1、2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，则U（MN）=（）A1，2B2，3C2，4D1，42（5分）函数y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5分）设向量、满足|=|=1，=，|+2|=（）A.BC、D.4（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A17B14C5D35（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b36（5分）设Sn为等差数列
2、an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D57（5分）设函数f（x）=cosx（0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）AB3C6D98（5分）已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A2BCD19（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A12种B24种C30种D36种10（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD11（5分）设两圆C1、C2都
3、和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4BC8D12（5分）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（）A7B9C11D13二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（1x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： 14（5分）已知a（，），tan=2，则cos= 15（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 16（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），A
4、M为F1AF2的平分线，则|AF2|= 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn18（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知asinA+csinCasinC=bsinB，（）求B；（）若A=75，b=2，求a，c19（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率20（12分）如图，四棱锥SA
5、BCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小21（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0（1，3），求a的取值范围22（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
6、参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，则U（MN）=（）A1，2B2，3C2，4D1，4【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据交集的定义求出MN，再依据补集的定义求出U（MN）【解答】解：M=1，2，3，N=2，3，4，MN=2，3，则U（MN）=1，4，故选：D【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法2（5分）函数y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考点】4
7、R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函数为y=（x0）故选：B【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域3（5分）设向量、满足|=|=1，=，|+2|=（）A.BC、D.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由|+2|=，代入已知可求【解答】解：|=|=1，=，|+2|=故选：B【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基
8、本应用，属于基础试题4（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A17B14C5D3【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键5（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【
9、考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1满足ab，但a=b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法6（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5【考点】85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前n项
10、和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2Sk=24转化为关于k的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题7（5分）设函数f（x）=cosx（0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）AB3C6D9【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结
11、果【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令k=1，可得=6故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型8（5分）已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A2BCD1【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得ACCB，ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在RtBCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案【解答】解：根据
12、题意，直二面角l，点A，ACl，可得AC面，则ACCB，ACB为Rt，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在RtBCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解9（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A12种B24种C30种D36种【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2
13、2种结果，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，余下的两个人各有两种选法，共有22=4种结果，根据分步计数原理知共有64=24种结果故选：B【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果10（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意得 =f（ ）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）
14、是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值11（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4BC8D【考点】J1：圆的标准方程菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为x210x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=的值【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐
15、标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x4）2+（x1）2=x2 的两个实数根，即a和b分别为x210x+17=0 的两个实数根，a+b=10，ab=17，（ab）2=（a+b）24ab=32，两圆心的距离|C1C2|=8，故选：C【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题12（5分）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（）A7B9C11D13【考点】MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】11：计算题；1
16、6：压轴题【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积【解答】解：圆M的面积为4圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆NOMN=30，在直角三角形OMN中，ON=圆N的半径为则圆的面积为13故选：D【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（1x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0【考点】DA：二项式定理菁优网版
17、权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（1）rC10rxr所以展开式的x的系数10x9的系数10x的系数与x9的系数之差为（10）（10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题14（5分）已知a（，），tan=2，则cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先利用的范围确定cos的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cos的值【解答】解：a（，），cos0
18、cos=故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号15（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想【分析】根据题意知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果【解答】解：连接DE，设AD=2易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3 cosDAE=，故答案为：【点评】此题是个基础题考
19、查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想16（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线，则|AF2|=6【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上AM为F1AF2的平分线=又|AF1|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解
20、有关焦半径问题常用双曲线的定义三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可【解答】解：设an的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：an=32n1，Sn=3（2n1）；当a1=2，q=3时：an=
21、23n1，Sn=3n1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题18（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知asinA+csinCasinC=bsinB，（）求B；（）若A=75，b=2，求a，c【考点】HU：解三角形菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B（）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c【解答】解：（）由正弦定理得a2+c2ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，故cosB=，B=4
22、5（）sinA=sin（30+45）=sin30cos45+cos30sin45=故a=b=1+c=b=2=【点评】本题主要考查了解三角形问题考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用19（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立（）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独
23、立事件概率公式可得P（10.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p（10.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（10.5）（10.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率
24、为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C310.20.82=0.384【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目20（12分）如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明
25、SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（）证明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=侧面SAB为等边三角形，AB=2SA=2SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如图所示的空间坐标系则A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，
26、CD=SD=1可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0（1，3），求a的取值范围【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲
27、线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（）f（x）=3x2+6ax+36a由f（0）=12a4，f（0）=36a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（36a）x+12a4，当x=2时，y=2（36a）+12a4=2，可得点（2，2）在切线上曲线y=f（x）在x
28、=0的切线过点（2，2）（）由f（x）=0得 x2+2ax+12a=0（1）方程（1）的根的判别式当时，函数f（x）没有极小值当或时，由f（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1a+3，解得综合，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高22（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、
29、B、Q四点在同一圆上【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可【解答】证明：（）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：，则直线AB的方程为：y=x+1 联立方程可得4x22x1=0，则x1+x2=，x1x2=则y1+y2=（x1+x2）+2=
30、1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=（+）=（，1）p的坐标为（，1）代入方程成立，所以点P在C上（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y=（x），即y=x+；P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=x；联立方程组，解之得：x=，y=的交点就是圆心O1（，），r2=|O1P|2=（）2+（1）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y）2=，把y=x+1 代入，有x1+x2=，y1+y2=1A，B也是在圆上的A、P、B、Q四点在同一圆上【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键
