1、2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，全集，若，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,所以,故选C.2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）A. -2 B. 4 C. D. -4【答案】B【解析】,虚部为,故选B.3. 已知，成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【解析】依题意可知,所以.4. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大C. 相关指
2、数变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】依据线性相关的有关知识可知：去掉数据后相关系数变大；相关指数也变大；同时解释变量与预报变量的相关性也变强，相应的残差平方和变小，故应选答案C。5. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，。由，即椭圆离心率的取值范围为。选B。点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a，b，c的值，由直接求(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求
3、解6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.7. 函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.8. 更相减损术是中国古代数学专著九章算术中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，则输出
4、的值是（ ）A. 68 B. 17 C. 34 D. 36【答案】C【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当 时，此时，则；这时，此时，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。点睛：本题的求解要充分借助题设的算法流程图中提供的算法规则，按照程序中提供的算法步骤进行操作和运算，最终求出算法程序结束时输出的结论是。9. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,故函数在区间上递增,故函数在上递减.所以,解得,故选B.10. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，
5、连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7【答案】A【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A.11. 已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设正四面
6、体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线与所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获解。12. 已知，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,故,或,解得或.故选D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,
7、求解得的取值范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图，在半径为2的扇形中，为弧上的一点，若，则的值为_【答案】【解析】因为,所以 以O为坐标原点,OA为x轴建系，则 14. 若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为_【答案】【解析】设，由，得，所以所求概率点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，
8、尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率15. 已知在中，角，的对边分别为，则下列四个论断中正确的是_（把你认为是正确论断的序号都写上）若，则；若，则满足条件的三角形共有两个；若，成等差数列，成等比数列，则为正三角形；若，的面积，则.【答案】【解析】对于,由正弦定理得,即,故,所以正确.对于,由余弦定理得解得,故有唯一解,所以错误.对于.由正弦定理得,而,所以为正三角形,所以正确.对于:根据面积公式有,此时角应该对应两个解,一个钝角一个锐角,故错误.综上所述正确.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查
9、解三角形解的个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性.16. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】画出图形如下图所示。由椭圆的定义可知：。，。，。在中，由余弦定理可得：,在中，由余弦定理可得：。，,整理得，。 答案：。点睛：本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理，分别在和中得到关于a和c的等式；然后由可得，综合两式可得，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大
10、，需要学生由较高的处理数据的能力。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前项和.【试题解析】（1）当时，所以；当时，则，即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以， ， ，得 ，所以.18. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，侧面为菱形，.（1）求证：.（2）若，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案
11、】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为同起点的向量，即，利用，可求得；（2）设线段的中点为以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值为.试题解析：（1）解一：因为侧面为菱形，所以，又，所以，（2）设线段的中点为，连接，由题意知平面，因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。设，由可知，所以，从而，所以由可得，所以设平面的一个法向量为，由，得取，则，所以又平面的法向量为，所以考点：空间向量证明垂直与求二面角.19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外
12、保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】（1）6.25元，12.5元，62.5元. （2）55000（元）. 【解析】试题分析：（I）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，
13、根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.试题解析：（）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为保险公司期望收益为 根据规则解得元，设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.（）购买类产品的份数为份，购买类产品的份数为份，购买类产品的份数为份，企业支付的总保费为 元，保险公司在这宗交易中的期望利润为元.20. 如图，已知椭圆的离心
14、率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，且点在轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再结合离心率为 ，解出，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得,再根据实轴长等于虚轴长得（2）设P点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD方程,利用韦达定理及弦长公式求；根据椭圆性质确定直线AB,CD斜率关系，根据焦点三角形求向量
15、夹角，综合条件可解得P点坐标试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 （2）设，则，在双曲线上，设 方程为， 的方程为，设，则 ， 同理， 由题知，. ， ,.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解
16、.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求证不等式成立.【答案】（1）见解析.（2）.（3）见解析. 【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式.试题解析：（） ， 当时，增区间，无减区间 当时，增区间，减区间 （） 即在上恒成立 设，考虑到，在上为增函数，当时， 在上为增函数，恒成立 当时， 在上为增函数，在上，递减，这时不合题意， 综上所述， （）要证明在上， 只需证明由（
17、）当a=0时，在上，恒成立 再令 在上，递增，所以 即，相加，得所以原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数). （1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）.（2）1.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网.【试题解析】（1）由，得，令，得.因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.（2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设点对应的参数分别为，则，所以 .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）.【解析】【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有,对分类讨论函数的最小值,由此得到的取值范围.【试题解析】（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或.（2）因为，使得成立，所以.又，所以.当，即时，解得，所以；当，即时，解得，所以；当，即时，解得或，所以或.综上，实数的取值范围为.
