1、绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1函数的定义域是 2若直线与直线平行,则 3函数的反
2、函数 4方程 的解是 5已知,且,则的最大值是 6函数的最小正周期 7在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示) 8以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9对于非零实数,以下四个命题都成立: ; ; 若,则; 若,则 那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是 10在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件: 11已知为圆上任意 一点(原点除外),直线 的倾斜角为弧度,记 在右侧的坐标系
3、中,画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二选择题(本大题满分16分)本大题共有4 题,每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分12已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程 的两个根,那么的值分别是() 13设是非零实数,若,则下列不等式成立的是() 14直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中,若,则的可能值个数是()1 2 3 4 15设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推出成立”那么,下列命题总成立的
4、是() 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 三解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤16(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱中, 求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示) 17(本题满分14分) 在中,分别是三个内角的对边若,求的面积 18(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年
5、生产量的增长率为36%) (1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦); (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)? 19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 已知函数,常数 (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由; (2)若函数在上为增函数,求的取值范围 20(本题满分18分)
6、本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分 如果有穷数列(为正整数)满足条件,即(),我们称其为“对称数列”例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,依次写出的每一项;(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列记各项的和为当为何值时,取得最大值?并求出的最大值;(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和 21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分我们把由半椭
7、圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,如图,点,是相应椭圆的焦点,和,分别是“果圆”yO.x.与,轴的交点(1) 若是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当时,求的取值范围;(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由绝密启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,
8、反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1函数的定义域是 【答案】 【解析】 2若直线与直线平行,则 【答案】 【解析】 3函数的反函数 【答案】 【解析】由4方程 的解是 【答案】 【解析】 (舍去),。5已知,且,则的最大值是 【答案】 【解析】 ,当且仅当x=4y=时取等号.6函数的最小正周期 【答案】 【解析】 。7在五
9、个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示) 【答案】 【解析】 8以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 【答案】 【解析】双曲线的中心为O(0,0),该双曲线的左焦点为F(3,0),则抛物线的顶点为(3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是)9对于非零实数,以下四个命题都成立: ; ; 若,则; 若,则 那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是 【答案】 【解析】 对于:解方程得 a= i,所以非零复数 a = i 使得,不成立;显然成立;对于:在复数集C中,|1|=|i|,则 ,所以不成立;显然成立。则对于
10、任意非零复数,上述命题仍然成立的所有序号是 10在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个 相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件: 【答案】 ,并且与相交(,并且与相交)【解析】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“,并且与相交”或“,并且与相交”。11已知为圆上任意 一点(原点除外),直线 的倾斜角为弧度,记 在右侧的坐标系中,画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为【答案】 【解析】 二选择题(本大题满分16分)本大题共有4 题,每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中有且只有一个
11、结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分12已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程 的两个根,那么的值分别是() 【答案】A 【解析】 因为2+ a i,b+i( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根,所以a=1,b=2,所以实系数一元二次方程的两个根是 所以。13设是非零实数,若,则下列不等式成立的是() 【答案】C 【解析】若abb2,A不成立;若B不成立;若a=1,b=2,则,所以D不成立 ,故选C。14直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形 中,若,则的可能值个
12、数是()1 2 3 4【答案】B 【解析】解法一: (1) 若A为直角,则; (2) 若B为直角,则;(3) 若C为直角,则。所以 k 的可能值个数是2,选B 解法二:数形结合如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2,选B15设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推出成立”那么,下列命题总成立的是() 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 若成立,则当时,均有成立 【答案】D 【解析】 对A,当k=1或2时,不一定有成立
13、;对B,应有成立;对C,只能得出:对于任意的,均有成立,不能得出:任意的,均有成立;对D,对于任意的,均有成立。故选D。三解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤16(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱中, 求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示)【解析】法一: 由题意,可得体积,连接 ,平面,是直线与平面所成的角 ,则 即直线与平面所成角的大小为法二: 由题意,可得 体积, , 如图,建立空间直角坐标系 得点, 则,平面的法向量为 设直线与平面所成的角为,与的夹角为, 则, , 即直线与平面所成角的大小为 17(本题满分14分) 在中,分别是
14、三个内角的对边若,求的面积【解析】 由题意,得为锐角, , 由正弦定理得 , 18(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%) (1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦); (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年
15、生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?【解析】(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ,则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) (2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为,则解得 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 已知函数,常数 (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由; (2)若函数在上为增函数,求的取值范围【解析】(1)当时, 对任意, 为偶函数 当时, 取,
16、得 , , 函数既不是奇函数,也不是偶函数 (2)解法一:设, , 要使函数在上为增函数,必须恒成立 ,即恒成立 又, 的取值范围是 解法二:当时,显然在为增函数 当时,反比例函数在为增函数,在为增函数 当时,同解法一 20(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分 如果有穷数列(为正整数)满足条件,即(),我们称其为“对称数列”例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,依次写出的每一项;(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列记各项的和为当为何值时,取得最大值?并
17、求出的最大值;(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和【解析】(1)设的公差为,则,解得 , 数列为 (2), , 当时,取得最大值的最大值为626 (3)所有可能的“对称数列”是: ; ; ; 对于,当时, 当时, 对于,当时, 当时, 对于,当时, 当时, 对于,当时, 当时,21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,如图,点,是相应椭圆的焦点,和,分别是“果圆”yO.x.与,轴的交点(2) 若是边长为1
18、的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当时,求的取值范围;(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由yO.Mx【解析】(1) , 于是,所求“果圆”方程为 , (2)由题意,得 ,即 ,得 又 (3)设“果圆”的方程为, 记平行弦的斜率为当时,直线与半椭圆的交点是,与半椭圆的交点是 的中点满足 得 , 综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时,以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上 当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上