1、丰台区丰台区 20192020 学年度第一学期期末练习学年度第一学期期末练习 高高三三数学数学 2020.01 第一部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合|13Axx，|12Bxx，则ABI（A）|13xx （B）|11xx （C）|12xx（D）|23xx 2 命题“000(0+)ln1xxx,，”的否定是（A）000(0+)ln1xxx,，（B）000(0+)ln1xxx,，（C）(0+)ln1xxx,
2、，（D）(0+)ln1xxx,，3 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是（A）yx （B）21yx（C）cosyx（D）12yx 4一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0 0 0),，(0 0 1),，(11 0),，(1 0 1),，则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（A）14（B）12（C）34（D）1 5已知菱形ABCD边长为 1，=60BAD，则=BD CDuuu r uuu rg（A）12（B）12（C）32（D）32 6双曲线2241xy的离心率为（A）5（B）52（C）3（D）32 7已知公差不为 0 的等差数列 na，前n项和为
3、nS，满足3110SS，且124a a a,成等比数列，则3a （A）2（B）6（C）56或（D）12 8.在2 61()xx的展开式中，常数项是（A）20（B）15（C）15（D）30 9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与3log100Q成正比.当1m/sv时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m/sv=时，其耗氧量的单位数为（A）1800（B）2700（C）7290（D）8100 10.在边长为2的等边三角形ABC中，点DE，分别是边ACAB，上的点，满足DEBC且ADAC(0 1),，将
4、ADE沿直线DE折到A DE的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是 （A）在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF平面ACD （B）存在1(0)2,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC平面BCDE（C）若12，当二面角ADEB为直二面角时，104A B （D）在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为()f，()f的最大值为2 39 第二部分第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题二、填空题共共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11.复数11 i+的实部为 12.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组成
5、，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦如果某重卦中有 2 个阳爻，则它可以组成 种重卦（用数字作答）13.已知a b c,分别为ABC内角A B C,的对边，22cab且1sinsin2AC，则cosA 14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足2121nnaa，所有的偶数项满足222nnaa；任意相邻的两项21na，2na满足21na2na.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1 2 3 4 5 6，“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（）若2(1)nnann，则数列 na “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15已知抛物线24Cyx：的
6、焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于A B,两点，若4AF，则AOB的面积为 16定义域为R的函数()f x同时满足以下两条性质：存在0 xR,使得0()0f x；对于任意xR，有(1)2()f xf x.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.（i）若()f x是增函数，则()f x ；（）若()f x不是单调函数，则()f x .三、解答题三、解答题共共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共（本小题共 13 分）分）已知函数2()sin cos3cosf xxxx.（）求()3f的
7、值；（）求()f x在区间02,上的最大值.18.（本小题共（本小题共 14 分）分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1AA平面ABC，2BAC，11AAABAC，1CC的中点为H.（）求证：1ABAC；（）求二面角1ABCA的余弦值；（）在棱11A B上是否存在点N，使得HN平面1ABC？若存在，求 出111A NA B的值；若不存在，请说明理由 19.（本小题共（本小题共 13 分）分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020 年
8、 5 月 1 日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有 30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸，可以挽救 17 棵大树，少用纯碱 240 千克，降低造纸的污染排放 75，节省造纸能源消耗 4050.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A 小区 B 小区 C 小区 D 小区 E 小区 废纸投放量（吨）5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨）3.5 3.6 3.7 3.4 3.3（）从 A，B，C，D，E
9、 这 5 个小区中任取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中，废纸投放量超过5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率；（）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，记 X 为 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的小区个数，求 X 的分布列及期望 20.（本小题共（本小题共 13 分）分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线60 xy相切.（）求椭圆方程；（）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线4x于A，B两点.求证：A，B两点的纵坐
10、标之积为定值.21.（本小题共（本小题共 14 分）分）已知函数321(1)()32af xxxax.（）当1a时，求曲线()yf x在点(0(0)f,处的切线方程；（）讨论函数()f x的单调性；（）对于任意1x，20 2x,，都有122()()3f xf x，求实数a的取值范围.22.（本小题共（本小题共 13 分）分）已知*2nnN，给定n n个整点()x y,其中1x yn x y*N,.（）当2n时,从上面的22个整点中任取两个不同的整点1122()()x yx y,，求12xx的所有可能值；（）从上面n n个整点中任取m个不同的整点，512nm.（i）证明：存在互不相同的四个整点)
11、,(),(),(),(22221111yxyxyxyx，满足11yy,2212yyyy,；（ii）证明：存在互不相同的四个整点),(),(),(),(22221111yxyxyxyx，满足 2211xxxx,.21yy （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）6 丰台区丰台区 20192020 学年度第一学期期末练习学年度第一学期期末练习 高三数学高三数学 参考答案及评分参考参考答案及评分参考 202001 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
12、0 答案 C C B B A A B C D D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 1112 1215 1378 14是；是 15(1 0),；4 33 162x；2 sin2xx(答案不唯一)注：第注：第 14、15、16 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共（本小题共 13 分）分）解：（）2()sincos3cos3333f 23113()222 32.4 分（）2()
13、sincos3cosf xxxx 1cos21sin2322xx 3sin(2)32x.因为02x,，所以 42333x,.当232x，即12x 时，()f x取得最大值312.13 分 7 18.（本小题共（本小题共 14 分）分）证明：（）因为1AA 平面ABC，AB 平面ABC，所以1AAAB.因为2BAC，所以ACAB.又因为1ACAAAI，所以AB 平面1A AC.因为1AC 平面1A AC，所以1ABAC.4 分 （）由（）可知AB，AC，1AA两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系Axyz 因为11AAABAC，所以(0 0 0)A，(10 0)B，(010)C，1(0 01)A
14、，.因为1AA 平面ABC，所以1(0 0 1)AA uuur,即为平面ABC的一个法向量.设平面1A BC的一个法向量为()x y z,n，1(1 01)A B uuu r,，1(0 11)AC uuu r,，则1100.ABACuuu ruuu r,nn 即00.xzyz,令1z，则11xy,.于是(1 1 1),n.所以1113cos3AAAAAAuuu ruuu ruuu r,nnn.由题知二面角1ABCA为锐角，所以其余弦值为33.10 分 （）假设棱11A B上存在点()N x y z,，使得HN平面1ABC.8 由111(01)A NABuuuruuuu r，又11(1 0 0)
15、A B uuuu r,，故1(0)0A Nuuur,.因为1(0 11)C，H为1CC的中点，所以1(0 1)2H，.所以111(1)2HNHAA Nuuu ruuu ruuur,-,.若HN平面1ABC，则1102HNuuu r-+n，解得10 12,.又因为HN 平面1ABC.所以在棱11A B上存在点N，使得HN平面1ABC，且11112A NA B.14 分 19（本小题共（本小题共 13 分）分）解：（）记“该小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨”为事件A.由题意，有 B，C 两个小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投
16、放量超过 3.5 吨，所以2()5P A.4 分 （）因为回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸，所以 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的小区有 B，C，共 2 个小区.X的所有可能取值为 0，1，2.23253(0)10CP XC；11322563(1)105CCP XC；22251(2)10CP XC.所以X的分布列为:X 0 1 2 P 310 35 110 3314()012105105E X .13 分 9 20.（本小题共（本小题共 13 分）分）解：解：（）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60 xy相切，所以半径b等于原点到直线的距离d，0061
17、1bd，即3b.由离心率12e，可知12ca，且222abc，得2a.故椭圆C的方程为22143xy.4 分 （）由椭圆C的方程可知(2 0)S,.若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x，所以33(1)(1)22PQ,.则直线PS的方程为3260 xy，直线QS的方程为3260 xy.令4x，得(4 3)A,-，(4 3)B,.所以AB，两点的纵坐标之积为9.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为)0)(1(kxky,由22(1)34120yk xxy得2222(34)84120kxk xk，依题意0恒成立.设112212()()(0)P x yQ x yx x,，则2212122284123
18、434kkxxx xkk,.设(4)AAy,(4)BBy,，由题意PSA，三点共线可知11422Ayyx，所以点A的纵坐标为1122Ayyx.同理得点B的纵坐标为2222Byyx.所以12122222AByyy yxx.10 212121212222222222()142()441284344122 84(43)9449x xxxkx xxxkkkkkkkkk 综上，AB，两点的纵坐标之积为定值.13 分 21（本小题共（本小题共 14 分）分）解：解：（）当1a 时，因为321()3f xxxx 所以2()21fxxx，(0)1f.又因为(0)0f，所以曲线()yf x在点(0(0)f,处的
19、切线方程为yx.4 分（）因为321(1)()32af xxxax，所以2()(1)0fxxaxa.令()0fx，解得xa或1x.若1a，当()0fx即1x 或xa时，函数()f x单调递增；当()0fx即1xa时，函数()f x单调递减.若1a，则22()21(1)0fxxxx，当且仅当1x 时取等号，函数()f x是增函数.若1a，当()0fx即xa或1x 时，函数()f x单调递增.当()0fx即1ax时，函数()f x单调递减.综上，1a 时，函数()f x单调递增区间为(1)()a,+，单调递减区间为(1)a,；1a 时，函数()f x单调递增区间为(),；1a 时，函数()f x单
20、调递增区间为()(1)a,+，单调递减区间为(1)a,.9 分 11 （）令2()(1)0fxxaxa，解得xa或1x.当0a 时，随x变化，()()fxf x,变化情况如下表：由表可知(0)(1)ff，此时2(2)(1)3ff，不符合题意.当01a时，随x变化，()()fxf x,变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263ff aaafaf,，且(0)()ff a，(1)(2)ff，所以只需()(2)(1)(0)f afff，即32112623110.26aaa，解得113a.当1a 时，2()21(1)0fxxxx 在(0 2),恒成立，符合题意.当12a时，
21、只需(1)(2)()(0)fff af，即32112263110.62aaa，解得513a.当2a 时，(1)(2)ff，不符合题意.综上，实数a的取值范围是1 53 3,.14 分 12 22（本小题共 13 分）解:（）当2n时，4 个整点分别为(11)(1 2)(2 1)(2 2),.所以12xx的所有可能值2 3 4,.3 分 （）（i）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x yx yx yx y,，满足112212yy yyyy,.即在直线*(1,)Nyiin i 中至多有一条直线上取多于 1 个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为
22、121nnn.而52112nn，与已知512mn矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x yx yx yx y,，满足112212yy yyyy,.（ii）设直线*(1,)Nyiin i 上有ia个选定的点.若2ia，设yi上的这ia个选定的点的横坐标为12iaxxx，且满足12iaxxx.由12132324341iiaaxxxxxxxxxxxx，知12iaxxx，中任意不同两项之和至少有23ia 个不同的值，这对于2ia 也成立.由于1,2,3,n中任意不同两项之和的不同的值恰有23n个，而1232352323niiamnnnn,可知存在四个不同的点11112222()()()()x yx yx yx y,，满足112212xxxx yy,.21yy .13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
