1、第44卷第2期2023年6月淮北师范大学学报（自然科学版）Journal of Huaibei Normal University(Natural Sciences)Vol.44 No.2Jun.2023基于Beta基函数的碳交易价格拟合研究马稳稳，程文韬（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）摘要：利用Beta基函数，对选自英国2010年11月至2021年11月的碳排放期货价格数据建立带参数的Beta基函数模型，以此达到推广和改进Bernstein基函数模型，提高模型灵活度和适用范围的目的。使用岭回归方法并借助Beta基函数的性质来建立Beta基函数模型，并通过调整形状参数值的大
2、小来调整曲线的形状及拟合精度。结果证明，通过控制形状参数值来控制模型曲线的形状可将Bernstein基函数模型做进一步的推广，更具灵活性。当形状参数时，该模型拥有较高的拟合精度，与Bernstein基函数模型拥有相同效果。关键词：Beta基函数；碳交易价格拟合；控制点；岭回归中图分类号：O 212.1文献标识码：A文章编号：2095-0691（2023）02-0030-060引言当今的中国，低碳经济成了生产生活中最重要的一环，甚至出现竞争现象1。在绿色革命浪潮下碳交易正在形成一个全新并且庞大的碳金融市场2，影响每一个企业和国家的运作。如王灿等3强调碳中和不仅是环保问题，也关系到国家的民族复兴，
3、马跃等4针对中国市场进行过深入剖析，指出中国市场在碳期货上的发展历程，强调碳交易价格在中国市场中的重要性。因此碳交易价格背后规律的重要性不言而喻，对于碳价格相关方法的研究也是相当重要。马明娟等5在针对欧盟碳期货价格影响因素的基础上，得到在不同经济发展水平和能源背景下的碳交易价格波动较大的结论。王喜平等6提出的ARMA-GARCH-EVT组合模型能够捕捉碳交易价格的波动风险，为市场可能出现的极端变动提供理论支持。还有的学者利用神经网络的方法来研究碳市场7，综合其他学者的研究，在朱建平等8提出的一种基于Bernstein基函数模型与朱远鹏9提出的带参数的基函数理论研究的基础上构建Beta基函数模型
4、，对英国碳排放价格进行分析。Beta基函数模型为带形状参数的模型，希望通过改变参数的值来改变模型曲线的形状，以达到推广模型的目的，使模型更具灵活性，为进一步研究碳交易提供新的思路。1模型构建1.1Beta基函数设Yi为时间序列数据，i=0,1,n，由基函数构造的模型为：Y(ti)=k=0mbklk(ti)+(ti),0ti1,m0，(ti)为随机干扰项，Y(ti)为将Yi参数化10后的表达；基函数所拟合的曲线具有几何直观性和良好的控制性，如Bernstein基函数11，此处研究Beta基函数。mk(t;)是m次的Beta基函数12：收稿日期：2022-09-27基金项目：国家自然科学基金项目（
5、11626031）；安徽省高校自然科学研究重点项目（KJ2021A0648）；安徽省自然科学基金项目（1908085QA29）作者简介：马稳稳（1994），男，安徽阜阳人，硕士生，研究方向为统计学习。通信作者：程文韬（1985），男，安徽怀宁人，博士，副教授，研究方向为逼近论、统计学习。第2期马稳稳等：基于Beta基函数的碳交易价格拟合研究mk(t;)=mkB(k+t,m-k+(1-t)B(t,(1-t),0t1。（2）由Beta函数的性质12-13又可以得到在t(0,1)时mk(t;)的另一种表达方式，即mk(t;)=mktt+1+1t+k-1+k-1(1-t)+k(1-t)+1+k+1(1
6、-t)+m-k-1+m-1。（3）当时，将式（3）取极限可以得到mk(t;)|k=0,1,m，等同于Bernstein基函数，即limmk(t;)=bmk(t)=mktk(1-t)m-k,t(0,1)。Beta基函数能构造曲线模型是由Beta基函数本身所具有的性质所决定，其性质为12（i）恒正性mk(t;)0.t0,1；（4）（ii）权性k=0mmk(t;)=1；（5）（iii）对称性mk(t;)=mm-k(1-t;)；（6）（iv）端点性质mk(0;)=1,k=00,0km（7）mk(1;)=1,k=m0,0km；（8）（v）递推性mk(t;)=t+k-1+n-1m-1k-1(t;)+(1-
7、t)+m-k-1+m-1mk(t;)。（9）1.2Beta基函数建模以m次Beta表达式mk(t;)=mkB(k+t,m-k+(1-t)B(t,(1-t),t(0,1),k=0,1,m（10）作为基函数，所建立的模型为Y(ti)=k=0mbkmk(ti;)+(ti),0ti1,i=0,1,n，（11）其中：bk(k=0,1,m)为控制点；(ti)为随机干扰项。由式（7）和式（8）可知，mk(t;)在t=0和t=1处的值是存在的，可以通过极限求得，即12mk(0;)=limt0mk(t;)=1,k=00,0km，（12）mk(1;)=limt1mk(t;)=1,k=m0,0km。（13）因此便可
8、以估计出模型（11）在闭区间0,1上的m+1个控制点b0,b1,bm,进而得到最终的拟合曲线为Y(ti)=k=0mbkmk(ti)+(ti),ti0,1。（14）采用回归中的最小二乘法14来估计控制点bk,k=0,1,m。下面将先对数据Yi,i=1,2,n参数化。因为所得到的时间序列数据的时间间隔为1个月。所以可以设时间间隔为t=i+1-i=C（常数），然 后 将 其 规 范 化 后 可 得ti=i/n,i=1,2,n。此 时，可 以 假 设(t)N(0,2)且 当titi+1时，cov(ti),(ti+1)=0。31淮北师范大学学报（自然科学版）2023年下面使用最小二乘法寻找参数bk，使离
9、差平方和Q(b0,b1,bm)=i=1n(Y(ti)-k=0mbkmk(ti)2达到极小，其中Q为bk的函数，求解可得b0b1bm=(T)-1TYt1Yt2Ytn，其中=m0(t0;)m1(t0;)mm(t0;)m0(t1;)m1(t1;)mm(t1;)m0(tn;)m1(tn;)mm(tn;)，T是的转置。1.3使用岭回归对Beta基函数模型进行改进当使用高阶多项式拟合时，拟合效果提升，但高阶的基函数存在着严重的多重共线性，影响控制点的稳定程度和精度。因此使用岭回归对模型进行改进，设岭回归参数为k，则可以得到岭回归为8Qk=(T+kE)-1TY，（15）其中E为m+1阶单位矩阵。为得到稳定性
10、较好的模型，选取合适的k完全消除多重共线性。2实例分析2.1建模流程分析对于Beta基函数模型，按照如下程序进行：首先确定形状参数的值，然后依次选取m=1、2、并计算出AIC（赤池信息准则）和调整后的确定系数，选出调整后的确定系数最大的m值后再选择合适的岭参数k，最后输出m、k以及AIC的值，之后改变的值并重复以上步骤，直到取出最优的m、k以及AIC的值。根据已有的数据可以计算出当参数时对式（3）取极限且m取到27时达到最终最优的拟合效果。2.2实例数据验证依据上述分析，选取英国2010年11月至2021年11月碳期货价格的数据，用来验证模型的实际预测效果，根据Beta基函数模型流程，当形状参
11、数=1时，取m=9时拟合效果最优，取岭参数k=0.269 8，求得调整后的确定系数R2a=0.889 01，且AIC=1 066.85，拟合效果较好；当形状参数=10时，取m=14时效果最佳，取k=0.100 71，得R2a=0.928 74，且AIC=1 012.36；当形状参数=100时，取m=24时效果最优，取k=0.054 388 2，得R2a=0.972 84，且AIC=892.2。随着形状参数的取值不断增大，拟合效果也在不断提升，当时,对式（3）取极限可知此时的拟合效果等同Bernstein基函数拟合建模方法3，m=27达到最优。此时取k=0.048 2，得R2a=0.979 61
12、，求得AIC=856.3。2.3岭回归模型与原模型的比较（）如图1所示，实线为原始数据曲线，虚线为改进前的拟合曲线，叉形线为岭回归模型拟合曲线。从图1可以看出，改进前模型的拟合效果更优，那是因为在用多项式对曲线做拟合时，多项式的次数越高，那么拟合的效果也就越好，但高次的Beta基函数存在着较为严重的多重共线性。表1为控制点的估计值，从表1可以看出，改进前控制点的估计值变化范围巨大并且不够稳定，而改进后的控制点较为稳定，变化幅度较小。因为用高次的Beta基函数拟合得到的作为最小二乘估计系数具有很差的稳定性与可信度，如果在此基础上继续分析，那么得到的结果同样是不可靠的。而岭回归方法消除多重共线性的
13、影响，通过岭回归方法的改进，改进后控制点的估计值相比改进前要稳健的多，不32第2期马稳稳等：基于Beta基函数的碳交易价格拟合研究会出现较大的波动与偏差，这对于后面的预测是十分必要的。虽然这会导致拟合效果的下降，但提高控制点的精度与稳定性，起到提升模型预测效果的作用。图1拟合结果表1控制点的估计值比较控制点b0b1b2b3b4b5b6b7b8b9b10b11b12b13b14b15b16b17b18b19b20b21b22b23b24b25b26b27改进前估计值14.77249.368712.190744 5.298-488 06.756236 116.242-898 652.147278
14、318 8.970-716 237 7.197155 450 64.790-287 648 21.650457 270 80.200-627 517 92.230745 204 30.770-766 083 04.800680 766 00.920-521 306 15.740342 374 85.650-191 600 73.620905 850 1.539-357 841 5.469116 517 4.953-307 666.997648 65.026-108 10.582145 4.129-73.26369.547岭回归估计值14.18420.9558.1723.4576.7827.37
15、23.9160.7600.9714.4989.40213.23013.90310.4423.618-3.815-7.715-4.2497.67124.50938.47541.13129.33510.6724.24928.72059.49665.95533淮北师范大学学报（自然科学版）2023年2.4岭回归模型的拟合效果分析（）图1中，实线为真实值的曲线，将其设为Yt，叉形线为岭回归模型的拟合曲线，将其设为Yt，所以真实值与拟合值之间的残差比为=Y(t)Y(t)Y(t)100%，因此可以得到残差比图，如图2所示。图2真实值与拟合值的残差比图为把问题说的更加明白，可以结合现有的数据求得残差与平均数
16、之比图，如图3所示。由图2和图3可知，真实值与拟合值的残差比区间为(-5.0%,5.0%)，因此，利用基于岭回归的Beta基函数去拟合数据不仅拥有比较高的精度和稳定性，而且可以通过调整形状参数来调整图形的形状。图3残差与平均数比图3结语自提出碳中和这一目标以来，便引起众多学者的关注，如王勇等15以碳交易价格为基础，分析不一样的配额分配方式对碳交易市场运行带来的影响。但是碳价格是在不断变化的，挖掘价格变动规律背后的研究方法成为重点，如周熠烜等16提出组合预测模型，为研究这一规律提供新的思路。本研究在Bernstein基函数模型的基础上提出带参数的Beta基函数模型，以此来研究这种时间序列类型的价
17、格数据。研究结果表明，通过改变Beta基函数模型的形状参数值，拟合曲线也会随之改变，当形状参数值趋向无穷时拟合效果等同Bernstein基函数模型。这样可以得到一个推广的Bernstein基函数模型，提高拟合曲线的灵活性，为数据挖掘研究提供新的思路。34第2期马稳稳等：基于Beta基函数的碳交易价格拟合研究参考文献：1赵越.低碳经济对中国制造业贸易竞争力的影响研究 D.兰州：西北师范大学，2018.2李建涛，梅德文.绿色金融市场体系：理论依据、现状和要素扩展 J.金融论坛，2021，26（6）：17-26.3王灿，张雅欣.碳中和愿景的实现路径与政策体系 J.中国环境管理，2020，12（6）：
18、58-64.4马跃，冯连勇.谁将率先突破碳期货？J.能源，2021（7）：43-45.5马明娟，李强，殷文琦，等.碳中和目标下基于GA-BP神经网络的碳交易定价模型及其模拟研究 J.生态经济，2022，38（3）：40-46.6王喜平，闫丽娜.基于极值理论的碳价格波动风险管理研究 J.电力科学与工程，2022，38（2）：69-80.7郭蜀航.基于BP神经网络的碳排放权交易价格预测 D.武汉：中南财经政法大学，2020.8朱建平，李治国，陈彩云.数据挖掘中一种新的预测模型：基函数拟合预测及其在股市中的应用 J.系统工程理论与实践，2003（9）：35-40.9朱远鹏.基函数中带形状参数的几何造
19、型理论与方法研究 D.长沙：中南大学，2014.10朱淼，朱建平.基于Bernstein模型的新冠肺炎（COVID-19）疫情发展研究 J.应用数学学报，2020，43（2）：402-414.11ANDERSON C.Curves and surfaces in computer aided geometric design J.Technometrics，2012，32（2）：229-230.12CHU Licai，ZENG Xiaoming.Constructing curves and triangular patches by Beta functions J.Journal of C
20、omputationaland Applied Mathematics，2014，260（2）：191-200.13HUGHES R D.Probability theory and mathematical statistics for engineers J.Journal of the Operational Research Society，1985，36（10）：973-974.14JOHNSON P.Applied regression analysis J.Journal of Quality Technology，1987，19（2）：110-111.15王勇，王丁玉，陈彦汝.
21、不同配额分配方式对中国碳交易市场运行的影响：基于流动性、波动性与有效性视角的考察J.资源科学，2021，43（12）：2503-2513.16周熠烜，陈华友，周礼刚，等.基于非结构化数据的LLE-WOA-LSSVR碳价格组合预测模型 J.合肥工业大学学报（自然科学版），2022，45（4）：570-576.Research on Carbon Trading Price Fitting Based on Beta Basis FunctionMA Wenwen，CHENG Wentao（School of Mathematics and Physics，Anqing Normal Univer
22、sity，246133，Anqing，Anhui，China）Abstract：The Beta basis function is used to establish a beta basis function model with parameters for the carbon emission futures price data selected from the United Kingdom from November 2010 to November 2021，so as to promote and improve the Bernstein basis function m
23、odel and improve the flexibility and scope of application of the model.The ridge regression method is used to build the Beta basis function model with thehelp of the properties of the Beta basis function，and the shape and fitting accuracy of the curve are adjustedby adjusting the value of the shape
24、parameter.It is proved that the Bernstein basis function model can be further generalized by controlling the shape parameter value to control the shape of the model curve.When theshape parameter is selected，the model has a high fitting accuracy，which has the same effect as Bernstein basis function model.Key words：Beta basis function；carbon trading price fitting；control point；ridge regression35
