1、文章编号：1007-2993（2023）04-0408-07Mindlin 解在复合地层盾构隧道施工解在复合地层盾构隧道施工地表沉降计算中的应用地表沉降计算中的应用陈俊生1，2徐承凯1高强1（1.华南理工大学土木与交通学院亚热带建筑科学国家重点实验室，广东广州510640；2.华南岩土工程研究院，广东广州510640）【摘要】在我国华南、东南及华北沿海地区隧道工程中，隧道围岩常为“上软下硬”的复合地层，即洞身上部是软弱的土层、下部为强度很高的硬岩地层，在该类地层中进行盾构施工引起的地面沉降问题目前还鲜见研究报道。针对此现状，延续采用 Mindlin 解求解地表沉降的思路，为了克服扩展 Mind
2、lin 解面对非均匀地层时的局限性，引入层面状态向量，利用积分变换和矩阵推导解决了位移与应力在不同层面之间的传递问题，建立了适用于复合地层的扩展 Mindlin 解。对比了 Mindlin 解及扩展Mindlin 解对复合地层中盾构隧道地表沉降问题的适应性，并与背景工程监测数据对比。推导过程表明，运用 Mindlin 解或扩展Mindlin 解来求解地表沉降都面临困境，需要进行一定的简化。而工程监测数据则表明，采用 Mindlin 解计算结果偏大，可作为工程设计的参考；扩展 Mindlin 解计算地表沉降的方法有一定的准确性。【关键词】上软下硬地层；地表沉降；Mindlin 解；扩展 Mind
3、lin 解【中图分类号】TU 433 【文献标识码】Adoi:10.3969/j.issn.1007-2993.2023.04.006Application of Mindlin Solution in Calculation of Ground Settlementin Composite Stratum Shield Tunnel ConstructionChen Junsheng1，2Xu Chengkai1Gao Qiang1(1.State Key Laboratory of Subtropical Building Science,School of Civil Engineeri
4、ng and Transportation,South China University ofTechnology,Guangzhou 510640,Guangdong,China；2.South China Institute of Geotechnical Engineering,Guangzhou 510640,Guangdong,China)【Abstract】In the coastal areas of South China,Southeast China and North China,it is common that the upper part of the tunnel
5、body is a soft soil layer,and the lower part is a hard rock stratum with high strength.The problem of land subsidence caused by shieldtunneling has not been studied at present.To address this situation,the idea of using Mindlin solution to solve for surface subsidencewas continued.In order to overco
6、me the limitations of extended Mindlin solution for non-uniform strata,the layer state vector was in-troduced,and the integral transformation and matrix derivation were used to solve the relationship between displacement and stress atdifferent layers.An extended Mindlin solution for composite format
7、ions was established.Finally,the adaptability of the Mindlin solu-tion and the extended Mindlin solution to the surface subsidence of shield tunnels in composite strata were compared and comparedwith the actual engineering monitoring data.The derivation process shows that using the Mindlin solution
8、or the extended Mindlin solu-tion to solve the surface subsidence faces difficulties and needs to be simplified to a certain extent,while the engineering monitoringdata show that the calculation results of the Mindlin solution are large,which can be used as a reference for engineering design.Themeth
9、od of extended Mindlin solution for calculating surface subsidence has certain accuracy.【Key words】upper soft and lower hard strata；surface subsidence；Mindlin solution；extended Mindlin solution 0 引言目前盾构法已经成为城市地铁隧道的重要施工方法，同时，盾构法施工引起的地表沉降以及对周边环境的影响也成为重要课题。当前针对盾构施工地表沉降问题而提出的理论大致可以分为两类：一类是将土体看作分散运动体，采用随
10、机介质理论对岩土体 基金项目：广东省基础与应用基础研究基金项目（2020A1515010713）作者简介：陈俊生，男，1979 年生，汉族，广东广州人，博士，副教授，主要从事岩土工程和地下结构方面的教学和科研工作。E-mail： 第 37 卷第 4 期岩土工程技术Vol.37 No.42023 年8 月Geotechnical Engineering TechniqueAug，2023的运动加以研究12；另一类是将土体看作半无限弹性体进行求解，如 C.Sagaseta 法3、Mindlin 解4 等。本文主要延续运用 Mindlin 解推导地表沉降曲线的思路，该思路首先由魏纲等5提出，利用弹性
11、力学Mindlin 解推导出盾构机正面推力和盾壳周边摩擦力引起的纵向地面变形公式。Shi 等6 基于经典的Mindlin 弹性理论，建立了土体与土压平衡盾构相互作用的模型，采用积分方法求解了土体在盾构机壳体作用下引起的地表沉降。金波等7 利用积分变换和边界积分方法求解任意层数弹性体平面应变和轴对称问题的 Mindlin 解，并利用 Somigliana 关系式计算弹性体内部任意点位移。杨敏等8 建立了广义的 Mindlin 课题解，利用轴对称弹性层状理论和矩阵递推的方法得到多层弹性地基内部任意点的应力和位移表达式。魏纲等9 根据弹性力学 Mindlin 解，计算土体损失、正面附加推力和盾构摩擦
12、力等多因素引起的土体变形理论解，同时基于统一土体移动模型解计算土体损失引起的土体变形理论解。邱明兵等10 基于 Mindlin 应力解，利用积分和回代的方法求解了均布荷载作用下土体内部任意一点的竖向应力系数初等解。GvGh从上软下硬复合地层盾构施工引起地层沉降的典型背景工程问题出发，通过分析盾构施工过程中盾构与土体之间复杂的相互作用，总结出影响复合地层施工沉降的主要因素；基于 Mindlin 解分析复合地层沉降问题时，将复合地层等效为均匀地层，建立双坐标体系得到掌子面和盾壳上各自作用力的地层沉降值；基于扩展 Mindlin 解分析问题时，引入层面状态向量、，有效地解决了复合地层地表沉降计算问题
13、。最后对盾构与土体相互作用所引起的土体变形特征进行分析，并结合背景工程的沉降数据，进一步验证了两种计算方法的合理性。1 复合地层盾构施工力学问题 1.1 复合地层施工沉降因素分析对于土层中进行盾构施工引起地表沉降的力学问题，学者们提出了多个模型，包括基于经验的 Peck模型、基于随机介质理论的地层损失模型等。盾构推进时与周边土体发生复杂的力学作用，根据引起地面发生变形的作用方式的不同，可以分为如下主要因素：p（1）掌子面附加推力；（2）刀盘扭矩与周围土体之间的摩擦力 fc；f（3）盾壳周边的摩擦力；（4）盾尾同步注浆压力 ps；（5）地层损失率。fppf针对以上因素，唐晓武等11 指出刀盘扭矩
14、与周围土体之间的摩擦力 fc对地表沉降的贡献微小，可忽略不计。梁荣柱等12 指出注浆压力 ps与地层损失率 引起的前方土体位移微小，基本可以忽略其影响，而盾壳周边的摩擦力 与掌子面附加推力是盾构施工引起前方土体位移的主要因素。王智德等13指出在盾构通过后，地层损失率 是影响地表沉降的重要因素。邓皇适等14 指出计算模型的不同会极大地影响地层损失率 产生的地表沉降值计算准确度。Shi 等6 指出掌子面附加推力和盾壳周边摩擦力在地表沉降问题中引起弹性变形，地而层损失率 引起塑形变形和不可逆变形。1.2 复合地层施工受力分析及基本假定fp为了更好地验证扩展 Mindlin 解在复合地层中的适用性，综
15、合考虑 1.1 所述因素，选取了盾壳通过期间的阶段沉降数据。由于土体损失主要是由于盾尾通过后产生的建筑空隙引起的，考虑到盾构通过期间开挖卸载产生的土体损失较小5,15，随着盾构施工的进行，已施工部分对周围土体的作用力会随着注浆的进行而逐渐消散，盾构施工对周围土体的作用力主要通过盾壳传递到周围土体，从而确定盾壳周边的摩擦力 和掌子面附加推力为影响地表沉降的关键因素。此外，为了反映盾构顶进时的普遍规律，特做如下假定：（1）土体不排水固结且为均质的线弹性半无限体；（2）盾壳周边的摩擦力均匀分布；（3）盾构的推进仅为空间位置上的变形，不考虑时间效应。Shi 等6 推导出盾壳周边摩擦力由上覆压力乘以摩擦
16、系数得到，即：f=(2p0+p1+p2)4（1）p0p1p2式中：为盾壳中部处的静止土压力；为盾壳底部的静止土压力；为盾壳顶部的静止土压力；为土体与盾壳之间的摩擦系数，可以按照文献6 进行选取。掌子面上的分布力是由于盾壳的顶推而产生的，假定背景工程中的土体已经自然沉降完成，土体自身的土压力不再引起地层变形，因此对于分布在掌子面上的作用力：p=p p0（2）pp0p0=k0Hk0k0=1sin式中：为正面顶推力；为掌子面上的土压力，按计算，为土体静止土压力系数，。陈俊生等：Mindlin 解在复合地层盾构隧道施工地表沉降计算中的应用409盾壳周边摩擦力 f 和掌子面上的分布力 p 两者组合后的力
17、学模型如图 1 所示。yfxzp管片盾壳 图 1 盾构施工力学模型 2 均匀地层的 Mindlin 解 2.1 Mindlin 基本解对于盾构隧道穿越地层这种相对复杂的力学体系，假定在均质弹性地基中作用一水平集中力 P，图 2为水平力作用下 Mindlin 计算简图，基于 Mindlin 解可以推导出土体中任意一点处的位移4：u=P(1+)x8E(1)zcR31+(34)(zc)R32+6cz(z+c)R524(1)(12)R2(R2+z+c)（3）R1=x2+y2+(zc)2；R2=x2+y2+(z+c)2EcP式中：x、y、z 为土体内任意一点坐标；为变形模量；为泊松比；为集中力 到地表的
18、距离。(0,0,c)(0,0,c)(x,y,z)yzR1R2Pxccz 图 2 水平力作用下 Mindlin 计算简图(0,0,c)为解决 Mindlin 解要求荷载作用点位于 z 轴的弊端，建立双坐标系以便于计算，坐标系(x,y,z)(,)00为全局坐标系，坐标系为局部坐标系，局部坐标、距全局坐标系原点的距离分别为、，则有=x0=y0=z（4）则对应的R1=2+2+(c)2，R2=2+2+(+c)2 2.2 附加推力沉降计算积分计算示意图如图 3 所示，取掌子面内微元面积 rdrd，通过积分得到掌子面区域内均布荷载引起的地表竖向位移计算公式u1=wD/20w20prdrdx(1+)8E(1)
19、z(Hrsin)R13+(34)(zH+rsin)R236(Hrsin)z(z+Hrsin)R25+4(1)(12)R2(R2+z+Hrsin)（5）DpHR1R2式中：为隧道直径；为掌子面附加推力；为隧道轴线埋深；、分别为R1=(yrcos)2+x2+(zH+rsin)2R2=(yrcos)2+x2+(z+Hrsin)2 2.3 盾壳周边摩擦沉降计算Rddl利用 Mindlin 解4，由盾壳周边摩擦引起的地表变形可以通过取盾构侧面微元面积进行积分来求解u2=wL0w20fRdld(x+l)(1+)8E(1)z(HRsin)R13+(34)(zH+Rsin)R236(HRsin)z(z+HRs
20、in)R25+4(1)(12)R2(R2+z+HRsin)（6）fLlRR1R2式中：为盾壳与周边岩土体之间单位面积摩擦力；为盾壳长度；为积分微面到盾壳切口处的距离；为盾壳半径值；、分别为R1=(yRcos)2+(x+l)2+(zH+Rsin)2410岩土工程技术2023 年第 4 期R2=(yRcos)2+(x+l)2+(z+HRsin)2从 Mindlin 解的应用过程中可以看到：对于图 1所示的力学模型，Mindlin 解能够通过积分方法反映盾构机对周围土体的作用情况，适用于不同埋深的隧道情况，使用简单。但应该注意到 Mindlin 解的应用前提是均匀的半无限土体，在面对复合地层时，从弹
21、性力学基本方程出发推导地层沉降表达式，是工作量巨大且不具备泛用性的，复合地层相对复杂的边界条件，也使得无法从伽辽金矢量组合的法进行求解。3 复合地层的扩展 Mindlin 解实际工程中遇到的地层大多都是层状地层，采用 Mindlin 解往往存在较大的误差。艾智勇等16将复合地层中作用集中力时产生的应力场与位移场的弹性力学问题称作扩展 Mindlin 解，并根据弹性层状理论和矩阵递推方法得到了可用的扩展 Mind-lin 解。3.1 传递矩阵的推导uvuhvzhz艾智勇等16 推导出非轴对称荷载作用下单层地基的初始函数解答见式（7）、式（8）；引入中间参数、见式（9）和位移与应力的级数形式，并结
22、合 Hankel 变换17 进行简化见式（10）、式（11），可由弹性力学基本方程得到弹性半无限体位移与应力的递推形式和递推矩阵见式（12）、式（13）。uvk(,z)zk(,z)wk(,z)vzk(,z)=11121314212223243132333441424344 uvk(,0)zk(,0)wk(,0)vzk(,0)（7）uhk(,z)hzk(,z)=T11T12T21T22 uhk(,0)hzk(,0)（8）T式中：、为传递矩阵。uv=1r(ru)r+vuh=1r(rv)ruvz=1r(rzr)r+zhz=1r(rz)rzr（9）Hkf(r,z)=w0rf(r,z)Jk(r)dr=f
23、(,z)（10）Hkrr(rf(r,z)r)k2r2f(r,z)=rJk(r)f(r,z)rrJk(r)f(r,z)?02f(,z)（11）Gv(,z)=Gv(,0)（12）Gh(,z)=TGh(,0)（13）GvGh式中：、为层面状态向量。3.2 复合地层内部位移解析解假设在计算时将土层用 n 个层面进行划分，对每一个层面的接触条件进行 Hankel 变换，并假设水平作用力 Q 作用于第 m 个层面，则得到层面接触条件：Gv(,z+1)=Gv(,z1)Gv(,z+m)=Gv(,zm)0 0 0Q2rTGv(,z+n1)=Gv(,zn1)Gh(,z+1)=Gh(,z1)Gh(,z+m)=Gh(
24、,zm)0Q2rTGh(,z+n1)=Gh(,zn1)（14）根据层面间的递推方程式，可以得到多层递推式：Gv(,zn)=n1(,Hi)Gv(,0)+nm+1(,Hi)0 0 0Q2rT（15）Gh(,zn)=n1(,Hi)Gh(,0)+nm+1(,Hi)0Q2rT（16）式(15)、式(16)的结果还需要经过 Hankel 逆变换得到最终结果：H1kf(,z)=w0f(,z)Jk(r)d=f(r,z)（17）HyrzO OdAdrd 图 3 附加推力积分示意图陈俊生等：Mindlin 解在复合地层盾构隧道施工地表沉降计算中的应用411GvGh上述扩展 Mindlin 解的求解过程可以有效适用
25、复合地层内部作用集中力的情况，但应当注意到，、为层面状态向量，使得扩展 Mindlin 最终得到的是若干层面上的位移与应力状态，而非一个连续的结果。在面对存在沿深度方向的连续力时，扩展 Mindlin 解会难以反映力全貌。对此，将图 1 所示的力学模型进行简化，化分布力为层面上的集中力，对于某夹层土上的分布力情况，按照式（1）得到如图 4 所示的层面集中力情况，并应用扩展 Mindlin 解，见式（18）。Pi1+Pi2=wHi0pidhPi1Hi=wHi0pihdh（18）HihPi2Pi1Pi 图 4 某夹层受力情况 假设将土层分为 n 层，其中存在分布力的区域分为 m 层，应用扩展 Mi
26、ndlin 解后的结果为Gv(,zn)=n1(,Hi)Gv(,0)+nm+p(,Hi)0 0 0P(m+p)12rT+nm+q(,Hi)0 0 0P(m+q)22rT（19）Gh(,zn)=n1(,Hi)Gh(,0)+nm+p(,Hi)0Pm+p2rT+.+nm+q(,Hi)0Pm+q2rT（20）从式（19）、式（20）可以看到，如果将土层划分得更细致，得到的结果也会更精确，但运算量会呈指数增加，求解难度变得极大。4 工程实例珠海市区到珠海机场城际轨道交通工程中，拱北至横琴区段地铁盾构隧道围岩为典型的复合地层，选取该区段进行相关研究。沿线隧道穿越的地层为粉质黏土（上部）和中等风化花岗岩（下部
27、），下部岩层的单轴抗压强度能达到上部土层无侧限抗压强度的10 倍，下部岩层的变形模量可达上部土层的 20 倍，上下地层的相关参数见表 1。在复合地层区段内，对地铁隧道右行线设置了 6 个截面（A1A6）进行地表沉降的监测，每个监测截面均垂直隧道轴线设置多个沉降监测点，监测点布置如图 5所示。表 1 背景工程相关土层参数参数类型变形模量/MPa 泊松比 摩擦角/()黏聚力/kPa粉质黏土层150.311.32中等风化花岗岩岩层3000.2545100 往横琴站方向往横琴站方向隧道轴线(右线)YDK10+730YZ10700-5YZ10700-4YZ10700-3YZ10700-2YZ10700-
28、1YY10700-1YY10700-2YY10700-3YY10700-4YY10700-5Y10700A6A4A4A6A5A5A4A4A3A3A2A2A1A1YDK10+715YDK10+700YDK10+686YDK10+678YDK10+670 图 5 科研段内监测点布置情况 科研段内土层起伏较为明显，A1A6 断面具有不同的软硬地层比例，A1A6 软土层厚度占比见表 2。表 2 科研段内不同监测断面盾构软土层厚度占比断面名称A1-A1 A2-A2 A3-A3 A4-A4 A5-A5 A6-A6软土层厚度占比1/62/63/64/65/65/6 以 A2-A2、A3-A3、A4-A4 断
29、面地表沉降数据分析两种方法得到结果的合理性，不同计算方法与实测监测数据得到的地表沉降情况如图 6图 8 所示，A2A4 断面地表三维沉降如图 9 所示，图中的沉降数据为刀盘面推进到 YDK10+706 时的监测数据，此时盾壳的几何中心正好经过 A4-A4 断面，此时盾构机正处于通过阶段。412岩土工程技术2023 年第 4 期0监测值Mindlin 解扩展 Mindlin 解181512 9 6 3036912 15 1820406080100沉降量/mm120距离隧道轴线的水平距离/m 图 6 A2A2 断面沉降情况 0监测值Mindlin 解扩展 Mindlin 解181512 9 6 3
30、距离隧道轴线的水平距离/m036912 15 1820406080100沉降量/mm120 图 7 A3A3 断面沉降情况 0监测值Mindlin 解扩展 Mindlin 解181512 9 6 3036912 15 1820406080100沉降量/mm120距离隧道轴线的水平距离/m 图 8 A4A4 断面沉降情况 从图 6图 9 中可以看到，Mindlin 解由于采用将复合地层简化为均质地层来求解，计算附加推力和盾壳周边摩擦力所选取的参数基本一致，得到的结果在不同软硬土层厚度比的复合地层缺乏特应性，但Mindlin 解得到的结果与不同断面得到的实测结果相比，沉降值偏大。扩展 Mindli
31、n 解得到的结果与监测值拟合较好。5 结论(1)从 Mindlin 解出发，将复合地层简化为较弱层的均匀地层，通过积分方法得到一个精确的地层沉降计算结果，具有计算快速、应用简单等特点，而计算所得的地层沉降偏大，可以作为工程设计参考。(2)扩展 Mindlin 解采用矩阵递推解决了位移与应力在不同层面之间的传递问题，只需要在集中力作用平面及土层交界面设置状态向量，并建立递推关系，再结合边界条件即可得到特定层面的位移与应力情况。但是由于扩展 Mindlin 解实现的只是层面间的应力位移传递，不是一个精确的连续解，因此其对于沿深度方向分布连续作用力的情况并不适用。GvGh(3)背景工程监测数据证明了
32、扩展 Mindlin 解引入层面状态向量和的计算方法具备一定的可行性，但缺点是反演的工作量会随着层面划分数量而呈指数增加。参考文献 程红战，陈健，李健斌，等.基于随机场理论的盾构隧道地表变形分析J.岩石力学与工程学报，2016，35（S2）：4256-4264.1 施成华，彭立敏.随机介质理论在盾构法隧道纵向地表沉降预测中的应用J.岩土力学，2004，（2）：320-323.2 SAGASETA C.Analysis of undraind soil deformationdue to ground lossJ.Gotechnique，1987，37（3）：301-320.3 MINDLIN
33、R D.Force at a point in the interior of a semi-infinite solidJ.Physics，1936，7（5）：195-202.4 魏纲，徐日庆.软土隧道盾构法施工引起的纵向地面变形预测J.岩土工程学报，2005，（9）：1077-1081.5 SHI C H，CAO C Y，LEI M F.An analysis of the grounddeformation caused by shield tunnel constructioncombining an elastic half-space model and stochasticmed
34、ium theoryJ.Ksce Journal of Civil Engineering，2017，21（5）：1933-1944.6 金波，唐锦春.用积分变换及边界积分方法求解多层 7 沉降量/mm距离隧道轴线的水平距离/m隧道纵向距离/m1.0006.44013.8821.3228.7636.2043.6451.0858.5265.9673.40监测值Mindlin 解扩展 Mindlin 解201001020304050607080901001101201301401501068010682106841068610688106901069210694106961069810700201
35、001020 图 9 A2A4 断面地表三维沉降图陈俊生等：Mindlin 解在复合地层盾构隧道施工地表沉降计算中的应用413地基的静力问题J.计算结构力学及其应用，1993，（4）：424-432.杨敏,艾智勇.多层地基内部作用竖向集中力时的广义Mindlin课题解C/中国土木工程学会第八届土力学及岩土工程学术会议论文集.1999.8 魏纲，王霄，张鑫海.多因素下双线盾构隧道施工引起的土体变形研究J.现代隧道技术，2018，55（3）：130-139.9 邱明兵，高文生.Mindlin解积分的方形荷载竖向应力系数初等解J.应用力学学报，2021，38（2）：655-662.10唐晓武，朱季，
36、刘维，等.盾构施工过程中的土体变形研究J.岩石力学与工程学报，2010，29（2）：417-422.11梁荣柱，夏唐代，林存刚，等.盾构推进引起地表变形及深层土体水平位移分析J.岩石力学与工程学报，122015，34（3）：583-593.王智德，江俐敏，饶宇.基于时空关系的盾构开挖地表沉降规律J.土木与环境工程学报(中英文)，2019，41（1）：62-69.13邓皇适，傅鹤林，史越.小转弯半径曲线盾构隧道开挖引发地表沉降计算J.岩土工程学报，2021，43（1）：165-173.14魏纲，庞思远.双线平行盾构隧道施工引起的三维土体变形研究J.岩土力学，2014，35（9）：2562-2568.15艾智勇，杨敏.多层地基内部作用一水平力时的扩展Mindlin解J.同济大学学报(自然科学版)，2000，（3）：272-276.16余力，黄美纯，陈文忠，等.离散Hankel变换(英文)J.计算物理，1998，（1）：90-95.17收稿日期：2022-05-27414岩土工程技术2023 年第 4 期
