1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合，则（ ）A.B.C.D.答案：B解析：由图知，.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间答案：C解析：A.低于万元的比率估计为，正确.B.不低于万元的比率估计为，正确.C.平均值为万元，不正确.D.万
2、到万的比率为，正确.3.已知，则（ ）A.B.C.D.答案：B解析：.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ） A.B.C.D.答案：A解析：记，由及，得，又由余弦定理知，得，从而.6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A
3、.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若，则.，则单调递增；，则单调递减，甲乙，又若单调递增，则恒成立，恒成立，甲乙.综上：甲乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，三点，且，在同一水平面上的投影，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点
4、的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（ ）（）A.B.C.D.答案：B解析：过C作的垂线交于点M，过B作的垂线交于点N，由题意得，即.所以，所以.得A，C两点到水平面的高度差约为，故选B。9.若，则（ ）A.B.C.D.答案：A解析：.又.如图，.10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）A.B.C.D.答案：C解析：把位置依次标为到.总数：先排个，有种，再排个，有一种，故共有种.满足题设的排法：先排个，有种.其间有个空，选个空插入有种.故.满足题设排法的另一种解释：的位置有，共种.11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）A.B.C.D.答案：A解析：记为
5、所在圆面的圆心，则.又，所以.所以.故选A.12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）A.B.C.D.答案：D解析：为奇函数，关于中心对称，.因为偶函数，故关于轴对称，周期为.，.即，.，.故.故选D.二、填空题13.曲线在点处的切线方程为 .答案：.解析：，.切线：.14.已知向量，.若，则 .答案：解析：，.所以.15.已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 .答案：解析：如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.设，则，得.所以，四边形面积为.16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 .答案：解析：由图可知，的最小正
6、周期，.，.，.或.结合图像可知，满足的离轴最近的正数区间，无正数；的离轴最近的正数区间为，最小正整数.三、解答题（1）必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为；（2）由题意.所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列的各项均
7、为正数，记为的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列是等差数列：数列是等差数列：.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，答案：见解析解析：，,证明：设等差数列的公差为.因为，所以，则.所以，所以.所以是首项为，公差为的等差数列.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？答案：见解析；解析:（1）连，取中点连，由为，的中点，则，又，则共面，故面.又在侧面中，则又，则.（2），则.又则.如图以为原点建立坐标轴，则，.设则.则面法向量为，对面设法向量为，则，则.要求最小正弦值则求最大
8、余弦值.当时二面角余弦值最大，则时二面角正弦值最小.20.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.（1）求，的方程；（2）设，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线，与的位置关系，并说明理由.答案：见解析；解析：（1），.（2）设，.，所以.，所以.所以，是方程的两根.又，所以.所以，即直线与相切.21.已知且，函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.答案：见解析；解析：（1）时，.当时，单调递增；当时，单调递减.故在上单调递增，在上单调递减.（2）由题知在有两个不等根；.令，在单调递增，在单调递减.又，.所以且.四、选考题（2选1）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.答案：见解析解析：（1）.（2）设，由.又在上，所以.则为为圆心，半径为的圆，所以所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.23.已知函数，.（1）画出和的图象；（2）若，求的取值范围.答案：见解析；解析：（1）；（2）当时，恒不满足，此时；当时，恒成立，必有.当时，时，所以.时，令，所以.时，.，所以.所以，.
