1、长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(1 3)(3)ii A.10B.10C.10iD.10i2.已知集合0,1M，则满足条件MNM的集合N的个数为A.1B.2C.3D.43.函数()sin()sin3f xxx的最大值为，A.3B.2C.2 3D.44.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)上是减函数的是A.|1yxB.2yxC.1yxxD.|2xy 5.已知平面向量a、b，满足|1ab，若(2)0abb，则向量a、b的夹角为A.30B.45C.60D.120
2、6.已知等差数列na中，nS为其前n项的和，45S，920S，则7a A.3B.5C.3D.57.在正方体1111ABCDABC D中，直线11AC与平面11ABC D所成角的正弦值为A.1B.32C.22D.128.要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为，A.6B.12C.24D.369.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.1630.75yx，以下结论中不正确的为
3、190185180175170165160155150145123456789101112 13 14 15身高臂展A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米，D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米，10.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的2.5S(单位:升)，则输入的k值为，A.4.5B.6C.7.5D.10是
4、否开始输入k输出S1,nSk1nnSSSn4?n 结束11.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率分别为1k、2k，若123k k，则双曲线的渐近线方程为，A.yx B.2yx C.3yx D.2yx 12.已知函数()f x是定义在R上的函数，且满足()()0fxf x，其中()fx为()f x的导数，设(0)af，2(ln2)bf，(1)cef，则a、b、c的大小关系是A.cbaB.abcC.cabD.bca二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.24log 4log 2.14.若椭圆C的方
5、程为22134xy，则其离心率为.15.各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，已知630S，970S,则3S.16.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为3的球面上，则该三棱锥的表面积为.三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17.(本小题满分 12 分)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知1cos2baCc.(1)求角A；(2)若3AB AC ,求a的最小值.18.(本小题满分 12 分)在四棱锥PABCD中,平面
6、PAD 平面ABCD，2PAPD,四边形ABCD是边长为2的菱形，60A,E是AD的中点.(1)求证:BE 平面PAD；(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.EDCBAP19.(本小题满分 12 分)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线C的方程为22(0)ypx p.(1)过抛物线C的焦点F且与x轴垂直的直线交曲线C于A、B两点，经过曲线C上任意一点Q作x轴的垂线，垂足为H.求证:2|QHABOH；(2)过点(2,2)D的直线与抛物线C交于M、N两点且OMON，ODMN.求抛物线C的方程.20.(本小题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每
7、瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)216362574最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列；（2
8、）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时？Y的数学期望达到最大值？21.(本小题满分 12 分)已知函数21()(,)2xf xebxax a b R.（1）当1a 且1b 时，试判断函数()f x的单调性；（2）若1ae 且1b，求证：函数()f x在1,)上的最小值小于12；（3）若()f x在R单调函数，求ab的最小值.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲已知直线l的参数方程为1cossinxtyt（t为
9、参数，0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为212 cos4 sin.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，且|2 3AB，求的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲已知0a，0b，2ab.(1)求证：222ab；(2)求证：21212ab.长春市普通高中长春市普通高中 2019 届高三质量监测（届高三质量监测（一一）数学（理科）试题参考答案及评分标准数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.C【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C(1 3)(3
10、)10iii.故选 C.2.D【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】DMNM有NM.故选 D.3.A【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A由题意可知函数最大值为3.故选 A.4.B【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B由函数是偶函数，排除 C，在(0,)上是减函数，排除 A，D.故选 B.5.C【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C由题意知2120,cos,2 a bba b.故选 C.6.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C9475SSa.故选 C7.D【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D由题意知成角为6.故选
11、D.8.B【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A，有 6 种；第二类，甲单独在 A，有 6 种，共 12 种.故选 B.9.D【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D.10.D【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k.故选 D.11.C【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C由题意可知22222223,13yxyxaaa，从而渐近线方程为3yx.故选 C.12.A【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A令()()
12、,()()()0 xxg xe f x g xef xfx，所以()g x在定义域内单调递增，从而(0)(ln2)(1)ggg，得(0)2(ln2)(1)ffef，即abc.故选 A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.52【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52.14.12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,3,1,2abce.15.10【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()SSS SS，得310S.16.8 3【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2134(
13、2 2)8 322S.三、解答题17.(本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.【试题解析】解：（1）由cCab21cos可得1sinsincossin2BACC，所以1cos,23AA.（2）由（1）及3 ACAB得6bc，所以222222cos6abcbcAbc266bc，当且仅当=b c时取等号，所以a的最小值为6.18.(本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD，由2PAPD，E是AD的中点，得PEAD，由平面PAD
14、平面ABCD，可得PE 平面ABCD，PEBE，又由于四边形ABCD是边长为 2 的菱形，60A，所以BEAD，从而BE平面PAD.（2）以E为原点，,EA EB EP为,x y z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,3)P，(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0)ABC，有(1,0,3),(0,3,3)PAPB ，(2,3,3)PC ，令 平面PAB的法 向量为n，由00PA nPB n ，可 得一个(3,1,1)n，同理可得平面PBC的一个法向量为(0,1,1)m，所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为|105|m nm n.19.(本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意
15、图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),|,|,Q xyH xQHyOHx|2ABp，从而2200|2|QHypxAB OH.（2）由条件可知，:4MNyx ，联立直线MN和抛物线C，有242yxypx ，有2280ypyp，设1122(,),(,)M x yN xy，由OMON有12120 x xy y，有1212(4)(4)0yyy y，由韦达定理可求得2p，所以抛物线2:4C yx.20.(本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X所有可能取值为 200,300,50
16、0，由表格数据知2162000.290P X，363000.490P X，25745000.490P X.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n.当300500n时，若最高气温不低于25，则642Ynnn；若最高气温位于区间20,25，则6 3002300412002Ynnn；若最高气温低于20，则6 200220048002Ynnn；因此20.4120020.480020.26400.4EYnnnn.当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Ynnn；若最高气温低于20，则6
17、 200220048002Ynnn；因此 20.40.480020.2160 1.2EYnnn.所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.21.(本小题满分本小题满分 12 分分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得 xfxexa，设 xg xfxexa，则 1xgxe，所以当0 x 时 0gx，fx在0,上单调递增，当0 x 时 0gx，fx在,0上单调递减，所以 01fxfa，因为1a ，所以10a，即 0fx，所以函数 f x在R上单调递増.（4 分）（2）由（1
18、）知 fx在1,上单调递増，因为1ae，所以 1 10fea，所以存在1,t，使得 0ft，即0teta，即tate，所以函数 f x在1,t上单调递减，在,t 上单调递増，所以当1,x时，222min1111222ttttf xf tetatett teett.令 2111,2xh xexxx，则 1()0 xxxhe恒成立，所以函数 h x在1,上单调递减，所以 2111 1122h xe，所以211122tett，即当1,x时 min12f x，故函数 f x在1,上的最小值小于12.（8 分）（3）212xf xebxax，xfxebxa由()f x为R上的单调函数，可知()f x一定
19、为单调增函数因此 0 xfxebxa，令()xg xfxebxa，()xg xeb当0b 时，0ab；当0b 时，()0 xg xeb，()yg x在R上为增函数x 时,()g x 与()0g x 矛盾当0b 时,()0ln,()0lng xxb g xxb当lnxb时,min()ln0g xbbba，22ln(0)abbbbb令22()ln(0)F xxxxx，则()(2ln1)F xxx()0,()00F xxe F xxe当xe时,min()2eF x,ab的最小值为2e.（12 分）22.(本小题满分本小题满分 10 分分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】（1）圆 C 的直角坐标方程为222410 xyxy.（2）将直线l的参数方程代入到圆 C 的直角坐标方程中，有24 sin0tt，由32AB得3sin2，所以3或23.23.(本小题满分本小题满分 10 分分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容.本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22abab.（2）2212133(22)()222224abbaababab，故21212ab.
