1、2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则( )A C D. 2“”是“”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3已条变量满足则的最小值是( )A4 B.3 C.2 D.14.函数的反函数是( ) 5.已知直线m,n和平面满足,则( ) 或 或6下面不等式成立的是( )A BC D7在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )A B C D8某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则
2、重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )A15 B45 C60 D759长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是( )A B C D210若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A B C D 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。11已知向量，则|=_.12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别 人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。13记的展开式中第m项的系数
3、为，若，则=_.14将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是_,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_.15设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,定义则_;当时，函数的值域是_。三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。17（本小题满分12分）已知函数.（I
4、）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。18（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP的大小。19（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。20（本小题满分13分）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，求使的所有k的值，并说明理由。21（本小题满分13分）已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调
5、递减，求的取值范围。2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则( )A C D. 【答案】B【解析】由，易知B正确. 2“”是“”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由得，所以易知选A.3已条变量满足则的最小值是( )A4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最小值是故选C.4.函数的反函数是( ) 【答案】B【解析】用特殊点法
6、,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。5.已知直线m,n和平面满足,则( ) 或 或【答案】D 【解析】易知D正确.6下面不等式成立的是( )A BC D【答案】A【解析】由 , 故选A.7在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )A B C D【答案】D 【解析】由余弦定理得所以选.8某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )A15 B45 C60 D75【答案】C【解析】用直接法：或用间接法：故选.9长方体的8个顶点在同一个球
7、面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是( )A B C D2【答案】B【解析】设则故选.10若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】而双曲线的离心率故选.二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。11已知向量，则|=_.【答案】 【解析】由 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别 人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。【答案】60 【解析】由上表得13记的展开式中第m项的系
8、数为，若，则=_.【答案】5 【解析】由得所以解得14将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是_,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_.【答案】, 【解析】易得圆C的方程是, 直线的倾斜角为,所以直线的斜率为15设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,定义则_;当时，函数的值域是_。【答案】 【解析】当时，当时， 所以故函数的值域是.三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人
9、都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A,B,C相互独立，且（I）至少有一人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为 17（本小题满分12分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。解：由题设有（I）函数的最小正周期是（II）由得即 因为,所以从而于是 18（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP的大小。解：解法一（I）如图所
10、示, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以又所以 又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以又所以是二面角的平面角在中, 故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得 所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,故二面角的大小为19（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原
11、点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（I）设椭圆的方程为由条件知且所以 故椭圆的方程是（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是 设点关于直线的对称点为则 解得因为点在椭圆上，所以即设则因为所以于是,当且仅当上述方程存在正实根,即直线存在.解得所以 即的取值范围是20（本小题满分13分）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，求使的所有k的值，并说明理由。解：（I）因为所以 一般地, 当时， 即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列， 因此当时， 所以数列
12、是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 （II）由（I）知， 于是.下面证明: 当时，事实上, 当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.21（本小题满分13分）已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设则 当时， 在上为增函数; 当时， 在上为减函数; 当时， 在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. 当或时,最多只有两个不同实根. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故. （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减，则, 或, 若,则.由（I）知，,于是 若,则且.由（I）知， 又当时，; 当时，. 因此, 当时，所以且即故或反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述, 的取值范围是.
