1、公众号:专题导数及其应用决明学长QQ群:真题自测新题速览?对应学生用书P485435161701.课标全国I20185设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若递增，在(1，+)上单调递减f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为g(0)=0,g(1)=-e,函数y=g(x)的图像与直线y=a有()两个交点，数形结合可得a,则当x(，2)时，f(x)0,.mln+1=1-ln2.选D.所以f(x)在x=2处取得极小值3.江西师大附中2019届联考若函数f(x)=e-alnx+2ax-1若a，则当x(0,2)时，x-20,ax-1x-10.A.(-e2,-e)B.(-号
2、)所以2不是f(x)的极小值点c(-士)综上可知，a的取值范围是D.(-，-e)()6.课标全国201821已知函数f(x)=e*-ax2.D【解析】：f(x)=e-aln x+2ax-1,(1)若a=1,证明：当x0时，f(x)1；f(x)=e-+2a.(2)若f(x)在(0，+)上只有一个零点，求a.(1)【证明】当a=1时f(x)1等价于(x2+1)e-令e-+2a=0,当x=时，等式不成立，x，a=10.xe设函数g(x)=(x2+1)e2-1,1-2x则g(x)=-(x2-2x+1)e-=-(x-1)2e-.令g(x)=1(x0,x=2)当x1时，g(x)0.).令(x)f(x)在(
3、0，+)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0，+)上只有一个零点0,得0 x0,h(x)没有零点()当a0时，h(x)=ax(x-2)e.令g(x)1.函数g(x)在()()上单调当x(0,2)时，h(x)0.58专题3导数及其应用所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增()若a2,令f(x)=0,故h(2)=1-是h(x)在(0，+)上的最小值.得x=a-2-4或x=a+a2-4若h(2)0,即a,h(x)在(0，+)上没有零点；当x0,-=4)(a+4,+)时f(x)0.若h(2),因为h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点所以f(x)在(0,a-=4),(a
4、+4,+)上单调递减,由(1)知，当x0时，ex2,所以h(4a)=1-=1-1-=1-0.在(a4a+4)上单调递增(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.故h(x)在(2.4a)上有一个零点由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=因此h(x)在(0，+)上有两个零点f(x1）-f(x）_1+综上，(x)在(0，+)上只有一个零点时，a=.1,不妨设x11.因为-X1X2n7.课标全国201821已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：f(x1)-f(x2)所以f(x1)-f(
5、x2)a-2等价于-x2+2lnx20.X-Xa-2.设函数g(x)=-x+2lnx,由(1)知，g(x)在(0，+)上(1)【解】f(x)的定义域为(0，+)，单调递减，又g(1)=0,从而当xe(1,+)时，g(x)0所以-x2+2lnx20,()若a2，则f(x)0，当且仅当a=2,x=1时f(x)=即f(x1）-f(x2)a-2.0,所以f(x)在(0，+)上单调递减.X-X知识框架命题方向课标全国20185课标全国201813导数的概念与运算课标全国201814北京201818导数的概念几何意义、物理意义天津201820基本初等函数的导数公式复习坐标课标全国201821导数导数的运算
6、法则函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数零点天津201820导数的应用生活中的实际应用浙江201822定积分定积分与图形面积的计算课标全国201821利用导数研究函数的单调性、最课标全国201821值、极值北京201818天津20182059600会700a1高考数学考点1导数的概念、计算及定积分对应学生用书起始页P49中频选择题下一考点P65必备知识全面把握1.导数的定义注息(1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运换成自变量的函数算法则与某些导数的公式时，都是以此为依据(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导对导数的定义，
7、我们应注意以下两点：不能混淆，常出现如下错误：(cos2x)=-sin2x,实际上应是(1)x是自变量x在xo处的增量（或改变量）.导数是一cos 2x)=-2sin 2x个局部概念，它只与函数y=f(x)在及其附近的函数值有5.定积分关，与x无关(1)微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）(2)函数y=代x)应在o的附近有意义，否则函数f(x)在该点的导数不存在若极限四人气+九不存在，则称x)d=F(b)-F(a)=Fx),其中，F()=xf(x)fx)是a,b上的连续函数函数八x)在x=处不可导.(2)定积分的性质2.导数的几何意义x)d=矿rx)d(k为常数)：曲线y=(x)上任意一点(x
8、oJ(x)处的切线的斜率k是八x)在处的导数，即k=”()=im几+人=mA(x)6(x)d=(x)d5(x)dk:x利用导数求曲线y=(x)在其上任意一点P()处的切rx)dr=x)de+Jx)d(其中ae0,a1)f(x)=lna,持别地，(e)=e方的图形的面积赋予正号，在x轴下方的图形面积赋予负号，f八x)=logx(a0,a1)=。特捌电(hr=号那么在一般情况下，定积分x)dx的几.何意义是曲线y=(x)和直线x=a,x=b(ab),y=0所围成的各部分图形的f八x)=sinxf(x)=cos x面积的代数和（如图(2）)，1fx)=cosxf(x)=-sinxy-f(x)y-f(
9、x)(2)导数的运算法则fx)g(x)=f(x)g(x):Jf(x)dxfx)g(x)=f(x)g(x)+fx)g(x):-a2国(go.图(1)图(2)】g(x)注意图(1)中x)dk等于直线x=a,x=b间曲边梯4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的形面积的值.图(2)中x)d等于直线x=c,x=d间曲边导数间的关系为=y,即y对x的导数等于y对“的导梯形的面积值的相反数。数与“对x的导数的乘积60专题3导数及其应用核心方法重点突破(2)分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量方法1导数的运算求导)；1.用函数的求导公式求导(3)把中间变量代
10、回原自变量（一般是x)的函数常见求导函数的形式例3求下列函数的导数：(1)连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导(2)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形(1)y=(1=3x)(2)y=sin(2x+号)式，再求导(3)y=x1+x2.(3)分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，【分析】把一部分数量或式子暂时看成一个整体，这个再求导整体就是中间变量，求导数时需要记住中间变量，注意逐层(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导求导，不能遗漏.求导后，要把中间变量转换成自变量的(5)对数形式：先化为和、差形式，再求导函数.例1求下列函数的导数：【解】(1)设y=u-,u=1-3
11、x,(1)y=x(x+1)(x+2);(2)y=tan x;y=y+=4+(=3)=(1=3x)12(3)y=（4)y=x-sineos(2)设y=n2,u=sin,v=2x+，则y=y=【分析】要正确理解求导公式的结构，否则容易造成计算过程过于烦琐；对于与求导公式结构不同的函数式，要进行灵2u cos#2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)活变形.【解】(1)y=x2+3x2+2x,.y=3x2+6x+2.(3)y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)(2)y=(tan x)=sin x)(sin x)cos x-sin x(cos x)=1+x2+x21+2x2c
12、osx1+x21+x2考点105x+sinx1【反思】由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基cosxcosx本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层(3)次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.导数的概念-()actt方法2导数几何意义的应用()y=x-sin I cas.=x-si,已知函数y=f(x),求曲线y=f(x)过点P(x,y)的切线方程=(x-ix)=1-x(1)若点P(x,y)是切点，则切线方程为y-yo=f(x)、计算及定积分【反思】(1)中若直接套用乘积的求导公式，则计算量过(x-x).大，在
13、可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导公式(2)若点P(x,y)不是切点，求解步骤如下：(2)中不是公式中的各种类型的函数，需要经过变形.(3)中如设切点坐标为Q(x1,f(x1);果直接套用商的求导公式，则计算量要稍大一些.由切线斜率k=f(x1)-f(x)=f(x1),求出x1;例2等比数列am中，a1=2,a=4,函数f(x)=x(x-X1一XDa1)(x-a2)(x-as),则f(0)=()将x1的值代入y-y1=f(x1)(x-x1)得切线方程.A.26B.2例4云南中央民族大学附属中学2018期中已知曲C.2D.215线方程为y=x2,求：【分析】多项式相乘型的函数求导，往往把
14、多项式展开后(1)在曲线点A(2,4)处的切线方程；再利用公式，但本题属于特例(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程【解析】函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2【解】设y=f(x)=x2.as=(a1as)4=84=21,而f(0)=a1 a2 as=2,(1)f(x)=2x,f(2)=4.故选C.又点A(2,4)在曲线y=x2上，.所求切线的斜率k=4.【答案】C故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.【反思】若直接用乘积的求导法则运算量太大，要去括号困(2)点B(3,5)不在曲线y=x2上，设切点为(x,x)难重重，所以巧妙地把x(x-a1)(x-a2)(x
15、-a)看成一由(1)知f(x)=2x,切线的斜率k=2x0,切线方程为个整体，利用代换的思想解决问题y-x=2x0(x-x0).2.复合函数的求导又点B(3,5)在切线上，5-x=2x0(3-x),求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：解得x=1或x=5,切点为(1,1)，(5,25).(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),61600会7001高考数学即2x-y-1=0或10 x-y-25=0.是根据定积分的几何意义把所求的面积转化为一个函数的定例云南昆明2019届模拟已知曲线y=e+“与y=积分.(x-1)2恰好存在两条
16、公切线，则实数的取值范围为(奥破点(1)对于分段函数和含有绝对值符号的函数的A.(-0,2ln2+3)B.(-,2ln2-3)定积分问题，都可以采用分段求解的方法C.(2ln2-3,+o)D.(2ln2+3,+o)(2)对函数图像和圆有关的函数的定积分可以利用定积分【解析】y=e*的导数为y=e+“,y=(x-1)2的导数为y=2(x-1).设公切线与曲线y=e“的切点为(m,n),与曲的几何意义求解，即求类似于人-？的值时，根据定积分线y=(x-1)2的切点为(s,t),则公切线的斜率为e“=的几何意义，求曲线在所给区间内与x轴围成的图形的面积.有时也根据被积函数的奇偶性、正负，并结合几何意
17、义求解2(s-1)=-ns-m例6，定积分（-家+利x)=又因为1=(s-)2,n=e,所以2s-1）=s-l-。”s-m【分析】定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛-28-,所以-m=号-1，顿一菜布尼茨公式：二是利用定积分的几何意义8-m【解析们(-+x)=-d+1d,所以m=5+32s1).因为e+0=2(s-1),其中-等于半国2+=1(y0)的面积s所以a=h2(s-1】-空2(s10.设0)=1n2(s2mxP=受，l1=2=1,所以，(-+1艺.则=分1x1)d=受+1当s3时f(s)0s)单调递减，当1s【答案】牙+10,八s)单调递增，所以在s=3处f(s)取得极大值，
18、也为最大【反思】定积分可利用其几何意义来求，注意被积函数在考值，且为2ln2-3.因为西曲线恰好存在西条公切线，即a给定区间内函数值的符号.在求含绝对值符号的函数的定积分fs)有两解，所以a0,得x0.令u=2x2+x,(3)y=logn(2-x2).则yl=(Imu)(2x2+x)*=(4x+1)=【解】(1)y=(x)=10 x.(2)y=(x2)e-2+x2(e*)=2xe-2+x2e*(-1)=4x+12x2+xXE(2x-x2)e.(-)u(0.+x).(3)解2-x20,得-2x2.(2)由题知F(x)=3x2f(x3-1)-3x2f(1-x2),则F(1)=3f(0)-3f(0)
19、=0.=(2-x2)lna-(2-x2)=(x2-2)lanxe(-2,2).考法例析成就能力本考点主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意k=2,义.在考查导数的应用时常与函数的单调性、极值与最值综合导数的几何意义常见的是求曲线的切线方程和已知曲线的切x1=线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现联立上述式子，解得在解答题中的第一问，难度中等b=1-In 2.考法1利用导数的概念和求导法则求相关量的值所以b=1-1n2.例1天津文201810已知函数f(x)=elnx,f(x)【答案】1-In2为f(x)的导函数，则f(1)的值为考法3利用微积分基本定理或定积分的几何意义
20、【解析】由f(x)=e*ln x可得f(x)=eln x+e*求定积分及定积分的应用考点1e（Inx+),令x=1,得f(1)=e.5湖南201511(x-1)dx【答案】e【解析】方法一：(x-1)dx=导数的概念考法2导数几何意义的应用(2-x)=x2-2=0012。例2课标全国201813曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为方法二：利用定积分的几何意义，如图，得(x-1)dx=0.【解析】由y=2ln(x+1)知y=y0=2.【答案】0、计算及定积分【点拨】定积分的计算通常有两种基本方法：(1)利用牛.切线方程为y=2x.顿-莱布尼茨公式；(2)利用定积分的几何意义【答案
21、】y=2x例6辽宁抚顺六校2019届模拟已知曲线f(x)=例3课标全国201615已知f(x)为偶函数，当x0,则-x0.因为f(x)为偶函数，所以f(x)=【解析】.f(x)=1-2sinx=cos 2x,f(-x)=lnx-3x,f(x)=-3,所以f(1)=-2,所以曲线.()=0.切点坐标为(.0).y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.又f(x)=-2sin 2x,f()=-2,切线的斜率k=【答案】2x+y+1=0-2,.切线l的方程为y=-2(x-),即y=-2x+.例4课标全国201616若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=直线l,曲线f(x)以及y轴所围成的区域的面积为【解析】设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2和y=ln(x+(-2+-m2)=(-+-2)1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b).盖由导数的几何意又可得k=1=1,得x1=x2+1；【答案】-再由切点也在各自的曲线上，得kx1+b=lmx1+2,kx,+b=ln(x,+1)63
