1、文章编号：0258-2724(2023)04-0836-09DOI:10.3969/j.issn.0258-2724.20210941磁力应用装备与智能控制基于干扰观测器的磁悬浮球系统全局快速终端滑模控制魏静波，罗浩，关子津（中山大学航空航天学院，广东深圳518000）摘要：为解决磁悬浮球系统模型不确定性和易受外部干扰影响的问题，提出一种基于终端滑模干扰观测器的全局快速终端滑模控制（GFTSMC）方法.首先，分析了磁悬浮球系统的数学模型并建立动态方程；然后，设计终端滑模干扰观测器（TSMDO），用以观测和估计系统所受到的扰动，经证明，该观测器对扰动的估计误差能在有限时间内收敛；其次，为克服系统
2、不确定性和外部干扰的影响，设计了基于终端滑模干扰观测器的全局快速终端滑模控制器，可以实现系统的全局快速收敛，所设计的控制律不含切换项，能削弱抖振，以提高系统的抗干扰性和鲁棒性；最后，对所提出的 TSMDO-GFTSMC 进行了仿真验证，结果表明：与基于扩张状态观测器的连续滑模控制方法相比，采用本文方法，磁悬浮小球的起浮响应时间缩短 0.38s，位移偏差减小 90%，跟踪误差由 0.420mm 减小为 0.032mm；本文方法提高了对干扰的观测精度，优化了磁悬浮球系统的控制效果，增强了系统的鲁棒性.关键词：磁悬浮球系统；全局快速终端滑模控制；干扰观测器；抗干扰性；鲁棒性中图分类号：TP27文献标
3、志码：AGlobal Fast Terminal Sliding Mode Control forMaglev Ball System Based on Disturbance ObserverWEI Jingbo,LUO Hao,GUAN Zijin(SchoolofAeronauticsandAstronautics,SunYat-SenUniversity,Shenzhen518000,China)Abstract:Inordertosolvemodeluncertaintyandsusceptibilitytoexternaldisturbancesofthemaglevballsys
4、tem,a global fast terminal sliding mode control(GFTSMC)method based on a terminal sliding modedisturbanceobserver(TSMDO)wasproposed.Firstly,themathematicalmodelofthemaglevballsystemwasanalyzed,anditsdynamicequationwasestablished.Then,aTSMDOwasdesignedtoobserveandestimatesystemdisturbances.Itwasprove
5、nthattheestimateddisturbanceerroroftheobserverconvergedinfinitetime.Secondly,in order to overcome the influence of system uncertainty and external disturbance,a global fastterminal sliding-mode controller(GFTSMC)based on a TSMDO was developed to realize the global fastconvergence.Thedesignedcontroll
6、awdidnotincludeswitchingterms,whichcouldweakenthechatteringandimprovetheanti-disturbanceandrobustnessofthesystem.Finally,theeffectivenessoftheproposedTSMDO-GFTSMCwasverifiedbysimulation.Theresultsshowthatcomparedwiththecontinuousslidingmodecontrolmethodbasedontheextendedstateobserver,theresponsetime
7、ofthemaglevballfloatingisshortenedby0.38s,andthedisplacementdeviationisreducedby90%.Thetrackingerrorisreducedfrom0.420mmto0.032mm.Theproposedmethodimprovestheobservationaccuracyagainstdisturbance,optimizesthecontroleffectofthemaglevballsystem,andenhancestherobustnessofthesystem.Key words:maglevballs
8、ystem;globalfastterminalslidingmodecontrol;disturbanceobserver;anti-disturbanceperformance;robustness收稿日期：2021-11-23修回日期：2022-04-12网络首发日期：2022-04-22基金项目：装备预研领域基金重点项目（61407210206）第一作者：魏静波（1986），男，副教授，研究方向为磁悬浮技术及航天器动力学与控制，E-mail：引文格式：魏静波，罗浩，关子津.基于干扰观测器的磁悬浮球系统全局快速终端滑模控制J.西南交通大学学报，2023，58(4)：836-844WEI
9、Jingbo,LUO Hao,GUAN Zijin.Global fast terminal sliding mode control for maglev ball system based on disturbanceobserverJ.JournalofSouthwestJiaotongUniversity,2023，58(4)：836-844第58卷第4期西南交通大学学报Vol.58No.42023年8月JOURNALOFSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITYAug.2023由于磁悬浮技术具有无接触、无摩擦、使用寿命长等优点，已被广泛应用在各个领域，如磁悬浮列车1、磁悬
10、浮框架飞轮2、无轴承电机3等.但是由于磁悬浮系统是一个具有强非线性和开环不稳定的系统，如何对其进行有效控制成为磁悬浮技术应用中的关键和核心问题，许多专家学者对该问题进行了研究，提出了许多控制方法，如比例积分微分（PID）控制4、模糊控制5、神经网络控制6、鲁棒控制7、滑模控制8等，其中 PID控制方法应用广泛，但是其对非线性系统进行控制时效果变差，而神经网络控制、鲁棒控制能够较好地应对非线性时变特性，但是算法实现较为复杂.而在此研究过程中单自由度磁悬浮球系统作为一种结构简单、易于实现的磁悬浮系统，是各类控制方法实施和验证最常用的实验平台.与其他控制方法相比，滑模控制方法对干扰和其他未知因素的影
11、响具有很强的鲁棒性，在应对磁悬浮系统非线性特性方面可以起到较好的效果，同时其设计简单、响应快速，因此许多学者对该方法进行了深入研究.滑模控制的关键问题是滑模面的设计和抖振的抑制9，文献10设计了分数阶滑模控制器，通过设计分数阶滑模面和选择适当的分数阶微积分阶次，可以实现抖振的抑制，但响应时间较长；文献11中设计了连续滑模控制器，采用幂次趋近律构建滑模面，以避免控制器的不连续切换引起抖振，但是其稳态误差不可消除；文献12中设计了一种自适应非奇异终端滑模控制器，使得滑模面自适应变化，抑制抖振的同时，能够在有限时间内收敛，但其没有全局快速性.在实际应用中，磁悬浮系统容易受到外部干扰以及内部模型不确定
12、性的影响，进而使得针对理想模型设计的控制器对实际对象的控制性能下降.针对这一问题，可以引入观测器对系统干扰进行估计，然后对控制器进行主动补偿，在线抑制所受扰动，提高系统的抗干扰能力以及鲁棒性，实现对实际磁悬浮系统的精确控制13.本文针对磁悬浮球系统由于模型不确定性和外部干扰所导致的控制性能下降的问题，提出基于干扰观测器的全局快速终端滑模控制方法.利用终端滑模干扰观测器实现对干扰的在线快速观测和估计，同时利用双曲正切函数替换观测器中的符号函数，削弱抖振，然后在观测器的基础上设计全局快速终端滑模控制器，结合线性滑模和非奇异终端滑模的优点，实现了系统收敛的全局快速性，同时控制律中不含切换项，消除了抖
13、振，提高了系统的有效性和鲁棒性.同时对所设计方法的稳定性进行了证明，推导了收敛时间，最后通过仿真验证了所提出滑模控制方法的有效性.1 磁悬浮球控制系统数学模型F(,i)U图 1 为磁悬浮球系统的原理图，图中：为小球顶部与电磁铁底部的距离；i 为励磁线圈中的电流；为小球受到的电磁力；为功率放大器的输入电压；m 为小球的质量.该系统由被悬浮小球、位移传感器、电磁铁、功率放大器和控制器组成.位移传感器给出悬浮物体的位置，控制器由参考位置与小球实际位置确定控制 PWM(pulsewidthmodulation)信号，功率放大器放大和转换控制信号为控制电流，该电流控制磁场强度大小，进而控制电磁力使小球悬
14、浮在参考位置.光源微控制器控制器(计算机)功率放大器位移传感器小球UPWMD/A转换与I/O 接口iF(,i)mg图1磁悬浮球系统结构Fig.1Structureofmaglevballsystem由于磁悬浮系统本身的非线性特性使得很难对其建立一个精确的物理模型.为了建立磁悬浮球系统的动力学方程，作出如下假设：1）电磁铁和小球之间是理想磁场，均匀分布.2）忽略电磁铁和小球之间的磁阻以及线圈绕组之间的漏磁.3）忽略磁饱和与涡流效应.4）忽略功率放大器的滞后效应.根据牛顿第二定律、毕奥-萨伐尔定律、虚功原理和基尔霍夫定律得到磁悬浮球系统的运动方程并在平衡点附近进行线性化，得到md2(t)dt2=m
15、gF(,i),F(,i)=mg+K(2i3030)K(2i020)i,K=0SN24,U(t)=Ri(t)+Ldi(t)dt,（1）K式中：为电磁线圈的互感；t 为时间；其余相关参数详见表 1.第4期魏静波，等：基于干扰观测器的磁悬浮球系统全局快速终端滑模控制837表 1 磁悬浮球系统相关参数Tab.1Relevantparametersofmaglevballsystem参数符号数值小球质量m/g170小球半径r/m0.03线圈电感L/mH46.7线圈电阻R/13.577线圈匝数N/匝1057平衡位置0/m0.0425平衡位置电流i0/A0.633真空磁导率0/(Hm1)4107磁导截面积S
16、/m29104u=ix1=,x2=取控制量，状态量，考虑磁悬浮球系统可能受到的干扰，则式（1）磁悬浮球运动方程可化为 x1=x2,x2=ax1+bu+f(x1,x2,u)+d0,y=x1,（2）a、bf(x1,x2,u)d0y式中：为可调参数，如式（3）；为由于模型不确定性引起的内部扰动；为由于外部因素引起的外部扰动；为系统输出量，表示小球实际位置.a=Km2i2030,b=Km2i020.（3）d=f(x1,x2,u)+d0Dmax|d|D令表示系统所受到的复合扰动项，在实际应用中能够确定其上界，即，则根据式（2）与式（3），磁悬浮球系统可表示为 x1=x2,x2=ax1+bu+d,y=x1
17、.（4）d由于控制器都是基于理想磁悬浮球系统的模型建立的，在实际控制中，复合扰动项的存在对磁悬浮球系统的控制性能产生很大影响，导致控制性能下降甚至系统失稳.针对该问题，设计能够抑制复合扰动的控制器具有实际意义.2 干扰观测器设计 2.1 扩张观测器设计对于式（4）所表示的系统，扩张观测器（ESO）可以设计为 x1=x21(x1x1),x2=ax1+bu+d2(x1x1),d=3(x1x1),（5）x1、x2、dj 0(j=1,2,3)式中：分别为对 x1、x2、d 的估计值；为观测器的增益系数.对于设计好的观测器，可以通过式（5）中第三式实现对干扰的观测与估计.x1=x1x1,x2=x2x2，
18、d=dd定义观测器对 x1、x2、d 的观测误差为，则误差系统的状态方程可表示为 x1=x21 x1,x2=d2 x1,d=d3 x1.（6）将式（6）表示为矩阵形式，如式（7）.e=Ae+Bd,（7）A=110201300；B=001；e=x1 x2d.式中：则该误差系统的特征方程为det(I A)=(+1)2+3+2=0,（8）也即p()=3+12+2+3=0,（9）I式中：为误差系统的特征值；为三阶单位矩阵.1、2、3要使误差系统稳定，应该选择使得式（9）为 Hurwitz 多项式，也即误差系统（式（7）的特征值全部分布在复平面的左半平面.1、2、3由式（6）可知，观测器使用高增益系数使
19、得观测器快速调节，可以保证观测误差的快速收敛和足够高的观测精度，但是如果参数选取不当，可能会因为状态变量的初始观测值与实际值偏差过大而导致初始微分峰值现象14，进而影响观测器的收敛效果，同时过高的观测器增益使得其对系统所受扰动敏感，影响观测性能.2.2 终端滑模干扰观测器设计由于滑模控制理论对于模型参数变化和外部干扰有较强鲁棒性，因此将滑模控制理论引入观测器设计，提出滑模干扰观测器15.同时对于传统观测器高增益误差反馈系数导致可能出现微分峰值现象以及收敛效果差的问题，设计终端滑模干扰观测器（TSMDO），在对扰动进行高精度观测估计的同时，使得扰动观测误差能够在有限时间内收敛.为了设计能够在有限
20、时间内收敛的滑模干扰观838西南交通大学学报第58卷测器，引入辅助变量：s0=zx2,（10）z式中：由式（11）积分得出.z=k0s0tanhs0sp0/q00|ax1|tanhs0+bu,（11）k0、s0tanhs0sp0/q00k0、1、0p0、q0p0 D 0式中：分别为一次项、双曲正切函数项、高次项的系数；为切换项中双曲正切函数的可调因子，且；为正奇数，且，.sgn(s0)传统滑模观测器设计中一般采用符号函数作为鲁棒切换函数，其表示为sgn(s0)=1,s0 0,0,s0=0,1,s0 0p0+q0由于且为偶数，由式（18）可得V0 0，则带有该观测器的磁悬浮球系统具有 Lyapu
21、-nov 稳定性.s0(0),0s0(tos)=0tostos设从状态到平衡状态的收敛时间为，则由文献16可知，可表示为tosq0k0(q0 p0)lnk0|s0(0)|(q0p0)/q0+.（19）t tos s0=0d=0tosk0、p0、q0、当时，系统收敛到平衡状态下，则由式（16）可得此时，也即在式（14）的干扰观测器下，观测误差能在有限时间内收敛，收敛时间可通过进行调节.3 滑模控制器设计 3.1 采用幂次趋近律的连续滑模控制器设计xr磁悬浮球控制系统的控制目标是使得小球稳定悬浮在参考位置，使用滑模控制器可以达成该控制目标，同时为了削弱抖振，可以采用幂次趋近律设计连续滑模控制器（C
22、SMC）.定义位置误差和速度误差分别为e1=x1xr,e2=x2 xr.（20）设计线性滑模面为s=ce1+e2,（21）式中：c 为控制器参数.设计滑模趋近律为 s=k|s|sgn(s),（22）k D 0式中：k、为控制器参数，.基于幂次趋近律设计控制律为u=b1(k|s|sgn(s)xr+ce2+ax1+d).（23）V1=12s2构造 Lyapunov 函数验证系统稳定性，对其求导，可得V1=s s=s(ce2+ax1+bu+d xr)=s(k|s|asgn(s)+dd)k|s|+1+|sd|=k|s|+1+|s|d|=|s|(k|s|d|).（24）Ddmax|d|D|s|(D/k)
23、1V1 0VV 12(D/k)2a|s|(D/k)1a|s|(D/k)1aD D定义为复合扰动估计误差的界，即，则当时，单调递减到中.则由式（24）可得系统的最终误差界为，相较于不加干扰观测器时，采用幂次趋近率控制器产生的误差界17，由于，则可知，在基于式（23）表示的基于干扰观测器控第4期魏静波，等：基于干扰观测器的磁悬浮球系统全局快速终端滑模控制839制器作用下，系统的稳态误差明显减小，对于扰动作用具有更强鲁棒性.采用幂次趋近律的连续滑模控制方法本质上是二阶滑模18，由于控制律中不含切换项，因此该控制器是连续滑模控制器，能够有效抑制趋近过程中的抖振.3.2 全局快速终端滑模控制器设计为使得
24、系统在有限时间内稳定，同时具有全局的快速收敛性质，提高系统鲁棒性和稳定性，结合线性滑模控制在平衡点附近收敛快与非奇异滑模控制有限时间收敛的特性，设计基于终端滑模干扰观测器的全局快速终端滑模控制器（GFTSMC）.全局快速终端滑模控制器的滑模切换面设计为s1=x1xr,s2=s1+1s1+1sp1/q11+s0,（25）1、1p1、q1p1 q1s0式中：为正常数；为正奇数，且；由式（10）和式（11）确定.设计全局快速终端滑模控制律为u=b1(ax1 xr+1 s1+1ddtsp1/q11+d+s2+sp2/q22),（26）、p2、q2p2 q2式中：为正常数；为正奇数，且.通过分析式（26
25、）可以发现，全局快速终端滑模控制律中不包含切换项，因此控制作用连续，能够削弱常规滑模控制因控制律不连续引起的抖振问题.V2=12s22构造 Lyapunov 函数验证系统稳定性，对其求导，可得V2=s2 s2=s2(s1+1 s1+1ddtsp1/q11+s0)=s2(x2 xr+1 s1+1ddtsp1/q11+s0)=s2(ax1+bu+d xr+1 s1+1ddtsp1/q11+s0).（27）将式（16）与式（26）代入式（27），可得V2=s2(s2sp2/q22d+d s0)=s2(s2sp2/q22d+dd)=s22s(p2+q2)/q22=2V22(p2+q2)/2q2V(p2
26、+q2)/2q22 0.（28）由式（28）可知，所设计的全局快速终端滑模控制器满足可达性与稳定性条件，该控制器作用下的系统具有渐进稳定性.s2(0),0t1s2(t1)=0S2s2=s0=0s1(t1),0s1(t1+t2)=0t2ts当系统从初始状态经过时间收敛到，系统在滑模面上运动，若此过程中滑模干扰观测器的观测误差已经收敛，则，然后由式（25）可得系统从收敛到平衡状态的时间，则系统稳定的总时间为ts=t1+t2=q2(q2 p2)ln|s2(0)|(q2p2)/q2+q11(q1 p1)ln1|s1(t1)|(q1p1)/q1+11.（29）t tss1=s1=0当时，此时系统收敛到平
27、衡状态，小球实现对参考信号的零误差跟踪.因此所设计的控制方法下，磁悬浮球系统能在有限时间内收敛，同时具有全局的快速收敛性质.4 仿真及结果分析a=61,b=0.3在MATLAB/Simulink 仿真平台上建立如图2 所示的磁悬浮球控制模型对所提出的 TSMDO-GFTSMC进行仿真验证，由表 1 和式（2）、（3）可以得到磁悬浮球系统参数.xrxrddtd2dt2s1s0s0 x1x1ds1+滑模面辅助函数s0磁悬浮球系统位移传感器干扰观测器GFTSMCud0f(x1,x2,u)TSMDO图2基于 TSMDO-GFTSMC 的磁悬浮球控制模型Fig.2Maglevballcontrolmod
28、elbasedonTSMDO-GFTSMC通过与文献11中基于扩张状态观测器的连续滑模控制方法（ESO-CSMC）进行仿真对比实验，分析验证所提方法对于磁悬浮球系统的控制性能.1=1 000,2=330 000,3=31 250 000c=16,k=4,=0.75对照的 ESO-CSMC 中扩张观测器的参数取为，控制器参数取为.k0、p0、q0k0、p0、q0k0s0sp0/q00k0k0、本文所提方法的 TSMDO 中主要包含参数，其中决定干扰观测器的收敛时间.是干扰观测器中一次项的系数，表征在离平衡状态较远时起主要作用的线性收敛速度；而高次项表征在离平衡状态较近时起主要作用的指数收敛速度，
29、因此系数与是决定干扰观测误差收敛时间的主要因素，由式（19）可得：840西南交通大学学报第58卷k0=100s=0.5p0、q0sp0/q00p0、q0p0 D 0D=2=0.005增大，收敛时间减小，但是参数过大可能导致出现干扰观测结果的抖振，因此取、；是高次项指数中的参数，其对收敛时间的影响较为复杂，根据其限制条件为正奇数，且，在仿真调试的基础上取，；是双曲正切函数项相关参数，应当满足，其中是系统干扰量最大值的绝对值，表征对系统干扰的补偿，过大会导致补偿过度而难以稳定收敛，则表征滑模面附近削弱抖振过渡层的大小，值越小则双曲正切函数越接近于符号函数，因此取，.1、1、p1、q1、p2、q2t
30、1t21、1、p1、q1t1、p2、q2t2k0、p0、q0tosk0、p0、q0s2(t1)=0t1 tos1=500,1=60p1=5,q1=7 =10,=0.8p2=5,q2=7所设计的GFTSMC 中主要包含参数有和，其分别决定式（29）中的和，共同决定控制系统状态总的收敛时间.对比式（19）与式（29）可知，对，对与对影响效果相同，可以按 TSMDO 参数的设计原则进行取值.式（29）的前提条件为在系统状态收敛到之前干扰观测器的观测误差已经收敛，也即应当保证.由此经过仿真调试取控制器参数,，.4.1 理想条件下起浮性能x1=0、x2=0 x1=0.042 5、x2=0设初始状态为，系
31、统达到平衡时状态为.此时暂时不考虑外部干扰以及模型内部扰动，得到在理想条件下磁悬浮小球起浮响应轨迹，如图 3 所示.00.20.40.60.81.01.2051015202530354045参考信号ESO-CSMCTSMDO-GFTSMC0.800.850.900.951.0042.4542.542.550.30.40.50.60.742.4542.5042.55时间/s小球位置/mm图3小球在理想条件下起浮响应轨迹Fig.3Responsetrajectoryofballfloatingunderidealconditions对比图3 中仿真结果可知，ESO-CSMC 和TSMDO-GFTS
32、MC 均能使磁悬浮球系统从零位置状态开始快速实现在平衡位置稳定悬浮，响应过程无超调，控制系统稳定.以0.1%误差带作为判定系统稳定的标准，则小球系统分别在 t=0.87s 与 t=0.49s 时收敛至稳定状态.由以上分析可得，相较于 ESO-CSMC，本文所提控制方法下磁悬浮球系统在理想条件时能在更短时间内收敛至平衡位置，系统的起浮动态性能更好.4.2 抗扰动性能磁悬浮球系统收到的扰动一般可以分为外部干扰和内部干扰，下文通过对磁悬浮球系统施加不同扰动项以验证本文所提控制方法的抗扰动性能.d0d0=5us(t1.5)us(t1.5)不考虑内部干扰，1.5s 时在磁悬浮球系统上加入额外负载 0.8
33、5N（小球所受重力约 1.7N），为额外负载除以小球质量，也即，为阶跃函数.在该干扰下小球响应轨迹如图 4所示.00.51.01.52.02.53.0051015202530354045参考信号ESO-CSMCTSMDO-GFTSMC1.51.61.71.81.92.042.543.043.544.00.04 mm1.56 mm时间/s小球位置/mm图4外部负载扰动下磁悬浮小球响应轨迹Fig.4Responsetrajectoryofmaglevballunderexternalloaddisturbanceda=0.5asin 5tbb=0.5bus(t3)f(x1,x2,u)=0.5asi
34、n(5t)x1+0.5bus(t3)u不考虑外部干扰，对模型参数加正弦扰动，同时在 3s 时对模型参数施加阶跃信号扰动，此时根据式（4）可以将系统受到的内部干扰项表示为.在该内部干扰下，小球响应轨迹如图 5 所示.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0051015202530354045参考信号ESO-CSMCTSMDO-GFTSMC1.01.52.02.542.242.442.642.82.93.03.13.23.33.442.042.242.442.60.450.240.24时间/s小球位置/mm图5内部参数扰动下磁悬浮小球响应轨迹Fig.5Res
35、ponsetrajectoryofmaglevballunderinternalparameterdisturbance第4期魏静波，等：基于干扰观测器的磁悬浮球系统全局快速终端滑模控制841d=d0+f(x1,x2,u)同时考虑内部和外部干扰，小球受到复合扰动为，小球控制效果如图 6 所示.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0051015202530354045参考信号ESO-CSMCTSMDO-GFTSMC1.41.51.61.71.81.942.543.043.544.044.53.03.13.23.33.43.53.641.542.042.5
36、1.73 mm0.94 mm0.07 mm0.07 mm时间/s小球位置/mm图6复合扰动下磁悬浮小球响应轨迹Fig.6Responsetrajectoryofmaglevballundercomplexdisturbance对比图 4 中仿真结果可知：在 1.5s 施加了额外负载之后，2 种控制方法均能有效抑制该外部干扰，重新达到平衡状态，在 ESO-CSMC 控制下，小球位置受到扰动后有较明显的波动，最大位置偏差为1.56mm，之后经过 0.5s 后回到平衡状态；而采用本文所提方法下，小球位置受相同扰动后最大位置偏差仅为 0.04mm，相比 ESO-CSMC 可以忽略不计，控制系统对外部干
37、扰有较好的鲁棒性.从图 5 可以看出：ESO-CSMC 对于该内部扰动难以抑制，系统在平衡状态附近抖动，抖动时位置偏差范围为0.24，0.24mm；而使用本文所提方法则磁悬浮小球偏离平衡位置最大值为 0.00025mm，相比 ESO-CSMC 可以忽略不计，抑制了内部干扰对系统的影响.a对比图 6 中仿真结果可知：系统在受到额外负载和模型参数的正弦扰动时，两种方法都会产生位置偏差，且偏差比单独一种干扰作用时要大；ESO-CSMC 方法下产生的最大偏差为 1.73mm，之后逐渐保持在平衡点周围0.24，0.24mm 范围内抖动；而 TSMDO-GFTSMC 最大偏差为 0.07mm，之后保持该偏
38、差稳定悬浮；在 3.0s 时再加参数 b 受阶跃干扰作用后，ESO-CSMC 产生最大0.94mm 偏差，而 TSMDO-GFTSMC 方法下小球回到平衡位置，这是由于对参数 b 的阶跃扰动导致控制输入作用下降，补偿了额外负载的影响.对比图 4、5、6 中仿真结果可知：ESO-CSMC 能够抑制突然施加的额外负载扰动影响，但是对于内部参数变化作用下扰动的抵抗能力较弱，内部参数扰动下系统在平衡位置附近抖动；而本文所提方法对于额外负载形式的外部干扰与模型参数变化的内部干扰抵抗能力强，产生位移偏差相较于ESO-CSMC减小 90%以上.4.3 观测器性能x1=0.042 5,x2=0设定系统初始状态
39、为，对磁悬浮球系统加入锯齿波负载干扰，观测磁悬浮小球对正弦位置参考信号的跟踪响应轨迹.通过仿真将得到 GFTSMC、ESO-CSMC、TSMDO-GFTSMC 控制下的磁悬浮球系统响应轨迹进行对比，验证分析所设计观测器对系统控制的影响，仿真得到磁悬浮小球响应轨迹如图 7 所示，观测器对干扰的估计值与观测误差如图 8 所示.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0101520253035404550参考信号DFSMCESO-CSMCTSMDO-GFTSMC4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0373839时间/s小球位置/mm图7外部负载扰动下磁悬
40、浮小球正弦响应轨迹Fig.7Sinusoidalresponsetrajectoryofmaglevballunderexternalloaddisturbance从图 7 中可以看出：ESO-CSMC 控制下由于ESO 在初始时刻发生了微分峰值现象，小球位置观测误差产生了较大的超调，而 GFTSMC、TSMDO-GFTSMC 控制下小球位置不发生初始微分峰值现象，从初始时刻开始就实现参考信号稳定跟踪；而不考虑初始峰值的情况下，在 0.6s 后，GFTSMC、ESO-CSMC、TSMDO-GFTSMC3 种方法均能实现对正弦信号的跟踪，小球实际位置与参考信号之间的偏差范围分别为1.010、0.
41、420mm 与 0.032mm，因此采用 TSMDO 能够明显降低系统对变化参考信号的跟踪误差，同时使用 TSMDO-GFTSMC 方法能够有效提高磁悬浮球系统的控制性能.从图 8 可以看出：忽略初始微分峰值现象后，在锯齿波干扰作用下，ESO 与 TSMDO 都能对干扰进行准确估计；在干扰信号发生不连续突变时，ESO 干扰估计误差收敛时间为 0.031s，估计误差最大为 0.02N；而 TSMDO 干扰估计误差收敛时间为0.02s，估计误差最大为 0.01N.因此相比于常规干扰观测器，TSMDO 具有更好的干扰观测性能，能够842西南交通大学学报第58卷实现快速精确跟踪干扰信号进而使得控制器对
42、干扰进行补偿.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.050050100150200实际负载干扰ESO 观测值TSMDO 观测值00.51.01.500.51.00.500.550.6000.10.20.900.951.000.70.8时间/s锯齿波负载/N锯齿波负载观测误差/N(a)观测器对负载扰动的估计值(b)观测器对负载扰动的估计误差00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.050050100150200ESO 观测误差TSMDO 观测误差00.511.500.20.40.60.80.490.500.510.520
43、.5300.20.40.9951.0001.0051.0100.60.70.8时间/s图8锯齿波扰动下观测器对扰动的估计与观测误差Fig.8Estimatedandobserveddisturbanceerrorsofobserverundersawtoothwaves 5 结论1）为获得对磁悬浮球系统更好的控制性能，本文设计了基于终端滑模干扰观测器的全局快速终端滑模控制方法并进行仿真验证.2）干扰观测器采用双曲正切函数替换符号函数以消除抖振，利用 Lyapunov 函数证明了干扰观测误差能在有限时间收敛，实现对干扰的快速准确估计，并通过仿真验证了其相较于 ESO 干扰观测器具有更好的观测性能
44、，能够提高控制系统的抗干扰性能.3）控制器结合线性滑模控制与非奇异终端滑模控制的优点，使得系统收敛具有全局快速性，在有限时间内收敛至平衡状态，同时由于控制率中不含有切换项，因此削弱了抖振，提高了系统的鲁棒性.4）仿真结果证明，所提方法对于外部干扰与内部干扰具有较强鲁棒性，在系统突然受到额外载荷、模型参数变化的情况下依然能够保持稳定悬浮，且因干扰产生的位置偏差远小于 ESO-CSMC 方法下的位置偏差，有效提高了控制系统的鲁棒性和抗干扰性能，对于磁悬浮系统的进一步开发和研究有实际意义.参考文献：熊嘉阳，邓自刚.高速磁悬浮轨道交通研究进展J.交通运输工程学报，2021，21（1）：177-198.
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