1、“构造法”在研究含参函数零点存在问题上的应用朱镜鸿(甘肃省白银市第八中学 7 3 0 9 0 0)【摘要】函数零点的存在问题是高考的热点问题,试题的难度通常较大,解题过程较为复杂,试题中常常包含函数的单调性、极值、最值等知识点,对分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想进行综合考查,经常以压轴题的形式出现.本文研究“构造法”在解答函数零点存在问题上的应用,结合分类讨论、转化与化归的数学思想,在解答函数的零点存在问题时,通过构造新的函数,然后多次求导,进行层层推理解答,为学生们在解涉及函数零点存在的问题时提供新的思路,掌握更多的解题方法,从容作答.【关键词】函数;零点;构造法例1(2
2、 0 2 2广东联考)已知函数f x =2 l nx-x2+a x a R .(1)当a=2时,求f x 的图象在x=1处的切线方程;(2)当m的取值范围为多少时,函数g x =f x -a x+m在1e,e 上有两个零点.解题思路(1)直接代入a=2得到函数式,对函数进行求导,代入x=1即可求得切线的斜率,然后直接求得切线方程;(2)根据零点的存在个数,求参数取值范围,这类问题通常从以下两点进行考虑:根据区间上零点的个数情况,估计出函数图象的大致形状,从而推导出参数需要满足的条件,进而求出参数的取值范围(值);可以先求导,通过求导分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身
3、需要满足的条件,求得参数取值范围(值).解(1)当a=2时,f x =2 l nx-x2+2x,则f x =2x-2x+2,切点坐标为1,1 ,切线的斜率k=f 1 =2,则函数f x 的图象在x=1处的切线方程为y-1=2x-1 ,即y=2x-1,(2)由题意知g x =f x -a x+m=2 l nx-x2+m,则g x =2x-2x=-2x+1 x-1 x,因为x1e,e ,所以由g x =0,得x=1,当1ex0,函数g x 单调递增;当1xe时,g x 0,g1e =m-2-1e20,ge =m+2-e20,解得10 ,导函数中含有参数,应对参数进行分类讨论,注意到函数的定义域及f
4、1 =0,应分k0,0k2四种情况讨论函数的单调性,借助零点存在性定理判断零点个数.这期间会构造新函数,通过多次求导,最后求得结果.解(1)对f x 求导得f x =kx-2x2=k x-2x2x0 ,由题意得f 1 =k-2=0,所以k=2,f x =2x-2x2x0 ,当x 0,1 时,f x 0,函数f x 单调递增.所以当x=1时,函数f x 取得极小值,为f1 =2 l n 1+2-2=0,无极大值.(2)因为f x =k x-2x2x0 ,当k 0时f x 0时f x =k x-2k x2x0 .若0k1处取得极小值.因为f1 =0,所以f2k 0,而exx,所以e2k2k,所以函
5、 数f x 在2k,+上 也 有 一 个 零点,所以函数f x 在0,+上存在两个零点;若k=2,由(1)可 知,函 数f x 在0,+上存在一个零点;若k2,则2k1,函数f x 在0,2k 上单调递减,在2k,+上单调递增,所以函数f x 在x=2k1处取得极小值,因为f1 =0,所以f2k 2 ,则x =-2x+2 ex=2ex-x ,由exx,可得当x2时,x 0,所以x 在2,+上单调递增,所以x 2 =2e2-3 0,即fe-k 0,又因为0e-k2k,而fe-k 0,f2k 0,所以 函 数f x 在e-k,2k 上 也 存 在 一 个零点,即函数f x 在0,+上存在两个零点.综上所述,当k0或k=2时,函数f x 在0,+上存在一个零点;当0 k 2时,函 数f x 在0,+上存在两个零点结语 对于含参函数的零点个数问题,一般采用以下两个方法:一是分离参数,作出函数的大致图象,将问题转化为求直线y=a和y=f x 的图象的交点个数问题;二是利用导数研究函数的单调性和极值,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数.而方法2的解题过程中,由于涉及的函数会比较复杂,常常需要构造新函数通过多次求导,进行层层推理解答,因此在研究含参函数零点存在的问题上,掌握函数的构造技巧是非常重要的一种解题方法.72 0 2 3年1 2月上基础精讲 数理天地 高中版
