1、 1 页 绝密绝密启用前（启用前（20202020 年年 1 1 月月 1515 日日 1515：0000-1717：0000）北碚区高北碚区高 2020 届普通高等学校招生第一次诊断性考试届普通高等学校招生第一次诊断性考试 数学 考试时间：120 分钟；分数：150 分 注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题 1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A.横坐标伸长到原来的 2倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度 B.横坐标伸长到原来的 2倍
2、纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度 C.横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度 D.横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度 2.已知集合，则 B 的子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 3.已知角 的终边经过点，则的值等于 A.B.C.D.4.函数的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 5.若在区间上递减，则 a的取值范围为 A.B.C.D.6.若，是第三象限的角，则 2 页 A.B.C.2 D.7.已知函数为自然对数的底数，若在上恒成立，则实数 m 的取值范围是 A.B.C.D.8.非零向量，满足；，则与 夹角的大小为 A.B.C.D.9.古希腊
3、数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC是全长 AB与另一段 CB 的比例中项，即满足后人把这个数称为黄金分割数，把点 C称为线段 AB的黄金分割点 在中，若点 P，Q 为线段 BC的两个黄金分割点，在内任取一点 M，则点 M 落在内的概率为 A.B.C.D.10.在中，点 D，E分别是边 AB，AC 上的点，且，记，四边形 BCED 的面积分别为，则 的最大值为 A.B.C.D.11.设是定义在 R 上的函数，其导函数为，若 1/，则不等式其中 e 为自然对数的底数的解集为 A.B.C.D.3 页 1
4、2.已知是边长为 2 的正三角形，点 P 为平面内一点，且，则的取值范围是 A.B.C.D.二、填空题 13.已知实数，是与的等比中项，则的最小值是_ 14.已知函数，关于x的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为_ 15.如图，AB 是圆 O的直径，C、D是圆 O上的点，则_ 16.已知点 A 是以 BC为直径的圆 O上异于 B，C的动点，P为平面 ABC外一点，且平面平面 ABC，则三棱锥外接球的表面积为_ 三、解答题 17.等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足求数列的通项公式；设，求数列的前 n项和 4 页 18.如图，四棱锥的底面是矩形，平面 ABCD，E，F分别是 AB，PD的
5、中点，且 求证：平面 PEC；求证：平面平面 PCD 19.已知直线 l的参数方程为为参数，曲线 C的极坐标方程为，直线 l与曲线 C 交于 A，B 两点，点，求直线 l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；求的值 5 页 20.已知函数求函数的单调增区间；将函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域 21.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的焦距为 2，离心率为，椭圆的右顶点为A 求该椭圆的方程：过点作直线 PQ交椭圆于两个不同点 P，Q，求证：直线 AP，AQ的斜率之和为定值 22.如图所示，直角梯形 ABCD 中，四边形 EDCF 为矩形，平
6、面平面 ABCD 6 页 求证：平面 ABE；求平面 ABE 与平面 EFB所成锐二面角的余弦值；在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由 7 页 答案答案 1.【答案】B 2.【答案】D故选 D 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】A 13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：设等比数列的公比为，成等差数列，化为：，解得，8 页 又满足，化为：，解
7、得，；，数列的前 n 项和，【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 设等比数列的公比为，由，成等差数列，可得，化为：，解得又满足，化为：，解得，可得；，利用“裂项求和”方法即可得出 18.【答案】证明：取 PC的中点 G，连结 FG、EG，为的中位线，9 页 四边形 ABCD为矩形，E为 AB的中点，四边形 AEGF是平行四边形，又平面 PEC，平面 PEC，平面 PEC；，F是 PD 的中点，平面 ABCD，平面 ABCD，又因为，AP，平面 APD，平面 APD，平面 APD，又，且，PD，平面 PDC，平面 PDC
8、，由得，平面 PDC，又平面 PEC，平面平面 PCD 10 页 【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题 取 PC的中点 G，连结 FG、EG，又平面 PEC，平面 PEC，平面 PEC；由得，只需证明平面 PDC，即可得到平面平面 PCD 19.【答案】解：直线 l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线 l的普通方程，曲线 C的极坐标方程为，即，所以曲线 C的直角坐标方程为；直线 l的参数方程改写为为参数，代入，得，设 A、B 对应的参数分别为，则 【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题 利用三种方程的转化方法，
9、求直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程即可；直线的参数方程改写为为参数，代入，利用参数的几何意义求的值 20.【答案】解：11 页 由，解得 函数的单调增区间为，；将函数的图象向左平移 个单位，得，再向下平移 1个单位后得到函数，由，得，则函数的值域为 【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题 利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简由相位在正弦函数的增区间内求得 x 的取值范围，可得函数的单调增区间；由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合 x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域 21.【答案】解：由题意可知：椭圆，焦点在 x 轴上，椭圆的离
10、心率，则，则椭圆的标准方程：；证明：设，12 页 当斜率不存在时，与椭圆只有一个交点，不合题意 由题意 PQ的方程：，则联立方程 整理得：，由韦达定理可知：，则，则，由1，直线 AP，AQ的斜率之和为定值 1 【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题 由题意可知，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；则直线 PQ 的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ的斜率之和为定值 22.【答案】解：证明：四边形 EDCF 为矩形，平面平面 ABCD，平面平面，13 页
11、平面 ABCD 由题意，以 D 为原点，DA 所在直线为 x轴，DE 所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则0，2，0，2，2，设平面 ABE 的法向量为y，令，则，所以平面 ABE的法向量为0，又2，；又平面 ABE，平面 ABE；，0，设平面 BEF 的法向量为b，令，则，14 页 则平面 BEF 的法向量为，设平面 ABE 与平面 EFB所成锐二面角为，平面 ABE与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值是；设2，；，又平面 ABE 的法向量为0，设直线 BP与平面 ABE 所成角为，化简得，解得或；当时，；当时，；综上，【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题确定平面的法向量是解题的关键，属于较难题取 D 为原点，DA所在直线为 x 轴，DE 所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，求出平面 ABE的法向 15 页 量 与向量，根据证明，从而证明平面 ABE；求平面 BEF 的法向量，再计算平面 ABE与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值；设，求向量与平面 ABE 的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得 的值，从而求出的值
