1、收稿日期:2022-09-10基金项目:国家自然科学基金(72263019)资助项目作者简介:章溢(1985)，女，江西南昌人，讲师，博士，主要从事经济统计与保险精算研究 E-mail:153574268 qq com章溢 保费计算原理的比较及最优性分析 J 江西师范大学学报(自然科学版)，2023，47(1):15-24ZHANG Yi The comparison and optimality analysis of insurance premium calculation principles J Journal of Jiangxi Normal Univer-sity(Natura
2、l Science)，2023，47(1):15-24文章编号:1000-5862(2023)01-0015-10保费计算原理的比较及最优性分析章溢(江西师范大学财政金融学院，江西 南昌330022)摘要:该文先从保费计算原理的需要满足的性质出发，对非寿险精算的常用保费计算原理的理论和实际应用进行了分析和比较 然后，基于保费估计的标准差准则，对各种保费计算原理的最优性进行了分析最后，利用 Bootstrap 方法对丹麦火灾保险损失数据进行重抽样，根据重抽样的数据再次对保费计算原理的最优性进行了验证关键词:保费计算原理;风险度量;最优性;Bootstrap;Va中图分类号:O 211文献标志码:
3、ADOI:10 16357/j cnki issn1000-5862 2023 01 030引言保费计算原理是对给定风险保单在制定合适保费的过程中所遵循的原则 由于风险是随机变量，而随机变量与其分布函数是一一对应的，所以保费计算原理可以看成从非负随机变量或其分布函数的集合到非负实数集合的一个映射 在保险精算中，保费计算原理的制定与估计是精算师的重要任务之一从平衡原则来看，若保险公司将收取风险的数学期望值作为该风险的保费，则从长期来看，保险公司将不亏不赚，达到一种平衡 这种保费计算方法被称为净保费原理或纯保费原理 然而，考虑公司的运营成本、人力成本、安全性等因素，保险公司不可能仅仅收取净保费，否
4、则保险公司终将破产1 在净保费原理上，以风险的数学期望为基础，增加一定的安全附加保费，得到在寿险精算中常用的期望值保费原理2 然而，在保险的发展过程中，精算师发现，仅仅利用风险的数学期望制定保费是不合理的，在安全附加保费中应该更多地考虑风险的方差 因而提出方差保费原理、标准差保费原理、修正方差保费原理等 瑞士精算师 H Bhlmann3 指出:标准差原理是在财产保险与意外事故保险中使用最多的保费原理，而方差保费原理是学者们在原理上研究更多的一种保费原理 利用风险随机变量的指数矩可以构造更多的保费原理，如 Esscher 保费原理、指数保费原理、Kamps 保费原理等本文介绍了在非寿险中常用的保
5、费计算原理，并讨论了保费计算原理的性质，同时对各种保费原理的计算进行比较分析 最后，基于 Bootstrap 方法对保费计算原理的最优性进行了研究1保费计算原理的性质保单的保险费也被称为保费，即保险的价格，是投保人为了将自身的风险 X转化给保险公司而缴纳的费用 由于风险是非负随机变量，所以保费计算原理是风险的集合到非负实数的一个映射定义 1设(，P)为一个概率空间，用=X:X0，E(X2)表示可保风险集合，定义可保集合到+的实函数 H(X)，称之为风险 X 的保费 从风险 X 到保费 H(X)的计算过程被称为保费计算原则或保费计算原理，简称保费原理由于分布函数 FX(x)完全刻画了 X 的分布
6、特征，所以保费 H(X)有时也记为 H(FX(x)，其表示保费完全由分布函数确定并不是所有从风险集合到+的实函数都可第 47 卷 第 1 期江西师范大学学报(自然科学版)Vol 47 No 12023 年 1 月Journal of Jiangxi Normal University(Natural Science)Jan 2023以成为保费计算原理 一般地，保费计算原理 H(X)需要满足一些“好的性质”，这些性质的要求有些是理论上的需要，有些是精算实务上的要求 在下文中，用 a、b、c、表示已知的常数1)正的安全负荷性(risk loading，简记为 L):X，有 H(X)E(X)或 H(
7、X)E(X)0正的 安 全 负 荷 性 也 被 称 为 风 险 附 加(riskloading)，这是保险实务上的需求 一般地，称数学期望 E(X)为风险 X 的净保费或纯保费 正的安全负荷性要求保险公司收取的保费必须超过净保费E(X)事实上，在破产理论中已经证明1:若保险公司只收取净保费，则最终破产的概率为 12)无不当风险附加性(no unjustified risk loading，简记为 NU):若 X=c，a s，则 H(X)=c无不当风险附加性是根据保险的实际意义提出的 当风险退化为确定性损失 c 时，不需要风险附加值，保费应该等于确定性损失 c3)极大损失性(maximal lo
8、ss，简记为ML):X，有H(X)ess sup(X)，其中ess sup(X)=inf x:P(X x)=0为风险 X 的上确界4)转移不变性(translation invariance or translationequivariance，简记为 TI):X，a +，有H(X+a)=H(X)+a转移不变性也被称为转移等价性 在风险理论中，只有随机变量才具有不确定性 由于固定数额 a并不产生新的风险，所以根据风险的无不当风险附加性，保费应该相应地增加该固定数额5)正齐次性(positive homogeneity or scale invari-ance，简记为 PH):X，b +，有H(
9、bX)=bH(X)正齐次性也被称为尺度不变性或尺度等价性它要求当风险成倍增加时相应的保费也成倍增加正齐次性保证了投保人不能将同一风险分开投保而获利命题 14 若保费计算原理 H(X)同时满足尺度不变性和转移不变性，则必然满足无不当风险附加性命题 1 说明:保费计算原理的各条性质虽然是根据不同的背景提出的要求，但并不是孤立的，这些性质之间有较多的交叉性和相关性6)次可加性(subadditivity，简记为 SAd):X，Y ，有 H(X+Y)H(X)+H(Y)在保险精算实务中，保险人制定的保费要求满足次可加性，使得投保人不能因把 2 个风险分开承保而降低保费 次可加性类似于尺度不变性，它们都是
10、为了避免投保人将风险分开投保而获得“套利”7)对独立风险可加性(additivity for independentrisks，简记为 IAd):若 X，Y 且 X 与 Y 相互独立，则有 H(X+Y)=H(X)+H(Y)对独立风险可加性说明投保人将独立的风险分别投保和合起来投保具有相同的保费 由于常数 a总是与随机变量 X 相互独立的，因此，当 Y 退化为常数 a 时，对独立风险可加性退化为转移不变性 故对独立风险可加性是转移不变性的推广 换言之，对独立风险可加性比转移不变性有更高的要求8)对共同单调风险可加性(comonotonic addi-tivity，简记为CAd):若X，Y 且X
11、与Y共同单调，即 w1，w2，有(X(w1)X(w2)(Y(w1)Y(w2)0，a s则 H(X+Y)=H(X)+H(Y)共同单调是在风险相依中最强的相依关系 2个风险共同单调等价于存在一个增函数 h()，使得Y=h(X)可以证明，在共同单调相依条件下，秩相关系数与 Kendall 相关系数都等于1 显然，若 H(X)对共同单调风险可加，则H(2X)=H(X+X)=H(X)+H(X)=2H(X)，即容易证明 H(X)满足尺度不变性9)单调性(monotone):若 w ，有X(w)Y(w)，a s则 H(X)H(Y)单调性意味着风险更大的保单应缴纳更多的保费10)保留1 阶随机控制序(pres
12、erving first-orderstochastic dominance，简记为 FSD):若 t 0，有SX(t)SY(t)，则 H(X)H(Y)，其中 SX(t)=P(X t)为 X 的生存函数设X在1 阶随机控制序意义下小于等于Y，记为X stY，若 SX(t)SY(t)对任意 t +成立 1 阶随机控制序是比较 2 个随机变量大小的一种方法该性质说明:在 1 阶随机控制序意义下，风险更大的保单应缴纳更多的保费11)保 留 停 止 损 失 序(preserving stop-lossorder，简记为 SL):若 d 0，有E(X d)+E(Y d)+，则 H(X)H(Y)，其中(x
13、)+=max 0，x 类似于 1 阶随机控制序，停止损失序也是比较随机变量大小关系的一种度量 在概率论中，用“X slY”表示在停止损失序意义下风险 X 小于等61江西师范大学学报(自然科学版)2023 年于风险Y，若d 0，有E(X d)+E(Y d)+成立 停止损失序和 1 阶随机控制序都是用于比较 2个随机变量大小的偏序保费计算原理的单调性、保留 1 阶随机控制序、保留停止损失序这 3 个性质都是从保险实务中给出的性质:风险越小的保单将收取更少的保费 由于风险 X 为非负随机变量，所以E(X d)+=d(t d)dSX(t)=limt(t d)SX(t)+dSX(t)dt=dSX(t)d
14、t因此，满足保留 1 阶随机控制序的保费计算原理必然满足保留停止损失序的性质12)分布的连续性(continuity):设X，Xn，且limnFXn(x)=FX(x)对所有 FX(x)的连续点成立，则limnH(Xn)=H(X)分布的连续性是从概率统计的原理上要求的性质，当随机变量序列 Xn依分布收敛到随机变量 X时，相应的保费序列也收敛以上 12 条性质从各个方面刻画了保费计算原理的要求 在实际运用中，并不要求某种保费计算原理满足所有的性质，而只需要满足部分性质即可 保险公司根据自身的财务情况选取合适的保费计算原理 关于保费计算原理及其性质可参照文献 5-6 2在非寿险精算中常用的保费计算原
15、理保险公司将根据自身的财务要求和公司的特征，选取合适的保费计算原理 一般地，常用的保费计算原理包括期望值原理、方差保费原理、标准差保费原理、修正方差保费原理、指数保费原理、Esscher保费原理等 在下面的叙述中，用X、Y、Z 表示可保风险，用 k表示每一种保费计算原理对应的安全负荷系数下面的例子用于比较期望值保费原理、方差保费原理、修正方差保费原理、标准差保费原理的保费计算差异例 1假设风险随机变量 X 服从伽马分布Gamma(，)，其密度函数为 f(x)=x1ex/()，x 0 则得到E(X)=/，D(X)=/2 因此期望值保费原理、方差保费原理、修正方差保费原理、标准差保费原理分别为H1
16、(X)=(1+1)E(X)=(1+1)/，H2(X)=E(X)+2D(X)=/+2/2，H3(X)=E(X)+3D(X)/E(X)=(+3)/，H4(X)=E(X)+4D(X)=(+4)/对给定的 =2，=4，表1 说明了这4 种保费计算原理与安全负荷系数的关系表 1安全负荷系数对在 4 种保费计算原理中风险保费的计算保费安全负荷系数00 10 20 30 40 50 81 52 0H10 5000 5500 6000 6500 7000 7500 9001 2501 500H20 5000 5130 5250 5380 5500 5630 6000 6880 750H30 5000 5250 5500 5750 6000 6250 7000 8751 000H40 5000 5350 5710 6060 6410 6770 7831 0301 207从表 1 的数值计算可以看出:在这 4 种保费计算原理中风险保费对安全负荷系数都是递增的，并且它们的关系为H1 H4 H3 H2 在保险公司中，精算师需要根据公司的具体情况选取合适的保费计算原理和安全负荷系数荷兰保费原理(Dutch pr
