1、页 1 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题文科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保
2、证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的 1已知集合1,2,3A，|1,Bx xxZ，则AB U（）A 1 B1,2,3 C1,0,1 D1,0,1,2,3 2已知复数 z 满足i2iz，则|z（）A3 B3 C5 D5 3已知非零向量a b，满足|2|2|abab，且|ab，则a与b的夹角为（）A6 B4 C3 D2 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关
3、，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 378 里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（）里 A198 B191 C63 D48 5现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A12 B13 C16 D112 6已知函数()sin(0)f xx，满足3()()44ff，且在344，内恰有一个最大值点和一个最小值点，则的值为（）A1 B2 C3 D4 7已知双曲线222210,0 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，
4、M为双曲线上一点，若121cos4FMF，122MFMF，则此双曲线渐近线方程为（）A3yx B33yx Cyx D2yx 8某几何体三视图如图所示，其体积为43，则该几何体的 侧视图俯视图正视图m22页 2 第 外接球体积为（）A94 B92 C9 D12 9 已知等差数列 na，nmaman(,)nm n mN，数列 nb满足2121nnnbaa，则2 0 2 02 0 1 9bb（）A1 B2 C4 D8 10已知()f x是偶函数，当0 x 时，202()822xxf xxx，若(1)(1)f af，则a的取值范围是（）A1 1，B 2 02 4，U C 31 13，UU D(2)0
5、2(4)，UU 11已知椭圆222210 xyabab的左顶点和左焦点分别为A和F，|3AF，直线ykx交椭圆于,P Q两点（P在第一象限），若线段AQ的中点在直线PF上，则该椭圆的方程为（）A22195xy B2211615xy C22418118xy D2218145xy 12已知21()+cos2f xxax，当1a 时，()f x在0，上（）A有最大值没有最小值 B有最小值没有最大值 C既有最大值也有最小值 D既无最大值也无最小值 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若变量x y，满足22330 xyxyx,且2zxy,
6、则z的最大值是 14某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示 年广告支出x/万元 2 3 5 7 8 年销售额y/万元 28 37 a 60 70 经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程6.418yx，则a的值为 15已知数列 na的前n项和为nS，13a，1(1)(2)nnnaa，则4+1=nS 16如图，M点在正方体1111ABCDABC D的棱1CC上（不含端点），给出下列五个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，1AD都是异面直线；过M点有且只有一条直线与直线AB，1AD都相交；D1C
7、1B1A1MDCBA页 3 第 过M点有且只有一条直线与直线AB，1AD都垂直；过M点有无数个平面与直线AB，1AD都相交；过M点有无数个平面与直线AB，1AD都平行；其中真命题是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分。17(12 分)某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50
8、名学生的数学成绩，按成绩分组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率分布直方图如图所示（1）由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到 0.01）；（2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀”等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 18(12 分)已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知sincoscossinsinaBCbACcA（1）求B的取值范围；（2）当B取最大值时，
9、若6ac，求ABC的面积 19(12 分)在直角坐标系xOy中，抛物线22xy的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点 （1）求OMONuuuruuu r的值；（2）若点P在线段MN（不含端点）上运动，2OQOPuuu ruu u r，求四边形OMQN面积的最小值 20（12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，3ABC，M是PC上一动点（1）求证：平面PAC 平面MBD；（2）若PBPD，三棱锥PABD的体积为624，求四棱锥PABCD的侧面积 75 80 0.01 85 1000 90 95 分数 0.02 0.04 0.03 0.06 0.07 0.
10、05 频率组距 页 4 第 21（12 分）已知函数()(1)1xf xxeax，其中aR（1）当1a 时，求()f x的最小值；（2）若()()xg xf xe在R上单调递增，则当0 x 时，求证：9()8xf xex （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos12sinxy（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线:3l上，且
11、点P到极点O的距离为4（1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；（2）求OCP的面积 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设函数2()431f xxxaa（1）若函数()f x有零点，求实数a的取值范围；（2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm，求22pq的最小值 ABCOMP页 5 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学试题文科数学试题 一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A B D
12、A B C D C B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.195 14.55 15.43n 6.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17(12 分)【解】（1）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,m n 因为前 2 组的频率之和为0.40.5，因为前 3 组的频率之和为0.70.5，所以8590m，由0.40.06(85)0.5m，得86.67m 77.5 5 0.01 82.5 5 0.0787.5
13、 5 0.0692.5 5 0.0497.5 5 0.0287.25n ，所以，这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67，87.25.6 分（2）因为样本中 90 分及以上的频率为0.04+0.025=0.3（），所以该校高一年级 1000 名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为0.3 1000=300人 .12 分 18(12 分)【解】（1）由已知可得(sincoscossin)sinbACACcA sinsinbBcA 2bac 222221cos222acbacacBacac 又0,B，故0,3B .6 分(2)由（1）知3B，易得
14、ac；又6ac，所以3abc；所以ABC的面积1139 3sin3 32224SacB .12 分 19(12 分)【解】（1）由题知102F(,)，设12lykx:，代入到22xy中，得2210 xkx设1122M xyN xy(,),(,)，则121221xxk x x,，所以221212144x xy y所以121234OMONx xy y uuuruuu r .6 分 页 6 第（2）因为2OQOPuuu ruu u r，所以P是线段OQ的中点，从而点O与点Q到直线MN的距离相等，所以四边形OMQN的面积等于2MONS 而12122-2MONSOFxx2212121()-412xxx
15、xk 所以0k 时，四边形OMQN的面积最小，最小值为1 .12 分 20（12 分）【证明】（1）QPA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD Q底面ABCD是菱形，BDAC 又PAACAQI，PA平面PAC，AC 平面PAC，BD平面PAC 又QBD平面MBD，平面PAC 平面MBD .5 分（2）设菱形ABCD的边长为x，3ABCQ，23BAD 在ABD中，22222212cos22()32BDADABAD ABBADxxx 3BDx又 QPA平面ABCD，ABAD，PBPD，62PBPDx，22PAx 又221123sinsin2234ABDSAB ADBADxx，2-11326=3
16、34224ABDP ABDVSPAxx三棱锥，1x，26,22PAPBPD，,13ABCACABQ 又QPA平面ABCD，62PCPB，四棱锥PABCD的侧面积为 21216152222(1()1)222242PABPBCSS .12 分 21（12 分）【解】（1）当1a 时，()(1)xf xxe()(2)xfxxe 当2x 时()0fx，()f x在(,2)上单调递减；当2x 时()0fx，()f x在(2,)上单调递增 min21()(2)f xfe .5 分（2）()()(1)xxg xf xexeaxQ ABCOMP页 7 第()(1)10 xg xxea 恒成立 1(1)xaxe
17、 恒成立 .8 分 则由（1）可得：211ae 又0 x Q 2()(1)1898xxxxxf xxeaxxxeeexxeex.12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解】（1）曲线C的普通方程为22314xy，点P的极坐标为4,3，直角坐标为2,2 3 .5 分（2）（方法一）圆心3,1C，3:303OC yxxy，点P到OC的距离23 2 322d，且2OC，所以 122OCPSOC d .10
18、分 （方法二）圆心3,1C，其极坐标为2,6，而4,3P，结合图像利用极坐标的几何含义，可得366COP，2,4OCOP，所以1sin2OCPSOCOPCOP 12 4 sin26 2 所以 2OCPS 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解】（1）依题意可知二次方程24310 xxaa有解，164310aa，即314aa 当1a 时，3140aaa，0,1a；当13a时，31424aa 恒成立，1,3a；当3a时，2444aa，3,4a 页 8 第 综上所述，可得0,4a .5 分（2）由（1）知4pq，（方法一：利用基本不等式）222()2pqpqpq222222()()2()pqpqpq，228pq，22pq的最小值为8，当且仅当2pq时取等号.10 分（方法二：利用二次函数求最值）4pq，4qp，222222(4)28162(2)88pqppppp，22pq的最小值为8，当且仅当2pq时取等号 （方法三：利用柯西不等式）222222()(11)(11)()16pqpqpq，228pq，22pq的最小值为8，当且仅当2pq时取等号
