1、2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】分析：复数分子、分母同乘以，可化为，根据实部和虚部的定义可得结果.详解：因为复数 ，所以，复数的实部是，虚部是，故选A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用三角函数的有界性化简集合，然后根据交集的定义求解即可.详解：
2、，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3. 已知随机变量服从正态分布，且，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.详解：随机变量服从正态分布，曲线关于对称，且，由，可知，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线对称；（2）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为.4. 下列有关命题的说
3、法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是 “若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应
4、地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. 已知满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为，故选D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上
5、的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将函数向左平移个单位，可得对应的函数解析式为:，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为:，则故选A点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.8. 我国古代著名九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程
6、序框图即源于“辗转相除法”，当输入，输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264；不满足条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198；不满足条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66；不满足条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0满足条件r=0，退出循环输出a的值为66选A9. 已知实数，满足约束条件若不等式 恒成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处
7、取得最大值，在点或点处取得最小值，即.题中的不等式即：，则：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：.综上可得，实数的最大值为.本题选择A选项.10. 已知函数，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时，；当时，；所以当时， ，从而，因为，所以当时，；当时，；因此当时， ，选C.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；
8、第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小11. 设双曲线： 的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,所以由勾股定理，得，得,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，分类讨论思想，属于中档题，首先对是的一个四等分点进行分类讨论，经过讨论，只有成
9、立，经过分析，发现证明了 是直角三角形，且，因此可利用勾股定理得到之间的关系，进而得到的值，综合分析发现得到 是直角三角形是解决问题的关键.12. 已知偶函数满足，且当时，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据的周期和对称性得出不等式在上有正整数解的个数为，利用导数研究函数的单调性，计算的值，结合函数图象列不等式，即可得出的范围.详解：偶函数满足，的周期为，且的图象关于直线对称，由于上含有个周期，且在每个周期内都是对称轴图形，关于的不等式在上有个正整数解，当时，中上单调递增，在上单调递减，当时，当时， 在上有个正整数，
10、不符合题意， ，由可得或，显然在上无正整数解，故而在上有个正整数，分别为，故选D.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，先将上有且只有个整数解，转化为关于的不等式在上有个正整数解，再转化为利用函数研究函数的单调性，从而得到结论.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13
11、. 已知平面向量，且，若为平面单位向量，则的最大值为_ 【答案】【解析】分析：由，且求出向量平面向量的夹角，设出，然后利用向量的坐标运算求解.详解：由，且，得，设出，的最大值为，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14. 二项式展开式中的常数项是_ 【答案】5【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公
12、共点，且为等边三角形，则的值是_ 【答案】【解析】由题意，可知，所以，所以。16. 已知直三棱柱中，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是_【答案】【解析】分析：利用与投影面所成角，建立正视图的面积为和侧视图的面积为的关系，利用，求解最大值.详解：与投影面所成角时，平面如图所示，故正视图的面积为，因为，所以，侧视图的面积为，故得的最大值为，故答案为.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值常见类型有：化成的形式利用配方法求最值；形如
13、的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；型，可化为求最值 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）根据，列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列和的通项公式；（2）由（1）可得利用分组求和以及裂项相消法求和即可得结果.详解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，.（2）由（1）知 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的
14、方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.学科网.学科网.学科网.学科网.学科网.学科网.学科网.学科网.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得 ， 平面，由此可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂
15、直数量积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.试题解析：（1）,平面,平面.平面,平面,平面平面.（2）底面是菱形，为的中点 平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则，设平面的法向量为，有得设，则，则解之得，设直线与平面所成角为则 直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法
16、向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(
17、1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.【答案】(1)356;(2)见解析.【解析】分析：（1）根据平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再
18、结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；(2)的可能值为，结合组合知识，根据古典概型概率公式求出随机变量的概率，从而可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1），所以当时，（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，所以；，.点睛：求回归直线方程的步骤：确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 如图，设抛物线 （）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动
19、点，且在，之间移动. （1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.【答案】(1),;(2)的面积最大值为，：.【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又的边长恰好是三
20、个连续的自然数，所以此时抛物线方程为，则直线的方程为联立，得或（舍去），于是所以，设到直线的距离为，则，当时，所以的面积最大值为此时21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求出，根据曲线在点处的切线与轴垂直即切线斜率为，求出的值，解即得函数的单调递增区间和递减区间；（2）由于，所以整理得，分别证明时，和，根据（1）可知：当时，由（1）知成立；当时，即证，构造函数，利用导数研究其在单调性，求出其在上的最大值即可证得，再构造函数，利用导
21、数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.试题解析：（1）因为，由已知得，所以，设，则，在上恒成立，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是（2）因为，要证原式成立即证成立，现证明：对任意恒成立，当时，由（1）知成立；当时，且由（1）知，设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值所以，即时，综上所述，对任意令，则恒成立，所以在上递增，恒成立，即，即当时，有；当时，由式，综上所述，时，成立，故原不等式成立考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和
22、通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【
23、答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即23. 选修4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）.作出函数的图象, 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.详解：（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）即.作出函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.所以实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
