1、第 卷第 期太原科技大学学报 年 月 文章编号：（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）；太原科技大学博士启动基金（）作者简介：李祥宇（），女，硕士研究生，主要研究方向微分方程理论及其应用；通信作者：李俊林教授，：基于 的耙式干燥机搅拌轴动力响应分析李祥宇，李俊林，谢秀峰（太原科技大学 应用科学学院，太原 ）摘要：分析了真空耙式干燥机搅拌轴的振动响应问题，把搅拌轴看作简支梁，结合 梁理论对真空耙式干燥机搅拌轴进行建模，推导出周期激励下搅拌轴的振动微分方程，采用微分求积法（）求出搅拌轴挠度位移矩阵的数值解。确定搅拌轴最大变形位置及一个周期内发生最大变形的时间，及搅拌轴中点挠度与轴半径、轴长度
2、、轴密度、轴弹性模量的变化关系。结果表明，随着轴径向力增加，搅拌轴中点挠度成比例增大；在轴半径较小时，搅拌轴中点挠度值较大，并且波动较大，在轴半径较大位置，搅拌轴中点挠度平稳波动，最终趋向于；在 周期时刻，轴长为 搅拌轴中点挠度出现最大值；其余长度位置搅拌轴中点挠度平稳波动。因此可以通过优化搅拌轴参数改善搅拌轴性能，防止其断裂，本研究对真空耙式干燥机搅拌设备的设计具有一定的理论意义，和一定的工程应用价值。关键词：真空耙式干燥机；搅拌轴；周期激励；挠度；材料参数中图分类号：文献标识码：真空耙式干燥机工作时，被干燥物料在不断转动的耙齿的搅拌下进行间歇式干燥。搅拌轴是搅拌系统的关键部分，它从连接着的
3、电机传递扭矩到耙齿，由于搅拌轴在搅拌过程中承受着较大的弯曲载荷，因此搅拌轴容易产生弯曲疲劳破坏 。随着我国建设资源节约型，环境友好型社会的发展，真空耙式干燥机凭借其高效节能，环保的特点表现出良好的应用前景，搅拌轴是搅拌系统的核心部件，它的设计直接影响干燥效率，干燥成本和经济效益。通常把搅拌轴当作简支梁振动问题来研究。研究了基于非线性弹性基础的压电复合材料板的自由振动问题。采用弹性力学和压电力学的三维理论推导了运动控制方程。采用微扰法和迭代求积公式对所得到的方程进行了求解 。陈姗为了研究简谐载荷作用下粘弹性梁振动的非线性动力学行为，建立了相应的粘弹性横向振动非线性动力学模型 。提出来一种求解具有
4、一般边界条件的多裂纹非均匀 梁横向自由振动的微分求积法，利用微分求积模拟方法，导出了控制方程，损伤界面上的协调条件以及外部边界条件的实现 。研究了基于 梁理论的矩形截面碳纳米线的静力和自由振动分析，采用微分求积法（）求解控制方程 。人们对 梁的力学特征进行研究时，主要研究了它处于自由振动 的力学情况，但处于受迫振动条件下的 梁的研究工作做得还不是很多。是一个强有力的求解科学与工程中出现的偏微分方程数值解的离散化方法，他们解决了具有不同边界条件的梁和矩形板的弯曲和振动问题 。真空耙式干燥机搅拌轴承受着复杂激励，本文将周期激励引入到干燥机搅拌系统中，把搅拌轴简化地看作简支梁，在两端为简支的条件下，
5、研究搅拌轴受到周期激励时的疲劳断裂问题。首先运用 梁弯曲理论 推导出梁的含有边界条件的控制方程，运用微分求积法求出搅拌轴的挠度矩阵，给出搅拌轴中点挠度随轴长度，半径，密度，弹性模量的变化关系。真空耙式干燥机搅拌轴振动模型本文把真空耙式干燥机搅拌轴简化为一个简支梁模型，长度为 ，两端受到轴径向力 ，受到由一系列叠加的简谐载荷（）（）（）构成的随时间和轴向位置变化的周期激励 （，），搅拌轴微段受力与变形如图 所示，考虑梁的剪切耦合弯曲，应用修正 梁理论的平衡方程，得到搅拌轴挠度控制微分方程。E YE W(x,t)7(x,t)+.(x,t)+E YE Y7(x,t)x7(x,t)x.(x,t)7(x
6、,t)QZ(x,t)G(x,t)xy图 搅拌轴微受力与变形 图中 ：梁微段的长度；：梁微段的挠度；：梁上的内力剪力；：梁上的内力弯矩；：剪切模量；：弹性模量；：截面转角，由于梁微段的弯曲变形产生的转角；：剪切转角，由于梁微段的剪切变形产生的转角；：梁中性轴的转角；（，）：梁上的分布荷载；：搅拌轴横截面积；：截面惯性矩；：剪切修正因子。（）假设梁微段产生小变形，根据竖向力平衡，给出剪力平衡方程 （，）（，）（，）（）弯矩平衡方程 （，）（，）（）剪切物理方程 ()（）弯曲物理方程 （）将（）（）分带入（）（）得，（）（，）（）化简整理消去 得：（，）（，）（，）（，）（）（，）（）（）（）（）（
7、）将真空耙式干燥机搅拌轴的挠度控制方程中的自变量离散区间无量纲化为 ，得到搅拌轴挠度控制方程无量纲化形式为：（，）（，）（，）（，）（）微分求积法微分求积法（）是 等提出的一类微分方程数值求解的新方法 。微分求积法因其原理简单，计算量小但计算精度较高而备受学者关注，被广泛应用在结构力学等领域 。微分求积法的原理是将函数在各节点处的导数值近似为全域上离散化的所有点上的函数值的加权和 。采用微分求积法离散空间变量和时间变量的导数，假设挠度函数 （）在区间，和，上是足够光滑的，代表不同的节点，（）（）假设这些点上的函数值为：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）根据 ，每个节点上的导数由以下
8、给出 ：太原科技大学学报 年（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（）（，）（）这里采用微分求积法分别对时间域和空间域进行离散 ，系数（），（）分别是关于 的四阶和二阶加权系数，（）是 的二阶加权系数 。（），（）（）（），（），（）（）（）（）（），（）（），（），（）因此得出（）（）（）（），（）（），（），（）（）（）（）（），（）（），（），（）同样可以利用高阶加权系数得到高阶导数公式，用（）表示，在空间域上，它们的特征是归纳为：（）（）（）（），（）（），（），（）影响微分求积法求解精度的关键因素之一是网格点的选择 。一般采用切比雪夫多项式在 ，区间的零点作为网格点 。本
9、文采用非均匀间隔的 网格点，由以下方程给出：（）()()（）（）()()（）因此运用微分求积法离散搅拌轴挠度控制方程得到：（）（，）()（）（，）（）（）（，）（）（）可将挠度方程表示为矩阵形式：（）其中 为方程的系数矩阵，为挠度矩阵，随时间和搅拌轴轴向位置变化的外部周期载荷。（）（）（）（）是运用傅里叶变换表示为若干个正弦型简谐激励的叠加的情形，许多工程问题皆采用此类的外部周期激励。把真空耙式干燥机搅拌轴看作简支梁计算，任一时间点在两个支撑点 和 处梁的横向位移和所受的弯矩为零，即：（，）（，）（）这里运用节点替代法解决只含有两个边界条件的振动微分方程，利用与搅拌轴两端相隔一个步长的点来代替
10、边界条件 ，即式（）中（，）的方程，得到 个线性方程，运用 编程，求出线性方程组的数值解，即挠度矩阵。算例分析根据实验研究，令在搅拌工况下的真空耙式干燥机搅拌轴长度 ，轴直径 ，搅拌轴材料一般选用碳钢，令轴密度 ，弹性模量 ，搅拌轴转速为 ，依据流体力学知识，对搅拌轴的受力分析计算，令搅拌叶片对搅拌轴的径向力 ，（）（）（）求出搅拌轴在此外部激励下外部载荷为 ，随搅拌轴轴向位置及一个周期时间变化的挠度。图 给出第 卷第 期李祥宇，等：基于 的耙式干燥机搅拌轴动力响应分析了搅拌工况下搅拌轴挠度控制方程的解，其中 轴为搅拌时间与周期之比，轴为搅拌轴的轴向位置与搅拌轴长度之比，轴为搅拌轴挠度。由图
11、可以得出，搅拌轴挠度最大值发生在搅拌轴轴向位置与搅拌轴长度之比为 ，即最大变形的位置在搅拌轴的中点，一个周期内发生最大变形的时间是在搅拌时间与周期之比为 ，即搅拌轴发生最大变形的时刻为 周期 搅拌轴在工况下受到物料的流体阻力，自身重力和轴旋转产生的离心力等作用，因此承受较大的弯曲载荷，容易产生疲劳破坏。由于最大变形的位置在搅拌轴的中点，搅拌轴中点挠度随轴材料参数、轴长度、轴半径、轴弹性模量、轴密度的变化而变化。N 9 -U f 图 搅拌轴挠度 令搅拌工况下的搅拌轴直径 ，轴长度 轴弹性模量，轴密度 ，轴径向力从 增加到 时，图 表明在搅拌轴中点挠度随轴径向力是成比例增大的，周期时刻，随着轴径向
12、力的增加搅拌轴中点挠度增大得较快。2 /X Nf U 5U 5U 5图 搅拌轴中点挠度随轴径向力的变化关系 令搅拌工况下的轴直径 ，轴弹性模量 ，轴密度 ，轴径向力 ，轴长 从 增大到 时，图表明当在 周期时刻，轴长为 搅拌轴中点挠度出现最大值；在 周期时刻，轴长为 搅拌轴中点挠度出现最大值；在 周期时刻，轴长大于 时搅拌轴中点挠度出现开始出现较大值；图 表明其余长度位置挠度平稳波动。搅拌轴其他参数不变时，搅拌轴中点挠度最大值出现在轴长度较大的位置。-N X NU 5U 5U 5图 搅拌轴中点挠度随轴长度的变化关系 令搅拌工况下的搅拌轴长度 ，轴径向力为 ，轴密度为 ，弹性模量为 ，轴直径从
13、增大到 ，图 表明在 周期，周期，周期，在轴半径较小时，搅拌轴中点挠度值较大，并且波动较大，随着轴半径越大，搅拌轴中点挠度而后平稳波动，最终趋向于%N X Nf U 5U 5U 5图 搅拌轴中点挠度随轴半径的变化关系 太原科技大学学报 年令搅拌工况下的搅拌轴长度 ，轴径向力为 ，轴直径 ，弹性模量为 ，轴密度从 增大到 ，图 表明在轴密度在（）这个小范围内搅拌轴中点挠度容易出现较大值。令搅拌工况下的搅拌轴长度 ，轴径向力 ，轴直径为 ，轴密度 ，轴弹性模量从 增大到 ，图 表明在 周期，轴弹性模量在（）的范围时，搅拌轴中点挠度值出现较大波动，其余位置平稳波动。X N(L H N)f U 5U
14、5U 5图 搅拌轴中点挠度随轴密度的变化关系&1 B X NU 5U 5U 5f 图 搅拌轴中点挠度随轴弹性模量的变化关系 结论本文采用微分求积法离散周期激励下的真空耙式干燥机搅拌轴的挠度控制方程，因为搅拌轴中点位置发生的弯曲变形最大，研究分析了工况条件下，搅拌轴中点挠度随轴半径、轴长度、轴密度、轴弹性模量的变化关系，得出以下结论：在轴半径较小时，搅拌轴中点挠度值较大，并且波动较大，随着轴半径越大，搅拌轴中点挠度而后平稳波动，最终趋向于 ；搅拌轴其他参数不变时，搅拌轴中点挠度最大值出现在轴长度较大的位置；轴密度值在（）的小范围时，搅拌轴中点挠度容易出现较大值；在轴弹性模量为（）的范围时，搅拌轴
15、中点挠度值出现较大波动，其余位置平稳波动。本文对周期激励条件下真空耙式干燥机搅拌轴进行振动响应分析，采用微分求积法研究不同轴材料参数和几何特性对搅拌轴中点挠度的影响，从而优化搅拌轴参数，使其满足实际工程中搅拌轴的设计需要，提高干燥效率，降低生产和工作成本。参考文献：李永维，秦艳军 搅拌轴强度计算 机电信息，：，：陈姗，琚宏昌 简谐荷载作用下粘弹性梁振动的非线性动力学模型及其简化 广西科技大学报，（）：，（）：，（）：卫军，杜永潇 基于固有频率的梁结构疲劳损伤演化规律 中南大学学报：自然科学版，（）：第 卷第 期李祥宇，等：基于 的耙式干燥机搅拌轴动力响应分析 ，（）：杨骁，钱程，钱雪薇 任意阶梯型截面 梁的弯曲 上海大学学报：自然科学版，（）：夏呈 修正铁摩辛柯梁受迫振动响应分析及其应用 南京：东南大学，汪芳宗，王永，杨萌 基于微分求积法的边界值方法 计算力学学报，（）：，：，：，：陈廷兵，彭建设，林凡 解黏弹性地基梁受迫振动的时域 法 成都大学学报：自然科学，（）：，（）：，：，（）：王永亮 微分求积法和微分求积单元法 原理与应用 南京：南京航空航天大学，董贺威，丁洁玉，潘坤，等 多体系统动力学非线性常微分方程微分求积法 青岛大学学报：自然科学版，（）：，（，）：，：，太原科技大学学报 年
