1、 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心我们让你更放心 ！数学必修5(配人教A版)3.43.4 根本不等式：根本不等式：3 34.14.1 根本不等式根本不等式(一一)不等式 abab2 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)1通过实例探究抽象根本不等式，体会数学来源于生活 2推导并掌握根本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程 3理解根本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“取等号的条件是：当且仅当这两个正数相等 4熟练掌握根本不等式 (a，bR)
2、，会用根本不等式证明不等式 abab2 abab2 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)根底梳理根底梳理 1两个正数的算术平均数与几何平均数设a，b是任意两个正数，称 为a，b的_；称 为a，b的_ 1和9的算术平均数是：_，而1和9的几何平均数是：_.2重要不等式：设a，bR，a2b22ab(ab)20，_.当且仅当_时，等号成立 ab2 ab 答案：1算术平均数 几何平均数 练习1：5 3 2a2b22ab ab 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放
3、心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)3根本不等式：设a，b是任意两个正数，那么 .当且仅当_时，等号成立根本不等式可表达为：两个正数的_ 如果把 看作是正数a，b的等差中项，看作是正数a，b的等比中项，那么根本不等式也可以表达为：两个正数的_ 4根本不等式 几何意义是：_.abab2 ab2 ab abab2 答案：3ab 算术平均数不小于它们的几何平均数 等差中项不小于它们的等比中项 4“半径不小于半弦 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)5x，y都是正数，(1)如果积xy是定值P，那么当xy时，和_有最小值_；(2)如果和x
4、y是定值S，那么当xy时，积_有最大值_ 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)(2)当 xyS(定值)时，xyS2xy14S2，当且仅当 xy 时，上式取“”，当 xy 时，(xy)max14S2.答案：(1)xy 2 P(2)xy 14S2 证明：x，yR，xy2 xy.(1)当 xyP(定值)时，xy2 P，xy2 P，当且仅当 xy 时，上式取“”，当 xy 时，(xy)min2 P.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)解析：(1)因为 x，y 都是正数，且 xy15，由基本不等式得
5、xy2 xy2 15，当且仅当 xy 15时，取等号(2)因为 x，y 都是正数，且 xy15，由基本不等式得 xyxy2215222254，当且仅当 xy7.5 时，取等号 答案：2 15 2254 3x，y都是正数，如果xy15，那么xy的最小值是_；如果xy15，那么xy的最大值是_ 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)6求函数最值的两个根本步骤：(1)先证ym(m是与自变量无关的常数)或yM(M是与自变量无关的常数)；(2)再证存在定义域中的x0，使f(x0)m 或f(x0)M.有了这两步就可以下结论：yf(x)的最小值是m或yf(x
6、)的最大值是M.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)自测自评自测自评 1以下函数中，能取到最小值2的是()Ayx1x(x0，b0，那么 的最小值是_；如果ab0，那么 的范围是_.baab baab 答案：2.大 2 小 4 3.2 2，)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)不等式的证明不等式的证明 已知 x，y 都是正数，求证：yxxy2.证明：x，y 都是正数，xy0，yx0，由基本不等式有xyyx2
7、xyyx2，当且仅当xyyx即 xy 时“”成立 即xyyx2.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)跟踪训练跟踪训练 1x，y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.分析：用根本不等式 时，注意条件a，b均为正数，并结合不等式的性质，进行推证 证明：x，y都是正数，x20，y20，x30，y30，由根本不等式有 xy20，x2y220，x3y320.再由不等式的性质有(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3.即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.(当且仅当xy时取abab2 金品质金品质高追求高追求 我们让
8、你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)利用根本不等式求最值利用根本不等式求最值 (1)假设x0，求f(x)3x的最小值；(2)x2，求x 的最小值 解析：(1)x0，由基本不等式得 f(x)12x3x212x 3x 2 3612.当且仅当 3x12x，即 x2 时，f(x)取最小值 12.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)(2)x2，x20，x4x2x24x22 2x24x226.当且仅当 x24x2，即 x4 时，等号成立 所以 x4x2的最小值为 6.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学
9、必修5(配人教A版)跟踪训练跟踪训练 2(1)0 x ，求函数yx(13x)的最大值；(2)x1，求y 的最小值；(3)x0，y0，1，求2x3y的最小值 解析：(1)0 x13，13x0，yx(13x)13 3x(13x)133x13x22112，当且仅当 3x13x，即 x16时，等号成立 当 x16时，函数取最大值112.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)(2)yx2x1x211x1x11x1 x11x12224，当且仅当1x1x1，即(x1)21 时，等式成立，x1，当 x2 时，ymin4.(3)2x3y1()2x3y 1x6y(
10、2x3y)23yx12xy1822 3618 2121832，当且仅当 y2x 取等号，且1x6y1，即 x4，y8 时成立，2x3y 的最小值为 32.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)利用根本不等式解决应用问题利用根本不等式解决应用问题 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处？解析：由已知 y120 x；y20.8x(x 为仓库与车站距离)，费
11、用之和 yy1y20.8x20 x20.8x20 x8.当且仅当 0.8x20 x即 x5 时“”成立 答：仓库应建在离车站 5 公里处 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)跟踪训练跟踪训练 3一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市两地路线长400 km，为了平安，两列货车的间距 不得小于 km(货车长度忽略不计)，那么这批货物全部运 到B市最快需要多少小时？v202 解析：这批货物从A市全部运到B市的时间至少为 故这批货物全部运到B市最快需要8小时 t40016v202v400v16v4002400v16v4008(h)
12、，等号成立的条件是400v16v400，即 v100.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)一、选择填空题 1x，y均为正数，xy8x2y，那么xy有()A最大值64 B最大值 C最小值64 D最小值 解析：x、y 均为正数，xy8x2y2 8x 2y8 xy，当且仅当 8x2y 时等号成立 xy64.答案：C 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)2若 ab0，则下列不等式成立的是()Aabab2 ab B
13、aab2 abb Caab2b ab Da abab2b 解析：主要是理解算术平均数和几何平均数的意义，作差比较即可 答案：B 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)1根本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式说明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换 2“当且仅当ab时，等号成立的含义：(1)当ab时等号成立的含意是：ab ；(2)仅当ab时等号成立的含意是：ab；综合起来，其含意是：ab.ab2 ab ab2 ab ab2 ab 金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)3设 a，bR，不等式 a2b22ababa2b22 abab22.4基本不等式的几种变式：设 a0，b0，则 a1a2，baab2，a2b2ab.金品质金品质高追求高追求 我们让你更放心！我们让你更放心！返回 数学必修5(配人教A版)祝 您
