1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则【 】A, B,C. , D. , 2对于非零向量“”是“”的【 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 】A B C. D.4如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 】A B C D 5从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】A 85 B 56 C
2、 49 D 286已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 】A B C D7正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 】A2 B3 C 4 D58设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【 】AK的最大值为2 BK的最小值为2CK的最大值为1 DK的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.10在的展开式中，的系数为_(用数字作答).1
3、1若，则的最小值为 .12已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为 13一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 。14在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为 ；（2）过，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .15将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一
4、直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ， ， .三解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小17（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及
5、数学期望。18（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，点D是的中点，点E在上，且（I）证明：平面平面；（II）求直线和平面所成角的正弦值。19（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。（）试写出关于的函数关系式；（）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍
6、之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （）求点P的轨迹C； （）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。21（本小题满分13分）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 ,则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（）设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的
7、真假，并证明你的结论；()若数列都是数列，证明：数列也是数列。2009年高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（09湖南理）若，则【 D 】A, B, C. , D. , 解:由,，易知D正确. 2（09湖南理）对于非零向量“”是“”的【 A 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解:，；反之不成立，故选A.3（09湖南理）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 D 】A B C. D.解:依题意得，易知D正确. 4（09湖南理）如图1，当
8、参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 B 】 A B C D 解: 易知，故可排除C,D,再取特殊值，结合图像可得，故选B. 5（09湖南理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A 85 B 56 C 49 D 28 解: 除开丙，由间接法得，故选C. 6（09湖南理）已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 B 】 A B C D解:作图，由，故弧长为，选B.7（09湖南理）正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 C 】A2 B3 C 4 D5 解:如图，用列举法知合要求的
9、点的个数为：的点E、的点F、D，共4个，故选C.8（09湖南理）设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 取函数。若对任意的，恒有，则【 D 】AK的最大值为2 BK的最小值为2CK的最大值为1 DK的最小值为1 解: 由恒成立知,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在时，排除B,因此选D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9（09湖南理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故.
10、 注：最好作出韦恩图！ 或由人.10（09湖南理）在的展开式中，的系数为_7_(用数字作答).解: 故有：，得的系数为7.11（09湖南理）若，则的最小值为 .解: ，当且仅当时取等号.12（09湖南理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线C的离心率为 .解: 设双曲线C的左右焦点为，虚轴的上下两个端点为，由于 故,则有, 13（09湖南理）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 40 。解: 设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为14（0
11、9湖南理）在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 12 ；（2）过，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 .解: 由AB=6，BC=8，CA=10得是以B为直角顶点的直角三角形，（1）设斜边AC的中点为,则，故;（2）作,则，故15（09湖南理）将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的
12、数之和为，则有， ， ， .解: 若依题意顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C处的数均为（极限法）来思考：则图2中有个，得；故图3中有个，得；易知时有个，探讨数列（可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知:个,三解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（09湖南理）（本小题满分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小.解： 设.由得，所以.又因此 .由得，于是.所以，因此，既.由知，所以，从而或，既或故或。17（09湖南理）（本小题满分12分）为拉动经济增长，
13、某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且 （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P= （）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，
14、B（3，），且=3-。所以P（=0）=P（=3）=， P（=1）=P（=2）= =，P（=2）=P（=1）=，P（=3）=P（=0）= = .故的分布列是0123P的数学期望E=+=2.解法2: 记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件，i=1,2,3 . 由已知，相互独立，且P（）=（）= P（）+P（）=+=，所以,即， 故的分布列是0123P18（09湖南理）（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，点D是的中点，点E在上，且.（I）证明：平面平面；（II）求直线和平面所成角的正弦值。 解：（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=
15、A，所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面.（2）解法1： 如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF.由正三棱柱的性质及D是的中点知，CD，DF .又CDDF=D，所以平面CDF.而AB，所以AB平面CDF.又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=.所以 sinHAD=。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为.解法2： 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则
16、AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，）.设平面ABC的法向量为,则有解得 故可取.所以，=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。19（09湖南理）（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少
17、个桥墩才能使最小？解：（）设需新建个桥墩，则，所以 （）由（）知， 令，得，所以=64. 当064时，0. 在区间（64，640）内为增函数.所以在=64处取得最小值，此时故需新建9个桥墩才能使最小。20（09湖南理）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 . （）求点P的轨迹C； （）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解：（）设点P的坐标为（x，y），则由题设，即. 当x2时，由得 化简得当时，由得化简得.故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2
18、的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.（）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 . 若直线的斜率k存在，则直线的方程为.（）当k，或k，即k或k时，直线与轨迹C的两个交点都在上，此时由知，从而MN= MF+ NF= （6 -）+（6 - ）=12 - ( +).由 得.则，是这个方程的两根，所以+=，MN=12 -（+）=12 -.因为当所以 当且仅当时，等号成立。（）当时，直线与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设点在上，点在上，则由知，.设
19、直线AF与椭圆的另一交点为E，所以。而点A，E都在上，且由（）知 . 若直线的斜率不存在，则=3，此时.综上所述，线段MN长度的最大值为.21（09湖南理）（本小题满分13分）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 ,则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（）设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题
20、的真假，并证明你的结论；()若数列都是数列，证明：数列也是数列。解:（）设满足题设的等比数列为,则，于是 .因此=因为所以即 . 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列. 此命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但, .由的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为真命题.事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 ，即。于是 ，所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）（III）若数列是数列，则存在正数，对任意的有 ；，注意到 .同理， . 记，则有.因此 .故数列是数列.
