1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 1 页（共 6 页）绝密启用前 试卷类型：（A）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 数 学（文科）20203本试卷共 23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合1 2 3 4 5A，0 2 4 6B，则集合AB的子集共有2若复数2i1 iaz的实部为0，其中a为实数，则|z 3已知向量(1,)OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k,若A、B、C三点共线，则k 4意
2、大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是),3(21nnaaannn，其中11a，12a.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为 5设23.0a，3.0)2(b，2log3.0c，则下列正确的是 A2个 B4个 C6个 D8个 A2 B2C1 D22A0 B1 C2 D3A31B10033C21D10067AcbaBbcaCbacDcab公众号
3、：卷洞洞深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 2 页（共 6 页）公众号：卷洞洞深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 3 页（共 6 页）其中，正确的结论个数是 10函数2()cosln(1)f xxxx 的图象大致为 11已知直三棱柱111ABCABC，90ABC，12ABBCAA，1BB和11BC的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为 12 函数()f x是定义在(0,)上的可导函数，()fx为其导函数，若()()(1)xxfxf xx e，且(2)0f，则()0f x 的解集为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
4、 5 分，共 20 分 13若1sin()43，则sin2_.14 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()(sinsin)abAB()sinacC，2b，则ABC的外接圆面积为_.15已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体积为_.A1 B2 C3 D4 A35 B25 C45 D155 A(0,1)B(0,2)C(1,2)D(1,4)x y 1 1 -A.x y 1 1 -D.x y 1 1 -C.x y 1 1 -B.公众号：卷洞洞深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 4 页（共 6 页）16.设椭圆C:)0(12222babya
5、x的左、右焦点分别为1F、2F，其焦距为c2，O为坐标原点，点P满足aOP2,点A是椭圆C上的动点，且2113FFAFPA恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是_.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分）已知数列，14a，1(1)4(1)nnnanan()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa，求数列 nb前n项和为nT.18（本小题满分 12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售
6、量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量iy和月销售单价ix(1,2,3,6)i 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件）89 83 82 79 74 67（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx，453yx和1043xy，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若 用cbxaxy2模 型 拟 合y与x之 间 的 关 系，可 得 回 归 方
7、程 为25.90875.0375.02xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R分 别 为9702.0和9524.0，请 用2R说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547.na公众号：卷洞洞深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 5 页（共 6 页）19（本小题满分 12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿A
8、F折到AD F的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面AD F底面AECF，平面B CE底面AECF，连接B D.（1）求证：B D /平面AECF；（2）求三棱锥BAD F的体积.20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点)0,2(F的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点)4,2(A的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由.21（本小题满分 12 分）已知函数 21 ln11.fxxxaxa x（1）当
9、1a 时，判断函数的单调性；（2）讨论 fx零点的个数.公众号：卷洞洞深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）试题 第 6 页（共 6 页）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为,sin,cos32tytx（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4（1）求2C的直角坐标方程；（2）直线1C与2C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐
10、标为(2 3,)，若PFPEEF2，求直线1C的普通方程 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知,a b c为正数，且满足1.abc 证明：（1）1119abc；（2）8.27acbcababc 公众号：卷洞洞绝密启用前 试卷类型：（A）2020 年深圳市普通高中高三年级线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B 二、填空题：13.79 14.43 15.4 16.415，.12.【解析】设()()F xx f x=，则()F x=()()(1)xxfxf xx e
11、+=，因此，(0,1)x，()0F x，()F x递增；(1,)x+，()0F x，()F x递减 因为当0 x时，(0)0F，且有(2)0F=所以由()()F xx f x=图象可知，当(0,2)x时，()()0F xxf x=，此时()0f x 16.解析：为使2113FFAFPA+恒成立，只需213FFmax1)(AFPA+，由椭圆的定义可得，aAFAF221=+，所以aPFaAFPAAFPA22221+=+，当且仅当AFP,2三点共线时取等号(2F在线段PA上)，又点P的轨迹是以O为圆心，半径为a2的圆，所以圆上点P到圆内点2F的最大距离为半径与2OF的和，即caPF+22，所以+aP
12、FAFPA221caaca+=+422，所以cac+46，ac45，54=ace，又1e，所以C的离心率的取值范围为154，公众号：卷洞洞三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分）已知数列，14a=，1(1)4(1)nnnanan+=+()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列 nb前n项和为nT 解：解：（1）由1(1)4(1)nnnanan+=+()nN可得，2128aa=，1 分 32
13、3212aa=，434316aa=，1(1)4nnnanan=，(2)n 2 分 累加得18 12+4nnaan=+，3 分 所以(4+4)=4+8 12+4=2nn nnan+，4 分 得=22(2)nann+，5 分 由于14a=，所以=22()nann+N 6 分（2）111111()(22)(24)2 2224nnnbaannnn+=+，9 分 11111111 11()()()()2466822242 424nTnnn=+=+816nn=+12 分【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n项和重点考查等价转换思想，体现
14、了数学运算、逻辑推理等核心素养 18（本小题满分 12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量iy和月销售单价ix(1,2,3,6)i=数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：na公众号：卷洞洞月销售单价x（元/件）4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件）89 83 82 79 74 67（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx=+，453yx=+和1043+=xy，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的 请结合统计学
15、的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若 用cbxaxy+=2模 型 拟 合y与x之 间 的 关 系，可 得 回 归 方 程 为25.90875.0375.02+=xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R分 别 为9702.0和9524.0，请 用2R说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547.解：解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故乙不对，因为5.6
16、6987654=+=x，796677479828389=+=y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确 4 分（2）因为9524.09702.0且2R越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用25.90875.0375.02+=xxy更好（言之有理即可得分）7 分（3）由题意可知，xxxyxz25.90875.0375.023+=，8 分 即xxxz4361878323+=，则436147892+=xxz，9 分 令0=z，则976547+=x（舍去）或976547+=x，10 分 令9765470+=x，当()0,0 xx时，z单调递增，当()+0 xx时z单调递减，所以当0 xx=时，商品
17、的月销售额预报值最大，11 分 因为91.806547，所以77.9x，所以当77.9x时，商品的月销售额预报值最大 12 分 19（本小题满分 12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC=，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF公众号：卷洞洞沿AF折到ADF的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面ADF底面AECF，平面BCE底面AECF，连接B D，（1）求证：B D/平面AECF；（2）求三棱锥BADF的体积 解：解：（1）证明：作DMAF于点M，作B NEC于点N，1 分 2ADDF=，2BCBE=，90ADFCBE=，M，N为AF，CE中点，且DM=2BN=2 分
18、平面ADF底面AECF，平面ADF底面AECF=AF，DMAF，DM平面ADF DM底面AECF，3 分 同理：B N底面AECF，4 分/DMB N，四边形DBNM 为平行四边形,/BDMN 5 分 BD 平面AECF，MN 平面AECF，B D/平面AECF6 分 （2）设点B到平面ADF的距离为h，连接NF7 分/DMB N，DM平面ADF，B N平面ADF B N/平面ADF，8 分 故点B到平面ADF的距离与点N到平面ADF的距离相等8 分 N为CE中点，2EFCE=，NFCE，公众号：卷洞洞/AFCE，NFAF，9 分 平面ADF底面AECF，平面ADF底面AECF=AF，NF 底
19、面AECF，NF 平面ADF，10 分 点N到平面ADF的距离为2NF=，点B到平面ADF的距离2h=11 分 12 222AD FS=，三棱锥BADF的体积112 222333BAD FAD FVSh=12 分 20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点)0,2(F的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点)4,2(A的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由 【解析】（1）如图，过P作y轴的垂线，交y轴于点H，交直线
20、2=x于点1P，-1 分 设动圆圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质得，22=rPH，-2 分 所以rrPP22221=+=，又rPF2=，所以1PPPF=，-3 分 由抛物线的定义知，点P是以)0,2(F为焦点，直线2=x为准线的抛物线，所以曲线C的方程为xy82=-4分(2)由)4,2(A得，A在曲线C上，公众号：卷洞洞(i)当l的斜率存在时，设)2)(,(111xyxM，则1218xy=，AM的中点)24,22(11+yxB，即)22,12(11+yxB，-5 分 在方程xy82=中令221+=yy得21)22(81+=yx，所以)22,)22(81(
21、121+yyD-6 分 设),(22yxN，由中点坐标公式22)22(411212+=xyx，又1218xy=，代入化简得212yx=，所以)22,2(11+yyN，-7 分 直线MN的斜率为112111111428222)22(yyyyyxyy=+，直线MN的方程为111)(4yxxyy+=，将8211yx=代入式化简得2411yxyy+=，-8 分 将82yx=代入式并整理得022112=+yyyy，式判别式04)2(2121=yy，-9 分 所以直线MN与抛物线C相切，所以除M以外，直线MN与C没有其它公共点-10 分(ii)当l的斜率不存在时，)4,2(M，)0,2(B，)0,0(D，
22、)0,2(N，直线MN方程为2=xy，代入xy82=得0442=+xx，-11 分 上式方程判别式0=，除M以外，直线MN与C没有其它公共点 综上，除M以外，直线MN与C没有其它公共点-12 分【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力 21（本小题满分 12 分）公众号：卷洞洞已知函数()()()21 ln11.f xxxaxa x=+（1）当1a=时，判断函数的单调性；（2）讨
23、论()f x零点的个数.解：解：（1）因为1a=，所以()()()()21 ln211 ln1f xxxxxxxx=+=+又()1ln23fxxxx=+，设()1ln23h xxxx=+，-2 分 又()()()2221 1112xxh xxxx+=+=，所以()h x在()0,1为单调递增；在()1,+为单调递减，-3 分 所以()h x的最大值为()10h=，所以()0fx，所以()f x在()0,+单调递减.-4 分（2）因为()()()1 ln1f xxxax=+所以1x=是()f x一个零点 设()ln1g xxax=+，所以()f x的零点个数等价于()g x中不等于1的零点个数再
24、加上1.-5 分（i）当1a=时，由（1）可知，()f x单调递减，又1x=是()f x零点，所以此时()f x有且只有一个零点；-6 分（ii）当0a 时，()g x单调递增，又()10,g()()()22131ln1111xaxaxg xxaxaxxx+=+=+()01x 又()()()()()2231431411axaxaxaxaxx+=+所以104ga+，综上可知()g x在()0,+有一个零点且()10g，所以此时()f x有两个零点；-8 分（iii）又()1axgxx+=，所以当10a，公众号：卷洞洞()g x在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x的最大值为11ln0
25、gaa=又()()()212111011xxg xaxxx+=+103g，又10agee=所以()g x在10,a有一个零点，在1,a+也有一个零点且()10g.所以此时()f x共有 3 个零点；-10 分（iv）又()1axgxx+=，所以当1a 时，()g x在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x的最大值为11ln0gaa=，所以()g x没有零点，此时()f x共有1个零点.综上所述，当1a 时，()f x共有 1 个零点；当10a 时，()f x共有 3 个零点；当0a 时，()f x有两个零点.-12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作
26、答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为=+=,sin,cos32tytx（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4=（1）求2C的直角坐标方程；公众号：卷洞洞（2）直线1C与2C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF+=2，求直线1C的普通方程 解：（1）由题意得，2C的极坐标方程为sin4=，所以sin42=，1分 又sin,c
27、os=yx，2 分 代入上式化简可得，0422=+yyx，3 分 所以2C的直角坐标方程4)2(22=+yx4 分（2）易得点P的直角坐标为)0,32(，将=+=,sin,cos32tytx代入2C的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34(2=+tt，5 分 22(4 3cos4sin)48=8sin()4803=+，解得3sin()32+，或3sin()32+，不难知道必为锐角，故3sin()32+，所以2333+，即03,6 分 设这个方程的两个实数根分别为1t，2t，则 sin4cos3421+=+tt，1221=tt，7 分 所以1t与2t同号，由参数t的几何意义可得，1212
28、8 sin()3PEPFtttt+=+=+=+，2212121 2()44 4sin()33EFttttt t=+=+，8 分 所以22 4 4sin()38 sin()33+=+，公众号：卷洞洞两边平方化简并解得sin()13+=，所以2 6k=+，kZ,因为03，所以6=，9 分 所以直线1C的参数方程为=+=,21,2332tytx 消去参数t，可得直线1C的普通方程为0323=+yx10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力 23
29、（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知,a b c为正数，且满足1.abc+=证明：（1）1119abc+；（2）8.27acbcababc+证明：证明：（1）因为()111111abcabcabc+=+3bacacbabacbc=+3222=9b ac ac ba ba cb c+（当且仅当13abc=时，等号成立）.5 分（2）（证法一）因为,a b c为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，所以acbcababc+()abab cab=+()1abababab=+（）公众号：卷洞洞(1)(1)()baab=+(1)(1)(1)abc=3(1)(
30、1)(1)8327abc+=，所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分（证法二）因为,a b c为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，()1acbcababcabcacbcababc+=+()()()()1111ab ac abca=+()()11abcbc=+()()()111abc=()338327abc+=所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察 公众号：卷洞洞
