1、换元探究指对数复合函数含参恒成立问题纪明亮(江苏省南京市板桥中学 2 1 0 0 3 9)【摘要】本文从换元角度探究指对数复合函数不等式恒成立问题,先将问题中变量部分变形,使含变量的部分具有相同的结构形式,并作为整体进行换元,简化函数不等式,再构造关于所换元的函数求其最值确定参数范围.【关键词】指对数复合函数;恒成立;换元;最值换元法是高中数学中的重要思想方法,其内.涵是引入新的变量代替原来的某些变量,巧妙设元将问题简化.指对数复合函数含参恒成立问题中函数形式复杂,若其中变量可通过变形化为结构相同,是否能将其看作整体进行换元简化函数形式?换元之后再如何求解?下面具体实例展开探究.1 换元构造函
2、数例1 已知函数f(x)=a xl nx-xex+a x2+x.若x(0,+),f(x)0恒成立,求实数a 的值.解 因为x(0,+),f(x)=a x2-x2ex+x+a xl nx0恒成立,所以x(0,+),xex-a x-1-al nx0恒成立,则x(0,+),ex+l nx-a(x+l nx)-10恒成立.设t=x+l nx,x(0,+),则t R,则tR,et-a t-10恒成立.设g(t)=et-a t-1,t R,则g(t)m i n0.因为g(t)=et-a,所以,当a0时,g(t)=et-a0,则g(t)在R上单调递增,则g(-1)=1e+a-10时,令g(t)=et-a0,
3、则tl na,令g(t)=et-a0,则t0,得0a1,令h(a)1,则h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,则h(a)m a x=h(1)=0,故h(a)0时,a=1.评注 利用关系式x=el nx使xex-a x-1-al nx0中xex=el nxex=ex+l nx,得ex+l nx-a(x+l nx)-10,再设t=x+l nx进行换元,构造函数g(t)求其最值.需要注意的是换元之后函数不等式中变量应只有t,且要求出所换元t的范围,它是g(t)的定义域,这样函数g(t)才构造完成,再借助形式简单的函数g(t)来解决恒成立问题.变式1 已知函数f(x)=x(x1x-1
4、)-al nx,x(0,+),f(x)0恒成立,求实数a的值.解 因为x(0,+),f(x)=x(x1x-1)-al nx0恒成立,所以x(0,+),el nxx-al nxx-10恒成立.设t=l nxx,x(0,+),则t=1-l nxx2,112 0 2 3年9月上基础精讲 数理天地 高中版令t 0,得0 xe,t e,则t=xl nx在(0,e)递单调递增,在(e,+)上单调递减,则x=e时取最大值tm a x=1e,则t-,1e .设g(t)=et-a t-1,t-,1e ,则g(t)m i n0.当a0时,g(-1)=1e+a-10,不符合题意.当0ae1e时,令g(t)=et-a
5、0,得t0,得0a1,令h(a)0,得1 e1e时,则g(t)=et-a 0在-,1e 上恒成立,则g(t)在-,1e 上单调递减,则g(t)m i n=g1e 0,得x1,令t 0,得0 x1,则t=exx在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,则t=exx在x=1时取最小值e,则te,+).21 数理天地 高中版基础精讲2 0 2 3年9月上设g(t)=-tl nt,te,则ag(t)m a x.因为g(t)=-l nt-1-20,则t=x+l nx在(0,+)上单调递增,tR.设g(t)=et-t+2,tR,则ah(t)m i n.g(t)=et-1,令g(t)0,得t0,令g(
6、t)0,得t0,分离参数并构造函数g(t)求其最值.3 结语指对数复合函数含参不等式f(x)0(0)恒成立,其中f(x)含有ex和l nx项,先利用关系式x=el nx(x0)和x=l n ex对函数不等式中变量的部分进行变形.若变量能转化相同组合形式,则将其看作整体,设为变量t,并求出变量t的范围.第一类问题是换元构造函数g(t),使f(x)=g(t(x),则f(x)0(0)恒成立可转化为g(t)0(0)恒成立,则g(t)m i n0(g(t)m a x0),得到h(a)0(h(a)0)确定a的范围.第二类问题是换元分离参数再构造函数g(t),使f(x)0(0)恒成立ag(t)(g(t)恒成立,则ag(t)m a x(g(t)m i n).整个换元过程中是将ex和l nx项分配到函数t(x)和g(t)中进行分步处理,起到了降阶的作用,降低了问题难度.312 0 2 3年9月上基础精讲 数理天地 高中版
