1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20220527;修回日期:20220622基金项目:教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会项目资助作者简介:侯吉旋(1983)，男，江西南昌人，东南大学物理学院副教授，博士，主要从事大学物理教学和统计物理的研究工作教学研究最概然分布的少粒子修正是必要的吗?侯吉旋(东南大学 物理学院，江苏 南京211189)摘要:统计物理教材中推导最概然分布的过程存在数学缺陷，当粒子数较少时无法自圆其说于是许多研究者利用更精确的公式对该推导进行少粒子修正本文通过计算一维谐振子势阱中
2、的理想玻色气体的基态布居数指出，经过少粒子修正后的结果与严格解反而相差更远因此本文认为计算最概然分布时进行少粒子修正是没有必要的关键词:最概然分布;少粒子效应;玻色气体中图分类号:O 41421文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0001-03【DOI】1016854/jcnki1000-0712220272对于处于平衡态的孤立系统，微观状态最多的分布称为最概然分布由于最概然分布所包含的微观状态数远多于其他分布所包含的微观状态数，于是可以通过计算最概然分布来求得系统的平衡态性质，这种方法称为最概然近似一般统计物理教材在推导平衡态分布(包括玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布
3、)的时候都要用到斯特令近似1，2:ln n!nln nn(1)其中 n 是远大于 1 的数式(1)的近似性来源于2使用积分n1ln kdk 替代求和 ln n!=nk=1ln k尽管利用最概然近似求平衡态分布的推导过程较简单，但存在极大的缺陷因为系统中能级 l 上的粒子数 al很可能不满足斯特令近似的要求，粒子数 al甚至可能远小于 1，强行使用斯特令近似在数学上无法自圆其说例如若要经典玻耳兹曼统计适用于稀薄气体，必须保证稀薄性假设(all)2，其中 l为能级 l的简并度文献 2 做了估计，氦气在标准状态下al/l4106，这已远超出式(1)适用范围有不少学者尝试使用精度更高的斯特令公式ln
4、n!nln nn+12ln(2n)(2)来重新推导平衡态分布，以期得到在少粒子条件下更贴近实验测量的结果3，4 文献 3指出，若系统的粒子数少于 100，少粒子修正将使得系统的热容量发生十分显著的变化尽管利用斯特令近似式(1)的推导存在缺陷，但也有学者认为教材中原本得到的平衡态分布就是精确的，用精度更高的的斯特令公式(2)去推导是不必要而且错误的5 随着纳米技术的发展，少粒子系统越来越得到科学界与工业界的重视统计物理中的平衡态分布是否需要进行少粒子修正将是人们不得不面对的问题为了回答这个问题，本文将利用一个统计物理中严格可解的系统 一维谐振子势阱中的理想玻色气体，在无近似的情况下计算其基态布居
5、数再使用 2 种最概然近似(无修正与少粒子修正)计算其基态布居数，对比各种方法得到的结果即可做出基本的判断1平衡分布及其少粒子修正考虑一个包含 N 个非定域粒子的总能量为 E的孤立系统，以 l(l=0，1，2，)表示粒子的能级，l表示能级 l的简并度，al为能级 l上的布居数那么对于经典粒子构成的系统、玻色系统和费米系统，其微观状态数分别为MB=N!lal!lall(3)BE=l(l+al1)!al!(l1)!(4)FD=ll!al!(lal)!(5)为简单起见，下文省略微观状态数的下脚标2大学物理第 41 卷下面列出求解最概然分布的要点，详细推导见文献 1-4 要得到最概然分布，可求 ln
6、的极大值，即在粒子布居数 al有虚变动 al时 ln=0 注意到对于孤立系统 al不是完全独立的，必须满足条件:Nlal=0(6)Ellal=0(7)于是最概然分布满足条件极值:ln+(Nlal)+(Ellal)=0(8)其中 和 为 2 个拉格朗日乘子本文考虑少粒子修正，即依然假设 l1，但是al不满足远大于 1 的要求由于 中含有 al的阶乘，需要对ln al!=alln alal+2ln(2 al)(9)进行化简式(9)中=0 或 1=0 表示未考虑少粒子修正，而=1 表示进行了少粒子修正将式(3)式(5)式代入式(8)求解，可得到最概然近似下各种平衡态分布:al=le+l+2al+(1
7、0)其中=0 对应于经典粒子构成的系统，即玻耳兹曼分布;=1 对应于玻色系统，即玻色分布;=+1 对应于费米系统，即费米分布玻耳兹曼分布呈现 e 指数分布是使用了斯特令近似的结果2=0 时式(10)退回到常见的最概然分布公式而=1 时式(10)对于 al而言仅为形式解，使用时需要数值求解超越方程才能得到 al的数值而拉格朗日乘子 和 则由条件式(6)和(7)来确定2一维谐振子势阱中的理想玻色气体为了检验少粒子修正的必要性，本文将利用一个在微正则系综中可以严格求解的系统，即一维谐振子势阱中的理想玻色系统6-8 设谐振子势阱的能级间距为，并取基态能级为能量零点由于一维谐振子系统无简并，设有 nl个
8、玻色子占据第 l 个能级，那么该系统中各能级上粒子数满足l=0nl=Nl=0lnl=m(11)其中 mE/为元激发的个数满足式(11)的一组非负整数解 n0，n1，nl，就对应于系统的一个微观状态因此满足式(11)的非负整数解的个数，就是该系统的总的微观状态数若系统的能量较低，满足 mN 时，求解该系统的微观状态数等价于正整数拆分问题用 p(m)表示整数 m 的无限制正整数拆分方式的种数例如 m=3N，对 m 有 3 种拆分方式，即 p(3)=3，分别为m=3，m=2+1 以及 m=1+1+1 这 3 种拆分方式对应于系统的 3 种微观状态，分别为 N1，0，0，1，0，N2，1，1，0，0，
9、和 N3，3，0，0，0，若系统的能量较高 mN，受到粒子数目的限制，此时的拆分方式个数 pN(m)显然要小于 p(m)以 m=3 而 N=2 为例，对 m 的拆分就只有 m=3 和m=2+1 两种，即 p2(3)=2对应于系统的 2 种微观状态，分别为 1，0，0，1，0，和 0，1，1，0，0，图 1 中画出了 p(m)与 p10(m)的前 100 个值，可见当 m 较小时 pN(m)p(m)图 1N=10 拆分数 p(m)与 pN(m)由于已经得到了系统的微观状态数(m，N)=pN(m)，便可以求得系统的熵:S=kBln(m，N)=kBln pN(m)(12)其中 kB为玻耳兹曼常量3谐
10、振子势阱中玻色气体的基态布居数一维谐振子势阱中理想玻色气体的平均基态布居数a0=n0，首先是由 Grossmann 等人6 于 1996年求得的，其中 表示系综平均而后本文作者采用了另一种更加简单的方法得到了一致的结果7 为了叙述方便，本文采用后一种方法假设已知系统的基态上有 n0个玻色子，需要求得在这种条件下的系统的微观状态数以 N=6，m=6 并且固定基态上有且仅有 3 个玻色子(n0=3)为例如图 2(a)所示，系统只有 3 种可能的微观状态在图 2(a)中，若隐去基态，同时将第一激发态重新标定为新的基态，将得到图 2(b)所示的情况，刚好等价于 N=3 且 m=3 时的状况从数学上看，
11、式(11)可以变形为l=0nl+1=Nn0l=0lnl+1=mN+n0(13)第 12 期侯吉旋:最概然分布的少粒子修正是必要的吗?3图 2玻色微观状态示意图式(11)和式(13)在数学上是等价的，但是在给定 n0后，式(13)的非负整数解的个数变为pNn0(mN+n0)也就是说，在给定基态上有 n0个玻色子的条件下，系统的微观状态数为(m，N|n0)=pNn0(mN+n0)，这可以从图 2 给的例子中看出很显然，将基态取各种 n0值时的微观状态数(m，N|n0)相加就等于不指定基态占有数时候的总的微观状态数(m，N)，即(m，N)=n0(m，N|n0)(14)根据以上讨论可知，基态上有 n0
12、个玻色子的统计权重 w0(n0)为w0(n0)=(m，N|n0)n0(m，N|n0)=pNn0(mN+n0)pN(m)(15)在图 3 中，以 N=10 为例，给出了系统取不同 m值时的基态粒子数的统计权重得到 n0的统计权重后，可进一步求得平均基态布居数:a0=n0=n0n0w0(n0)(16)图 3给定 m 后基态上有 n0个玻色子的统计权重 w04基态布居数的对比在上一节中，给出了计算一维谐振子势阱中的理想玻色系统的基态布居数的方法该方法未使用最概然近似，因此是严格的结果另一方面，要使用最概然近似，则需要联立式(6)、式(7)和式(10)进行数值求解，在粒子数 N 很大的时候极为消耗计算
13、机的算力但是好在少粒子修正只在 N 较小时才显得重要，于是本文仅数值求解了N=10和 20 两种情况，其结果显示在图 4 中注意，由于处理的是玻色系统，式(10)中的 应取1图 4基态布居数 a0随系统能量 m 的变化图 4 对比了用不同方法求得的基态布居数 a0随系统的能量 m 的变化曲线图中点为上一节中介绍的用数论给出的严格解，而虚线给出的是用最概然近似求出的结果长虚线表示的是没有少粒子修正的结果(=0)，而短虚线表示的是采用少粒子修正之后的结果(=1)文献 6 指出，一维谐振子势阱中的理想玻色系统有一个特征能量，m*(N/ln N)2 系统能量低于 m*时，基态上的粒子数将与总粒子数是同
14、一个数量级，即 a0=O(N)为了让不同粒子数的系统具有可比性，在作图 4 时，重新标度了坐标，横坐标取 m/m*，纵坐标取 a0/N(下转 7 页)第 12 期杨师杰:惠更斯原理与空间维度7On the Huygens principle and spatial dimensionsYANG Shi-jie(Department of Physics，Beijing Normal University，Zhuhai，Guangdong 519087，China)Abstract:In this paper we address the Huygens principle proposed i
15、n optics from the analytical solutions of thewave equation It is revealed that the Huygens principle is correct only in one or three dimensional space whilefailed in two dimensional space It is not certain that we can receive acoustic signals through air，it depends on theeffectiveness of Huygens pri
16、nciple in the three dimensional spaceKey words:wave propagation;Huygens principle;spatial dimension(上接 3 页)从图 4 中可以看到，未修正的最概然近似结果与严格解是比较接近的，但是经过少粒子修正的最概然近似结果却与严格解偏差较大，这与人们初始的预期是相背离的因为进行少粒子修正的目的就是让计算结果与严格解更加贴合由此同意文献 5 的判断，在计算最概然分布时使用少粒子修正是不必要的5结论一般教材中推导最概然分布时采取的数学处理存在数学上的漏洞，在粒子数较少时是无法自圆其说的于是很多研究人员尝试使用精度更高的斯特令公式重新推导，给出少粒子修正以弥补这一漏洞本文计算了一维谐振子势阱中的理想玻色气体，发现不使用少粒子修正的最概然分布计算得到的基态布居数与严格解偏差较小，而使用少粒子数修正后的最概然近似计算得到的结果与严格解偏差甚大于是我们认为，推导最概然分布时使用少粒子修正是不必要的参考文献:1 汪志诚热力学统计物理 M 4 版北京:高等教育出版社，2008:181-187 2 包景东热力学与
