1、河北省河北省“五个一名校联盟五个一名校联盟”20192019 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试数学（理科）试题数学（理科）试题2019.22019.2（满分：150 分，测试时间：120 分钟）第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的.1i是虚数单位，41izi则|z A2B2 2C4D4 22集合|2lg1Axx，2|90Bx x，则AB A 3,3B0,10C0,3D3,103已知向量2a，1
2、b，(2)2a ab，则a与b的夹角为Ao30Bo60Co90Do1504如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是A323B322 3C33D342 35已知圆222(0)xyrr与抛物线22yx交于,A B两点，与抛物线的准线交于,C D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于A22B2C52D56函数1ln(1)yxx的图象大致为ABCD7若1p，01mn，则下列不等式正确的是A1pmnBpmmpnnCppmnDloglogmnpp8已知棱长为 1 的正方体被两个
3、平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为A23B33C932D2 39 函数()f x的定义域为R，且()(3)f xf x，当20 x 时，2()(1)f xx；当01x时，()21f xx，则(1)(2)(3)(2018)ffffA671B673C1343D134510如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为A160 53B64 23C96 33D256 2311函数()sin3cosf xxx(0)与函数()yg x的图像关于点,03对称，且()()3g xf x，则的最小值等
4、于A1B2C3D412已知函数()(1)xf xex，若关于x的方程|()|()1|1f xaf xa有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是A2231,1)eeB223,)eeC2 1,e D20,e第第 II 卷（共卷（共 90 分）分）本卷本卷包括必考题和选考题两部分包括必考题和选考题两部分。第第 13 题题第第 21 题题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答；第第 22 题题第第 23 题题为选考题，考生根据为选考题，考生根据要求要求作答。作答。二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。13若 x，y 满足113xyx
5、y，则2zxy的最小值为14在5111xx的展开式中常数项等于15已 知双曲线22:13yC x 的左右焦点分别为1F、2F，点A在双曲线上，点M的坐标为2,03，且M到直线1AF，2AF的距离相等，则1|AF 16在ABC中，内角ABC、所对的边分别为,a b c，D是AB的中点，若1CD 且1()sin()(sinsin)2abAcbCB，则ABC面积的最大值是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）已知数列 na满足13212122222nnnaaaa*()nN，4lognnba（）求数列 na的
6、通项公式；（）求数列11nnb b的前n项和nT18（本小题满分 12 分）山东省高考改革试点方案 规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A、B+、B、C+、C、D+、D、E 共 8 个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60
7、、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 N（60,169）（）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间61,80的人数，求 X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N，则()=0 682P.，(22)=0 954P.，(33)=0 997P.）19（本小题满分 12 分）如图，在四面体ABCD中，,E F分别是线段,AD BD的中点，o90ABDBCD，2EC
8、，2ABBD，直线EC与平面ABC所成的角等于o30（）证明：平面EFC 平面BCD；（）求二面角A CEB的余弦值20（本小题满分 12 分）椭圆2222:1 (0)xyEabab的离心率是53，过点(0,1)P做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于,A B两点，当直线l垂直于y轴时|3 3AB（）求椭圆E的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点(,0)M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由21（本小题满分 12 分）已知函数2()=2lnf xxaxx（a为常数）（）若()f x是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（）若()f x存在两个极
9、值点12,x x，且123|2xx，求12|()()|f xf x的最大值请考生在请考生在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cos,sinxtyt（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cosC，曲线2:cos()3C（）求2C的直角坐标方程；（）若直线l与曲线1C,2C分别相交于异于原点的点,M N,求|MN的最大值.23（本小题满分 10 分）已知()|1|1|f xxax,()|1|2g xx（）若12a,求
10、不等式()2f x 的解集；（）设关于x的不等式()()f xg x的解集为A,若集合(0,1A,求a的取值范围.理科数学理科数学评分评分标准参考标准参考一、选择题1.B2.C3.B4.B5.C6.A7.D8.B9.D10.A11.D12.A二、填空题13.214.915.416.155三、解答题17【解析】（）当1n 时，12a 当2n时由132121+23222nnnaaaa312122+23222nnnaaaa两式相减得122nnna，即212nna 4 分且上式对于1n 时也成立所以数列 na的通项公式212nna 6 分（）因为21421log 22nnnb，8 分114112()(
11、21)(21)2121nnb bnnnn10 分所以12231111nnnTb bb bb b11111 2(1)()()3352121nn1 2(1)21n4 21nn12 分18【解析】（）因为物理原始成绩2(60,13)N则(4786)(4760)(6086)PPP0.6820.9540.81822 3 分所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000 0.8181636（人）5 分（）随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80的概率为25所以随机抽取三人，则X可取 0,1,2,3，且2(3,)5XB7 分3327(0)5125P X2132354(1)55125P XC2232336(
12、2)55125P XC328(3)5125P X所以X的分布列为10 分数学期望26()355E X 12 分19【解析】（）在tRBCD中，F是斜边BD的中点，所以112FCBD.因为EF，是ADBD，的中点，所以112EFAB，且2EC，所以222EFFCEC，EFFC.2 分又因为,/ABBD EFAB，所以EFBD，且BDFCF，故EF 平面BCD因为EF 平面EFC，所以平面EFC 平面BCD5 分（）方法一：取AC中点M，则/MECD因为122CEAD，所以CDAC.又因为CDBC，所以CD 平面ABC，故ME 平面ABC因此ECM是直线EC与平面ABC所成的角22cos306,A
13、CMCEC所以2CDBC.8 分过点B作BNAC于N，则BN 平面ACD，2 33AB BCBNACX0123P2712554125361258125过点B作BHEC于H，连接HN，则BHN为二面角A CEB的平面角.10 分因为2BEBCEC，所以22366,226BHBEHNBHBN1cos3HNBHNBH因此二面角A CEB的余弦值为1312 分方法二：如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 为 y，z 轴建立空间直角坐标系.因为2CDBC(同方法一,过程略)则(1,1,0)C，(0,0,2)A,(0,1,1)E8 分所以=(1,0,1)CE,(0,
14、1,1)BE ,(0,1,1)AE 设平面ACE的法向量111(,)mx y z则0C0AE mE m 即111100yzxz取11x,得1,1,1m（）10 分设平面BCE的法向量222(,)nx y z则00BE nCE n 即222200yzxz取21x,得1,1,1n（）所以11cos,=3|33m nm nm n 因此二面角A CEB的余弦值为1312 分20【解析】（）由已知椭圆过点3 3,12，可得222222711453ababcca，.3 分解得229,4ab所以椭圆的E方程为22194xy.5 分（）设1122(,),(,)A x yB xy，AB的中点00(,)C xy由
15、221194ykxxy消去y得22(49)18270kxkx，所以120002294,124949xxkxykxkk.7 分当0k 时，设过点C且与l垂直的直线方程22194()4949kyxkkk 将(,0)M m代入得：549mkk 9 分若0k，则44929=12kkkk，若0k，则4449(9)2(9)=12kkkkkk 所以5012m或5012m11 分当0k 时，0m 综上所述，存在点M满足条件,m 取值范围是551212m.12 分21【解析】（）2222()2,(0,)xaxfxxaxxx设2()22g xxax，定义域为(0,)由二次函数图象性质可知，函数()f x是单调函数
16、等价于()0g x 恒成立，2 分所以04a或204160aa解得4a .5 分（）由（I）函数()f x的两个极值点12,x x满足2220 xax，所以12121,2axxxx 不妨设1201xx，则()f x在12(,)x x上是减函数，2211212122()()()2lnxf xf xxxa xxx22112121222212122()()2ln2lnxxxxxxxxxxxx22222212lnxxx8 分令22tx设函数1()2ln (1)h ttttt 因为22212(1)()10th tttt，所以()h t在(1,)上为增函数.10 分由1222132xxxx，即222232
17、0 xx，解得212x，故2214x1215()()(4)2ln44f xf xh所以12()()f xf x的最大值为152ln44.12 分22【解析】（）极坐标方程cos()3可化为13cossin222 分等价于213cossin22，将222cos,sin,xyxy代入，所以曲线2C的直角坐标方程为2213022xyxy.5 分（）不妨设0，点,M N的极坐标分别为12(,),(,)所以12MN2coscos()37 分33cossin223 sin()3所以当56时，MN取得最大值3.10 分23【解析】（）若12a，则1122xx，等价于1322xx或21222xx 或21322xx 3 分解得403x所以原不等式的解集为4|03xx5 分（）由题意可知，对于0,1x，不等式1112xaxx 恒成立可化为113xaxx化简得122axx7 分所以2321xaxx，即3122axx 因为1323,25xx 所以53a 10 分
