3）（1，+）故选D点评：本题主要考查函数的定义域的求法属简单题型高考常考题型4（5分）（2015重庆）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A19B20C21.5D23考点：茎叶图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据中位数的定义进行求解即可解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B
9、点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比较基础5（5分）（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可解答：解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=故选：B点评：本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力6（5分）（2015重庆）若tan=，tan（+）=，则tan=（）ABCD考点：两角和与差的正切函数菁
10、优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由条件利用查两角差的正切公式，求得tan=tan（+）的值解答：解：tan=，tan（+）=，则tan=tan（+）=，故选：A点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题7（5分）（2015重庆）已知非零向量满足|=4|，且（）则的夹角为（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值解答：解：由已知非零向量满足|=4|，且（），设两个非零向量的夹角为，所以（）=0，即2=0，所以cos=，0，所以；故选C点评：本题考查了向量垂直的性
11、质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键8（5分）（2015重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）ABCD考点：循环结构菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k8，退出循环，输出s的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k8，k=2，s=满足条件k8，k=4，s=+满足条件k8，k=6，s=+满足条件k8，k=8，s=+=不满足条件k8，退出循环，输出s的值为故选：D点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题9（5分）（2015重庆）设双曲线=1（a0，b0
12、）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），利用A1BA2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率解答：解：由题意，A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），A1BA2C，a=b，双曲线的渐近线的斜率为1故选：C点评：本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10（5分）（2015重庆）若不等式组，表
13、示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A3B1CD3考点：二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有专题：开放型；不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即C（2，0），则C（2，0）在直线xy+2m=0的下方，即2+2m0，则m1，则C（2，0），F（0，1），由，解得，即A（1m，1+m），由，解得，即B（，）|AF|=1+m1=m，则三角形ABC的面积S=m2+（）=，即m2+m2=0，解得m=1或m=2（舍），故选：B点评：本题主
14、要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11（5分）（2015重庆）复数（1+2i）i的实部为2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=1解答：解：（1+2i）i=i+2i2=2+i，所以此复数的实部为2；故答案为：2点评：本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=1属于基础题12（5分）（2015重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P
15、处的切线方程为x+2y5=0考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程解答：解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为=，故切线的方程为y2=（x1），即 x+2y5=0，故答案为：x+2y5=0点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题13（5分）（2015重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=，3sinA=2sinB，则c=4考点：正弦定理的应用菁优网版权所有专题：解三角形
16、分析：由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解解答：解：3sinA=2sinB，由正弦定理可得：3a=2b，a=2，可解得b=3，又cosC=，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC=4+92=16，解得：c=4故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题14（5分）（2015重庆）设a，b0，a+b=5，则的最大值为3考点：函数最值的应用菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用柯西不等式，即可求出的最大值解答：解：由题意，（）2（1+1）（a+1+b+3）=18，的最大值为3
17、，故答案为：3点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键15（5分）（2015重庆）在区间0，5上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p2=0有两个负根的概率为考点：几何概型菁优网版权所有专题：开放型；概率与统计分析：由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率解答：解：方程x2+2px+3p2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得p1或p2，所求概率P=故答案为：点评：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015重
18、庆）已知等差数列an满足a3=2，前3项和S3=（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足b1=a1，b4=a15，求bn前n项和Tn考点：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得bn前n项和Tn解答：解：（）设等差数列an的公差为d，则由已知条件得：，解得代入等差数列的通项公式得：；（）由（）得，设bn的公比为q，则，从而q=2，故bn的前n项和点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数
19、列的前n项和，是中档题17（13分）（2015重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810（）求y关于t的回归方程=t+（）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款附：回归方程=t+中考点：回归分析的初步应用菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：（）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程=t+（）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款解答：解：（）由题意，=3，=7.2，=55532=10，
20、=120537.2=12，=1.2，=7.21.23=3.6，y关于t的回归方程=1.2t+3.6（）t=6时，=1.26+3.6=10.8（千亿元）点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题18（13分）（2015重庆）已知函数f（x）=sin2xcos2x（）求f（x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象当x时，求g（x）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=si
21、n（2x），从而可求最小周期和最小值；（）由函数y=Asin（x+）的图象变换可得g（x）=sin（x），由x，时，可得x的范围，即可求得g（x）的值域解答：解：（）f（x）=sin2xcos2x=sin2x（1+cos2x）=sin（2x），f（x）的最小周期T=，最小值为：1=（）由条件可知：g（x）=sin（x）当x，时，有x，从而sin（x）的值域为，1，那么sin（x）的值域为：，故g（x）在区间，上的值域是，点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（x+）的图象变换，属于基本知识的考查19（12分）（2015重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（aR）在x=处
22、取得极值（）确定a的值；（）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性考点：函数在某点取得极值的条件菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用分析：（）求导数，利用f（x）=ax3+x2（aR）在x=处取得极值，可得f（）=0，即可确定a的值；（）由（）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性解答：解：（）对f（x）求导得f（x）=3ax2+2xf（x）=ax3+x2（aR）在x=处取得极值，f（）=0，3a+2（）=0，a=；（）由（）得g（x）=（x3+x2）ex，g（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g（x）=0，解
23、得x=0，x=1或x=4，当x4时，g（x）0，故g（x）为减函数；当4x1时，g（x）0，故g（x）为增函数；当1x0时，g（x）0，故g（x）为减函数；当x0时，g（x）0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题20（12分）（2015重庆）如题图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EFBC（）证明：AB平面PFE（）若四棱锥P
24、DFBC的体积为7，求线段BC的长考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：开放型；空间位置关系与距离分析：（）由等腰三角形的性质可证PEAC，可证PEAB又EFBC，可证ABEF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB平面PEF（）设BC=x，可求AB，SABC，由EFBC可得AFEABC，求得SAFE=SABC，由AD=AE，可求SAFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（）知PE为四棱锥PDFBC的高，求得PE，由体积VPDFBC=SDFBCPE=7，即可解得线段BC的长解答：解：（）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰PDC中DC
25、边的中点，故PEAC，又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE平面PAC，PEAC，所以PE平面ABC，从而PEAB因为ABC=，EFBC，故ABEF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB平面PEF（）设BC=x，则在直角ABC中，AB=，从而SABC=ABBC=x，由EFBC知，得AFEABC，故=（）2=，即SAFE=SABC，由AD=AE，SAFD=SABC=SABC=x，从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=SABCSAFD=xx=x由（）知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在直角PEC中，PE=2，故体积VPDFBC=SDFBC
26、PE=x=7，故得x436x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x0，可得x=3或x=3所以：BC=3或BC=3点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题21（13分）（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）由椭圆的定义可
27、得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a设椭圆的半焦距为c，由于PQPF1，利用勾股定理可得2c=|F1F2|=，解得c利用b2=a2c2即可得出椭圆的标准方程（II）如图所示，由PQPF1，|PQ|=|PF1|，可得|QF1|=，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简令t=1+，则上式化为e2=，解出即可解答：解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2）=4，解得a=2设椭圆的半焦距为c，PQPF1，2c=|F1F2|=2，c=b2=a2c2=1椭圆的标准方程为（II）如图所示，由PQPF1，|PQ|=|PF1|，|QF1|=，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，|PF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，+=4c2，+=e2令t=1+，则上式化为=，t=1+，且，t关于单调递增，3t4，解得椭圆离心率的取值范围是点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19
