1、第51卷 第3期2023 年 3 月华 中 科 技 大 学 学 报（自 然 科 学 版）J.Huazhong Univ.of Sci.&Tech.(Natural Science Edition)Vol.51 No.3Mar.2023贝叶斯重力平差算法的稳定性评估与统计检验王林海1 陈石1，2(1中国地震局地球物理研究所，北京 100081；2北京白家疃地球科学国家野外科学观测研究站，北京 100095)摘要 采用Bootstrap和Jackknife两种统计学方法，用于评估贝叶斯重力平差算法的参数估计稳定性问题以四川和云南实际重力测网的观测系统为例，模拟观测数据和误差分布，给出了贝叶斯重力平
2、差方法用于实际重力平差的稳定性评估方案研究结果表明：贝叶斯平差方法在观测样本足够的情况下，可以较好地估计相对重力仪的非线性漂移和格值系数；部分段差样本丢失时仍可以稳定地估计模型参数通过使用统计学方法和检验流程，并结合特定的重力观测系统进行测试，所得结论有助于优化陆地重力观测系统设计，评估贝叶斯重力平差结果的可靠性关键词 陆地重力观测；贝叶斯重力平差；Bootstrap方法；Jackknife方法；稳定性和鲁棒性中图分类号 P312.1 文献标志码 A 文章编号 1671-4512(2023)03-0092-08Stability evaluation and statistical test
3、of Bayesian gravity adjustment algorithmWANG Linhai1 CHEN Shi1,2(1Institute of Geophysics，China Earthquake Administration，Beijing 100081，China；2Beijing Baijiatuan Earth Science National Observation and Research Station，Beijing 100095，China)Abstract Bootstrap and Jackknife statistical methods were us
4、ed to evaluate the stability of the parameter estimation of the Bayesian gravity adjustment algorithmTaking the observation systems of Sichuan and Yunnan actual gravity survey networks as examples，the stability evaluation scheme of Bayesian gravity adjustment method applied to actual gravity adjustm
5、ent was given by simulating the observation data and error distributionThe results show that the Bayesian gravity adjustment method can accurately estimate the nonlinear drift of the relative gravimeter and the scale factor when the observation samples are enoughThe model parameters can be estimated
6、 stably even when part of the step samples are lostThe statistical methods and testing procedures used in this study can be tested in combination with specific gravity observation systems，and the conclusions obtained are helpful to optimize the design of terrestrial gravity observation systems and e
7、valuate the reliability of Bayesian gravity adjustment results.Key words terrestrial gravity measurement；Bayesian gravity adjustment；Bootstrap method；Jackknife method；stability and robustness陆地高精度重力观测可以获得近地壳内部场源的重力信号通过对陆地定点重力场重复观测，获得的时变重力场信息，是监测地下介质物性变化的重要地球物理观测手段，也称为地震流动重力监测近年来，地震流动重力观测不断地在年尺度地震危险性
8、判定中发挥作用1-4中国大陆地震重力观测网络系统是目前国际上最大规模的陆基重力观测系统，已建成101个绝对重力基准点，采用FG-5，A10 等绝对重力仪每年观测一到两期，以及超过 3 000余个相对重力联测点，采用LCR-G，Burris，DOI：10.13245/j.hust.230305收稿日期 2021-12-22作者简介 王林海(1992-)，男，博士研究生；陈 石(通信作者)，研究员，E-mail：chenshicea-基金项目 中国地震局地球物理研究所基本科研业务费资助项目(DQJB22K42；DQJB22X12)；国家自然科学基金资助项目(U1939205，U1839210)第
9、3 期王林海，等：贝叶斯重力平差算法的稳定性评估与统计检验CG-5，CG-6等相对重力仪每年观测两期，该系统定期可以产出多种时空尺度的数据产品此地震重力观测网络中测点之间距离一般十几km到几十km不等，两点之间观测时间间隔需要几十分钟至数小时，有限的观测数据为仪器参数的估计带来挑战另外，其获得的重力观测数据信噪比较低，重力信号随时间变化量仅为十几个或几十Gal(1 Gal=110-8 m/s2)，是典型的Gal级重力信号5-6，因此须要对重力仪器参数的不确定性进行量化估计，并对数据处理算法的适用性开展相关研究针对相对重力仪参数的估计问题，贝叶斯重力平差方法7-8将仪器的漂移率和格值系数作为超参
10、数，采用二阶光滑作为先验假设，并以测网中已知的多个绝对重力点作为约束条件，引入赤池贝叶斯信息准则9(Akaikes Bayesian information criterion)估计参数最优值贝叶斯重力平差方法已应用到中国大陆地震重力观测网的多个区域，包括大华北测网的多网多期数据的处理和精度估计10，南北地震带南部多期观测数据的处理11，以及华南地区的累积重力场的获取与重力观测数据质量评估12现有的贝叶斯平差方法体系中主要通过三种手段评估结果的可靠性：通过分析重力测量段差的残差时间序列是否存在规则性或周期性的信号成分，用于检验仪器的非线性漂移特性是否被剔除；通过测网内已知绝对重力点的交叉验证实
11、验，可以检验平差后得到的重力点值的可靠性；通过测网内相邻重力测点的段差与仪器间互差之间是否具有相关性，判断使用相对重力仪器格值系数的准确性但是，在川滇重力测网中，很多重力测点间距较大，地形复杂且交通不便导致相对重力仪观测每天观测的段差数量有限；因此，依据有限的仪器读数或采样，贝叶斯重力平差方法能否有效估计仪器参数和分离观测噪声，以及在某些段差观测不准或测点缺失的情况下，是否仍然能够稳健准确估计出仪器每日的漂移率特性是考察的关键本研究围绕贝叶斯重力平差方法的稳定性开展研究，并给出了解决方案针对模型参数反演的精度评定和统计估计值的偏差估计问题，Bootstrap重采样方法13和 Jackknife
12、 重采样方法14应用较为广泛其中，已有一些学者将 Bootstrap方法用于地球科学反演精度评估问题，采用贝叶斯方法和Bootstrap重采样方法对震源参数的不确定性进行了误差分析15；通过Bootstrap方法对发震断层位置的不确定性进行评估16；应用Jackknife重采样方法解决加权整体最小二乘方法的精度评定问题14利用Bootstrap方法实现震源参数的反演和精度评定17引入 Bootstrap 和 Jackknife 两种统计学检验方法用于贝叶斯重力平差算法的参数估计稳定性研究中，结合四川和云南重力测网实例给出了稳定性评估方案，并开展模拟推估和实测数据应用，其结果可以为评价贝叶斯重力
13、平差算法的稳定性和有效性提供新的解决方案1 方法原理 1.1Bootstrap检验方法Bootstrap方法也称为自助法，是将原始样本作为总体，通过重采样代替求导计算，利用有放回的随机抽样法从总体分布函数中得到一系列独立样本，并通过计算每个独立样本来获取未知统计量抽样分布的经验估计13-18该方法的优势性主要表现在它无须对未知模型及分布做任何假设，也无须推导估计量的精确表达式，仅须通过检验样本内统计量的变化便能够估计未知参数的均值和方差19为检测贝叶斯平差方法在观测段差一定的情况下，有限采样的重力观测是否能有效恢复误差分布，基于实际重力测网的仪器读数来生成模拟观测数据进行验证假设观测读数F的个
14、数为n，根据流动重力中每个测点的观测噪声随机分布的特点20，生成一个样本容量为 n的高斯噪声序列(i为样本值)，采用 Bootstrap 方法重采样噪声序列，获取M个样本容量仍为n的噪声序列自助样本，每次将自助样本加到模拟观测读数F中，组成含有噪声的观测读数，并结合观测仪器类型，观测时间，模拟漂移率，观测点号与测点点位，生成模拟的流动重力观测文件贝叶斯重力平差算法通过读取观测文件计算得到重力点值、段差残差、漂移率和仪器格值系数贝叶斯重力平差算法的参数估计稳定性和精度评定的Bootstrap方法完整计算步骤如下所述a假设噪声序列N=(1，2，n)为随机样本，将 1/n的概率分别设置在N中的每个样
15、本值上b 产 生 服 从 均 匀 分 布 的 n 个 随 机 数(i1，i2，in)，其中，1 ij n，j=1，2，n；对N中的噪声值采样，获取自助样本Nr=(ri1，ri2，rin)，其中1 r Mc将Nr带入观测读数，并组成观测文件，采用贝叶斯平差处理，获得4个未知参数的估计值，段差残差标准差r，漂移率变化方差2b，r，格值系93华 中 科 技 大 学 学 报（自 然 科 学 版）第 51 卷数lr，点值偏差RGV，rd循环步骤b和c一共M次，得到M组4类参数 的 估 计 值(1，2，M；2b，1，2b，2，2b，M；l1，l2，lM；RGV，1，RGV，2，RGV，M)；e分别获得4个
16、参数的Bootstrap方法估值均值，并与模拟真实值对比1.2Jackknife检验方法Jackknife重采样的思想来源于“leave-one-out”的交叉验证法Jackknife方法是指从样本中每次删除一组数据从而得到 Jackknife样本，由此生成的Jackknife样本集之间的差异很小，每两个Jackknife样本中只有两个原始样本不同Jackknife重采样方法基于样本数据的大小，并且采样样本即为观测数据样本，与估计量分布无关，计算流程较简单21将 Jackknife 方法应用于贝叶斯重力平差算法中，检验贝叶斯平差在部分段差样本丢失时，是否仍可以稳定估计模型参数，具体计算步骤如下a根据实际测网的观测路线和时间，模拟相对重力仪的观测文件，获取测网中n个测点的点号N=(u1，u2，un)b对点号文件进行Jackknife的采样，与原点号文件对比，获得被Jackknife法删除的点号ui；将观测文件中与点号ui同一行的相关的观测数据删除，剩余的观测数据组成Jackknife样本，将其作为新的观测数据样本c利用贝叶斯平差方法读取Jackknife法处理的观测样本，获得4个未知参数
