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精品解析:【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版).doc

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资源描述

1、河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试(理科)必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则集合等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选D.2. ,若,则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ,则 ,选A.点睛:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列,若,且,则此数列的前5项和

2、等于 ( )A. B. 41 C. D. 【答案】A【解析】因为,所以 ,选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段的中点在双曲线的渐近线上,则该双曲线的离心率等于( )A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ,即 ,选D.5. 在中,“ ”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时,所以必要性成立; 时,所以充分性不成立,选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内,则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A学|科|网.【解析】由题意得 ,

3、可行域如图三角形内部(不包括三角形边界,其中三角形三顶点为 ):,而 ,所以直线过C取最大值 ,过B点取最小值, 的取值范围是,选A.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图,一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,若该简单几何体的体积是,则其底面周长为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意,几何体为锥体,高为正三角形的高 ,因此底面积为 ,即底面为

4、等腰直角三角形,直角边长为2,周长为 ,选C.8. 20世纪30年代,德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输出的值为8,则输入正整数的所有可能值的个数为( )A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 ;,因此输入正整数的所有可能值的个数为4,选B.9. 的展开式中各项系数的和为16,则展开式中 项的系数为( )A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系

5、数为 ,选A.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10. 数列为非常数列,满足:,且对任何的正整数都成立,则的值为( )A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275【答案】B【解析】因为,所以,即,所以,叠加得,,,即从第三项起成等差数列,设公差为 ,因为,所以解得,即 ,所以 ,满足, ,选B.11. 已知向量 满足,若,的最大值和最小值分别为,则等于( )A. B. 2 C. D.

6、 【答案】C【解析】因为所以 ;因为,所以学|科|网.的最大值与最小值之和为,选C.12. 已知偶函数满足,且当时,关于的不等式在上有且只有200个整数解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为偶函数满足,所以 ,因为关于的不等式在上有且只有200个整数解,所以关于的不等式在上有且只有2个整数解,因为 ,所以 在 上单调递增,且,在 上单调递减,且,因此,只需在上有且只有2个整数解,因为 ,所以 ,选C.点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象

7、的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是,则_【答案】39.4【解析】 点睛:函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关,则直接根据

8、用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位(),若所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是_【答案】【解析】 向右平移个单位得为偶函数,所以,因为,所以 学|科|网.点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60,则四面体的体积为_【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE,取 ,则 16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物

9、线的交点,是坐标原点,且满足,则的值为_【答案】【解析】因为,所以 因此,所以 因为 ,所以 ,因此 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图,已知关于边的对称图形为,延长边交于点,且,.(1)求边的长;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)先由同角三角函数关系及二倍角公式求出再由余弦定理求出,最后根据角平分线性质定理得边的长;(2)先由余弦定理求出,再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析:解:(1)因为,所以,所以因为,所以,所以,又,所以(2)由(1)知,所以,所以,因为,所以,所以学|科|网.18. 如图,已知圆锥和圆柱的组合

10、体(它们的底面重合),圆锥的底面圆半径为,为圆锥的母线,为圆柱的母线,为下底面圆上的两点,且,.(1)求证:平面平面; (2)求二面角的正弦值【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面,即有,最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面;(2)求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析:解:(1)依题易知,圆锥的高为,又圆柱的高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,所以,所以,解得,又因为,圆的直径为10,

11、圆心在内,所以易知,所以因为平面,所以,因为,所以平面又因为平面,所以平面平面(2)如图,以为原点,、所在的直线为轴,建立空间直角坐标系则所以,设平面的法向理为,所以,令,则可取平面的一个法向量为,所以,所以二面角的正弦值为19. 如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为(1)求游戏结束时小华在

12、第2个台阶的概率;(2)求的分布列和数学期望【答案】(1)(2)学|科|网.【解析】试题分析:(1)根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,逆推确定事件数及对应划拳的次数,最后利用互斥事件概率加法公式求概率,(2)先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析:解:(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢(或输)包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件“第次划拳

13、小华赢”为;事件“第 次划拳小华平”为;事件“第 次划拳小华输”为,所以因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为(2)依题可知的可能取值为2、3、4、5,所以的分布列为:2345所以的数学期望为:20. 如图,已知为椭圆上的点,且,过点的动直线与圆相交于两点,过点作直线的垂线与椭圆相交于点(1)求椭圆的离心率;(2)若,求【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)根据题意列方程组:,

14、解方程组可得,再根据离心率定义求椭圆的离心率;(2)先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求试题解析:解:(1)依题知,解得,所以椭圆的离心率;(2)依题知圆的圆心为原点,半径为,所以原点到直线的距离为,因为点坐标为,所以直线的斜率存在,设为所以直线的方程为,即,所以,解得或当时,此时直线的方程为,所以的值为点纵坐标的两倍,即;当时,直线的方程为,将它代入椭圆的方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以点睛:有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中,应熟练地利用根

15、与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数,其中为自然对数的底数(参考数据: )(1)讨论函数的单调性;(2)若时,函数有三个零点,分别记为,证明:【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据参数a讨论:当时,是常数函数,没有单调性当时,先减后增;当时,先增后减;(2)先化简方程,整体设元转化为一元二次方程:其中,再利用导数研究函数的图像,根据图像确定根的取值范围,进而可证不等式.试题解析:解:(1)因为的定义域为实数,所

16、以当时,是常数函数,没有单调性当时,由,得;由,得所以函数在上单调递减,在上单调递增当时,由得,; 由,得,学|科|网.所以函数在上单调递减,在上单调递增(2)因为,所以,即令,则有,即设方程的根为,则,所以是方程的根由(1)知在单调递增,在上单调递减且当时,当时,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证所以,又函数在上单调递增,所以,所以选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为,且经过点,以坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相

17、交于两点,过点的直线与曲线相交于两点,且(1)平面直角坐标系中,求直线的一般方程和曲线的标准方程;(2)求证:为定值【答案】(1),(2)【解析】试题分析:(1)根据点斜式可得直线的一般方程,注意讨论斜率不存在的情形;根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,配方化为标准方程.(2)利用直线参数方程几何意义求弦长:先列出直线参数方程,代入圆方程,根据及韦达定理可得,类似可得,相加即得结论.试题解析:解:(1)因为直线的倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线的斜率为,所以其方程为,即一般方程为因为的极坐标方程为,所以,因为,所以所以曲线的标准方程为(2)设直线的参数方程为(为参数),学|科|网.代入曲线的标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以23. 选修4-5:不等式选讲已知实数满足(1)求的取值范围;(2)若,求证:【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)因为,所以,又,即得的取值范围;(2)因为,而,即证.试题解析:解:(1)因为,所以当时,解得,即;当时,解得 ,即,所以,则,而,所以,即;(2)由(1)知,因为当且仅当时取等号,所以

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