1、第 1 页，共 11 页 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 A=x|x2-x-60，B=N，则 AB=（）A.-1，0，1，2 B.0，1，2 C.-2，-1，0，1 D.0，1 2.在复平面内，复数对应的点位于直线 y=x 的左上方，则实数 a 的取值范围是（）A.（-，0）B.（-，1）C.（0，+）D.（1，+）3.设 与 都是非零向量，则“”是“向量 与 夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充
2、分也不必要条件 4.已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2=（）A.B.C.D.5.已知定义在m-5，1-2m上的奇函数 f（x），满足 x0 时，f（x）=2x-1，则 f（m）的值为（）A.-15 B.-7 C.3 D.15 6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级，A等级 15%，B等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%其中 E等级为不合格，原则上比例不超过 5%该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校高二年级
3、共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A.45 人 B.660 人 C.880人 D.900 人 7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为 15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60 和 30，第一排和最后一排的距离为 25米，则旗杆的高度约为（）第 2 页，共 11 页 A.17 米 B.22 米 C.3l米 D.35 米 8.已知Fn是斐波那契数列，则 F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（nN*且 n3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前 n 项的算法，则 n=（）A.10
4、B.18 C.20 D.22 9.设 m=ln2，n=lg2，则（）A.m-nmnm+n B.m-nm+nmn C.m+nmnm-n D.m+nm-nmn 10.已知 F为双曲线 C：的右焦点，圆 O：x2+y2=a2+b2与 C 在第一象限、第三象限的交点分别为 M，N，若MNF的面积为 ab，则双曲线 C的离心率为（）A.B.C.2 D.11.将函数 f（x）=asinx+bcosx的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，若 g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数 f（x）有下述四个结论：f（x）的最小正周期为 2 若 f（x）的最大值为 2，则 a=1 f（x）在-，有两个零点
5、 f（x）在区间-，上单调 其中所有正确结论的标号是（）A.B.C.D.12.已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量，若，则 m=_ 第 3 页，共 11 页 14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为_ 15.设点 P为函数 f（x）=lnx-x3上任意一点，点 Q 为直线 2x+y-2=
6、0上任意一点，则 P，Q两点距离的最小值为_ 16.若数列an满足，则称数列an为“差半递增”数列若数列an为“差半递增”数列，且其通项 an与前 n项和 Sn满足，则实数 t的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知等差数列an满足 an+1+n=2an+1（1）求an的通项公式；（2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列的前 n项和 Tn 18.底面 ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若 DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EGDF；（2）求二面角 A-HF-C 的正弦值 19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F
7、（1，0），直线 l：x=-1，点 P 在直线 l上移动，R 是线段 PF与 y轴的交点，动点 Q 满足：RQPF，PQl（1）求动点 Q的轨迹方程 E；（2）若直线 PF与曲线 E交于 A，B 两点，过点 F作直线 PF的垂线与曲线 E 相交于 C，D 两点，求的最大值 第 4 页，共 11 页 20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，列需要检验 n次；混合检验，将其 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这 k份的血液全为阴性，因而这 k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，
8、为了明确这 k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k份再逐份检验，此时这 k份血液的检验次数总共为 k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1）（1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过 3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率（2）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2（）运用概率统计的知识，若 E1=E2，试求 p关于 k的函数关系式 p=f（k）；（）若，且采用混合检验方式
9、可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln51.6094 21.已知函数 f（x）=ae-x+sinx，aR，e 为自然对数的底数（1）当 a=1时，证明：x（-，0，f（x）1；（2）若函数 f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数 a的取值范围 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=（1）求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程；（2）设 P 是曲线 C1上一点，此时参数=，将射
10、线 OP 绕原点 O逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为点 T，求OTQ的面积 第 5 页，共 11 页 23.已知 a，b，c为一个三角形的三边长证明：（1）+3；（2）2 第 6 页，共 11 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】B 13.【答案】1 14.【答案】48 15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）由已知an为等差数列，记其公差为 d 当 n2时，两式相减可得 d+
11、1=2d，所以 d=1，当 n=1 时，a2+1=2a1+1，所以 a1=1 所以 an=1+n-1=n；（2），所以=第 7 页，共 11 页【解析】（1）设等差数列的公差为 d，将已知等式中的 n换为 n-1，相减可得公差 d=1，再令 n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得 Sn，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和 本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题 18.【答案】（1）证明：连接 AC，由可知四边形 AEGC为平行四边形，所以 EGAC 由题意易知 ACBD，ACBF，所以 EGBD，E
12、GBF，因为 BDBF=B，所以 EG平面 BDHF，又 DF 平面 BDHF，所以 EGDF（2）解：设 ACBD=O，EGHF=P，由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF，所以 EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，所以 P为 EG的中点，O为 AC的中点，所以，从而 OP平面 ABCD，又 OAOB，所以 OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O-xyz，OP=3，DH=4，由平面几何知识，得 BF=2 则，F（0，2，2），H（0，-2，4），所以，设平面 AFH 的法向量为，由，可得，令 y=1，则 z=2，所以 同理，平面 CFH 的一个
13、法向量为 设平面 AFH 与平面 CFH所成角为，则，所以 第 8 页，共 11 页【解析】（1）连接 AC，证明 EGAC 推出 EGBD，EGBF，证明 EG平面 BDHF，然后证明 EGDF（2）OA，OB，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O-xyz，OP=3，DH=4，求出平面 AFH 的法向量，平面 CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 19.【答案】解：（1）由题意可知 R 是线段 PF 的中点，因为 RQPF，所以 RQ为 PF的
14、中垂线，即|QP|=|QF|，又因为 PQl，即 Q点到点 F 的距离和到直线 l的距离相等，设 Q（x，y），则，化简得 y2=4x，所以动点 Q的轨迹方程 E 为：y2=4x（2）由题可知直线 PF 的斜率存在且不为 0，设直线 PF：y=k（x-1），CD：，则，联立可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1 因为向量，方向相反，所以=，同理，设 C（x3，y3），D（x4，y4），可得，所以，因为，当且仅当 k2=1，即 k=1时取等号，所以的最大值为-16 【解析】（1）由题意可知 R 是线段 PF 的中点，因为 RQPF，所
15、以 RQ 为 PF的中垂线，Q点到点 F 的距离和到直线 l的距离相等，设 Q（x，y），运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由题可知直线 PF的斜率存在且不为 0，设直线 PF：y=k（x-1），CD：，分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式可得所求最大值 本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 20.【答案】解：（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，则（2）（）E（1）=k
16、，2的取值为 1，k+1，第 9 页，共 11 页 计算，所以，由 E（1）=E（2），得 k=k+1-k（1-p）k，所以（kN*且 k2）（），所以，即 设，x0，当 x（0，4）时，f（x）0，f（x）在（0，4）上单调递增；当 x（4，+）时，f（x）0，f（x）在（4，+）上单调递减 且 f（8）=ln8-2=3ln2-20，所以 k 的最大值为 8 【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过 3次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（）由 E（1）=k，2的取值为 1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由 E（1）=E（2）求得 p 的值；（）由题意得，即，设，利用导数
17、判断 f（x）的单调性，从而求得 k的最大值 本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题 21.【答案】解：（1）当 a=1时，f（x）=e-x+sinx，f（x）=-e-x+cosx，当 x0 时，-e-x-1，则 f（x）0 （x0）所以 f（x）在（-，0上单调递减，f（x）f（0）=1；所以：x（-，0，f（x）1；（2）函数 f（x）在（0，）上存在两个极值点；则 f（x）=0在（0，）上有两个不等实数根；即 f（x）=-ae-x+cosx=0在（0，）上有两个不等实数根；即 a=excosx 在（0，）上有两个不等实数根
18、；设 g（x）=excosx，则 g（x）=ex（cosx-sinx）；当 时，g（x）0，g（x）单调递增；当时，g（x）0，g（x）单调递减；又 g（0）=1，；故实数 a的取值范围为：第 10 页，共 11 页【解析】（1）求出 f（x）=-e-x+cosx，得出 f（x）0，则 f（x）在（-，0上单调递减，结论可证（2）函数 f（x）在（0，）上存在两个极值点；则 f（x）=0 在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得 a=excosx 在（0，）上有两个不等实数根；设 g（x）=excosx，讨论函数 g（x）的单调性即可解决；本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数
19、零点问题，考查分离参数法，属于难题 22.【答案】解：（1）由（为参数），消去参数，可得曲线 C1的普通方程为，由 x=cos，y=sin，可得曲线 C1的极坐标方程为 2cos2+22sin2-2=0 由=，得 2=2，则 C2的直角坐标方程为 x2+y2=2；（2）当=时，P（1，），sinxOP=，cos，将射线 OP绕原点 O逆时针旋转，交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T，|OQ|=，|OT|=1，则=【解析】（1）由（为参数），消去参数，可得曲线 C1的普通方程，结合 x=cos，y=sin，可得曲线 C1的极坐标方程由=，得 2=2，则 C2的直角坐标方程可求；（2
20、）当=时，P（1，），sinxOP=，cos，将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转，交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出QOT 的正弦值，代入三角形面积公式求解 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题 23.【答案】解：（1）a，b，c0，+3；当且仅当 a=b=c 取等号，故原命题成立；（2）已知 a，b，c为一个三角形的三边长，要证 2，只需证明，即证 2，则有，即，所以，同理，三式左右相加得 2，故命题得证 第 11 页，共 11 页【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证2，只需证明，即证 2，由，即得，累加即可证明 考查了基本不等式的应用，中档题
