1、DOI:10.13379/j.issn.1003-8825.202301043开放科学（资源服务）标识码（OSID）基于 Matlab 圆形支护桩正截面受弯承载力快速计算龚道平，胡惠华，刘 俊（湖南省交通规划勘察设计院有限公司，长沙410200）摘要：为了能快速、准确地按规范要求完成配筋面积计算，通过分析局部均匀配筋的计算公式，分析建筑基坑支护技术规程（JGJ 1202012）中圆形截面支护桩正截面受弯承载力计算公式；运用 Matlab 绘制弯矩与混凝土受压区圆心角 2 的函数曲线，初步确定求解超越方程时 的分布范围，从而保证求解超越方程时迭代过程的收敛性。通过分析局部均匀配筋的计算公式，明确
2、了适筋梁的判定条件，实际运用非常方便。关键词：Matlab；圆形截面；受弯承载力；局部均匀配筋；收敛性中图分类号：TU312.1文献标志码：A文章编号：1003 8825(2023)04 0027 05 0 引言圆形截面支护桩在基坑支护、公路边坡预加固、公路滑坡抢险及永久处治中的应用愈加广泛，尤其是在人工挖孔桩受限制的地区和工点，利用旋挖钻进、回转钻进等机械成孔工艺形成的圆形灌注桩可发挥施工安全、施工快速、支挡见效快的特点，而圆形截面支护桩正截面受弯承载力的计算是工程设计过程中需要解决的关键技术问题。现行混凝土结构设计规范（GB 500102010）（2015年版）1给出了沿周边均匀配置纵向钢
3、筋的计算公式（附录 E，E.0.4），建筑基坑支护技术规程（JGJ 1202012）2还给出了沿受拉区和受压区局部均匀配筋的计算公式(附录 B，B.0.2)。全截面均匀配筋和局部均匀配筋两种方式均需要采用迭代法求解超越方程，存在计算工作量大、时有迭代不收敛的情况发生。广大工程技术人员对此进行了大量的分析研究。龚晓南等3根据传统的矩形截面正截面承载力设计计算方法，结合MathCAD数学工具软件，编制了圆形及环形混凝土受弯构件单筋及双筋正截面强度计算书文档；罗莎等4通过应变计算应力，再计算出内力的方法推导圆形截面配筋公式，并将计算结果绘制成能计算配筋的无量纲诺模图；欧阳明5运用 Excel 的单变
4、量求解、规划求解和 VBA 编程功能编制圆形截面钢筋混凝土结构受弯配筋的计算表格，应用于基坑工程项目中，获得了较满意的效果。本文从全截面均匀配筋和局部均匀配筋公式的分析入手，厘清计算公式的物理含义，甄别公式的应用条件，运用 Matlab 绘制弯矩与混凝土受压区圆心角的曲线来确定迭代初值，以确保迭代收敛，利用 Matlab 平台编制计算程序，从而完成受拉钢筋面积计算。1 圆形全截面均匀配筋计算 1.1 弯矩与混凝土受压区圆心角的关系将混凝土结构设计规范中的式 E.0.4-1、式 E.0.4-2 两式中的拉力值设为 0、偏心矩用弯矩设计值代替，即成为建筑基坑支护技术规程中的式 B.0.2-1、式
5、B.0.2-2 两式，故两者在正截面受弯承载力计算原理上是一致的。现以建筑基坑支护技术规程中的公式进行分析：M23fcArsin3+fyAsrssin+sint（1）fcA(1sin22)+(t)fyAs=0（2）t=1.252（3）fc式中：M 为弯矩设计值，kNm；为混凝土轴心抗压强度设计值，kN/m2；A 为支护桩截面积，m2；r 为支护桩半径，m；为对应于受压区混凝 收稿日期：2023 03 17基金项目：湖南省交通运输厅科技进步与创新计划资助项目（201003、202120）作者简介：龚道平（1969），男，湖南澧县人。研究员级高级工程师，长期从事岩土工程勘察与设计工作。E-mail
6、：。龚道平，等：基于 Matlab 圆形支护桩正截面受弯承载力快速计算 27 fyAsrstt土截面面积的圆心角（rad）与 2 的比值；为纵向钢筋的抗拉强度设计值，kN/m2；为全部纵向钢筋的截面面积，m2；为纵向钢筋重心所在圆周半径，m；为纵向受拉钢筋截面面积与全部纵向钢筋截面面积的比值，当 0.625 时，取=0。fyAs的等将式（2）、式（3）作变换，得到关于式fyAs=fcA(1sin22)1.253（4）fyAs将式（4）代入式（1）（取等于），消去，整理得到关于 M 和 的方程，即 M-方程M=23fcr3sin3+fcr2rs(2sin2)sin+sin(1.252)2(1.2
7、53)（5）令f1()=23fcr3sin3+fcr2rs(2sin2)sin+sin(1.252)2(1.253)M（6）)函数 f1(为非连续函数，在运用迭代法求解超越方程式（5）时，需首先对间断点进行识别，否则会导致迭代过程不收敛，即无数值解。1.2 求解混凝土受压区圆心角 及受拉钢筋面积 As由上述可知，式（5）是关于 的含三角函数的超越方程，本文采用迭代法求得数值解。f1)f1()对函数(求取一阶导数，并定义为函数，采用牛顿迭代法求解。1=0f1(0)f1(0)（7）式中：0为混凝土受压区圆心角 的初值；1为第一次迭代值。经过数次迭代后，便可求得满足迭代精度要求的方程的根。Matla
8、b 平台上牛顿迭代法主要程序如下：a0=aa0.01；设置0初值，aa 为间断点处的 值str2sym x(1,n)；设置数组存储迭代值 1，2esp0=0.001；设置迭代精度esp1=2.0；nn=2；x(1)=a0；while(esp1 esp0)x(nn)=x(nn1)subs(f1,(x(nn1)/subs(f2,(x(nn1)f1)f1()f1 代表函数(，f2 代表函数esp1=abs(x(nn)x(nn1)；nn=nn+1；end；将迭代计算得到的混凝土受压区圆心角 的值，代入式（1）或式（2），便可计算出受拉钢筋面积 As。1.3 算例现源引深基坑工程设计施工手册（第二版）3
9、（以下简称手册）中的算例4.4-1（算例1）进行对比计算。弯矩设计值 M=5 668.00 kNm，混 凝 土 轴 心 抗 压、抗 拉 强 度 设 计 值 分 别 为fc=14.30 N/mm2、ft=1.43 N/mm2，钢筋抗拉强度设计值为 fy=360.00 N/mm2，圆形支护桩直径 D=1 500 mm，钢筋保护层厚度为 r0=50 mm。计算沿周边均匀配筋时，混凝土受压区圆心角 及受拉钢筋面积 As。)f)取 的值在区间 0，1 内，编制 Matlab 程序计算 f1(的值，并绘制1(曲线图，见图 1。0.40.30.20.100.10.200.1 0.2 0.3 0.4 0.5
10、0.6 0.7 0.8 0.9 1.0f1()1012图1f1()曲线分布（=0,1）)在由图 1 可知，函数 f1(在=0.416 处不连续，函数值产生突变，曲线分为左右两支。式（5）方程的解应分布在间断点左侧一支，即0,0.416）区间内时。)f1(与 x 轴交点处的 值为所求式（5）的根。显然，如 在（0.416，1）时，式（5）没有解，即迭代不收敛。预设迭代精度=0.001 时，按上述计算方法经过 5 次迭代后得到=0.294 3。将所求得的 值代入式（1）或式（2）中，便可求解 As=26 990 mm2。手册提供的计算结果为=0.294，As=26 999 mm2。可见，两者非常接
11、近。2 圆形截面局部均匀配筋计算 2.1 弯矩设计值 M 与混凝土受压区圆心角的关系建筑基坑支护技术规程附录 B 对受拉区和受压区局部均匀配置纵向钢筋的圆形截面钢筋混凝土支护桩，其正截面受弯承载力由式（8）式（12）确定。路基工程 28 Subgrade Engineering2023 年第 4 期（总第 229 期）M23fcArsin3+fyAsrrssinss+fyAsrrssinss（8）fcA(1sin22)+fy(AsrAsr)=0（9）cos1(1+rsrcoss)b（10）13.5（11）MfyAsr(0.78r+rssinss)（12）2ssb式中：Asr分别为沿周边均匀配置
12、在圆心角 2，内的纵向受拉、受压钢筋的截面面积，m2；s为对应于受拉钢筋的圆心角（rad）与 2 的比值；对应于受拉钢筋的圆心角（rad）与 2 的比值；矩形截面的相对界限受压区高度。公式中其他参数同前文。式（8）式（12）式除（11）外，其他均为含三角函数的超越方程，且涉及因变量较多，需进行数学变换和简化分析。Asr受压区钢筋对圆形截面的正截面抗弯承载力的提高影响甚微3，一般按构造要求配筋，即按不小于 0.2%和 0.45ft/fy 的配筋率进行配筋6。现假设=0.002A。式（9）经变换整理后，得到：fyAsr=fcA(1sin22)+fyAsr（13）将式（13）代入式（8）（取等于），
13、s=0.25，整理可得式（14）M=23fcr3sin3+fcr2rssinss(sincos)+fyAsrrs(sinss+sinss)（14）令函数f2()=23fcr3sin3+fcr2rssinss(sincos)+fyAsrrs(sinss+sinss)M（15）t1=sinsst1=sinss令，整理式（15）：f2()=23fcr3sin3+fcr2rst1(12sin2)+fyAsrrs(t1+t2)M（16）式（14）即为 M-方程，f2()为关于 M、的函数关系式。ss一般取=0.5，由于函数 f2()的分母中含有，所以函数 f2()在=0 处无定义，为第一类间断点。计算时
14、 可取一大于 0 的值（如 0.01）作为初始值。对于给定的弯矩设计值和其他输入参数，取 区间 0.01，1 内，计算函数 f2()的值，并绘制成曲线。曲线与 x 轴交点处的值即为方程（14）式的根，其值同样可采用牛顿迭代法求出，方法如 1.2 中所述。2.2 局部均匀配筋适筋梁判定条件分析圆形截面受弯变形依然满足平截面假定，并应满足适筋梁要求，其界限受压计算，见图 2。srcur+rcossrrcosrrcosrs1cu+y图2圆形截面界限受压计算7 rsrrcosr+rscoss假定局部均匀配置的纵向受拉钢筋分布在圆周半径为的 2s圆心角范围内，圆周受压区混凝土（图中阴影）对应的圆心角是
15、2，由平面内的几何关系可知为混凝土受压区高度，为截面有效高度。根据平截面假定5可得r+rscosscu+y=rrcos1cu（17）1cu、yy=fyEs1=0.80，cu=0.0033式中：为压应力等效高度系数；分别为混凝土和钢筋的极限应变，；对强度等级不大 于 C50 的 混 凝 土，7。对式（13）作变换，得到rrcosr+rscoss=11+fycuEs（18）11+fycuEsrrcosr+rscoss而相对界限受压区高度 b=7，相对受压区高度 n=故式（18）可表达为 n=b，其物理意义是界限配筋状态。再对式（10）作变换，并整理得到下式龚道平，等：基于 Matlab 圆形支护桩
16、正截面受弯承载力快速计算 29 rrcosr+rscossb（19）对比式（18）、式（19）可知：式（10）是要求正截面在局部均匀配筋时应满足适筋梁条件，其上限为界限配筋状态。因此，对采用迭代法求得的值应代入式（10）或式（19）式验算，当不满足适筋梁条件时应加大圆形截面尺寸后再计算，直至得出满足要求的 值。可见，局部均匀配置受拉钢筋时，对是否为适筋梁的判断是重要的。2.3 受拉钢筋面积计算AsrAsr根据求解得到的 值的大小，选择相应的公式计算受拉钢筋面积。当 1/3.5=0.285 7 时，按式（12）计算；否则，按式（8）或式（9）计算。2.4 算例)算例 2：源引手册中的算例 4.4
17、-2。该算例的各项参数同前文算例 1。取 值在区间 0.01，0.5 内，根据式（15）编制 Matlab 程序计算函数f2(的值，并绘制函数曲线分布，见图 3。6420246800.10.20.30.40.5=0.3104f2()109)图3f2(曲线分布)函数AsrAsr可见 f2(曲线在此区间内为连续光滑曲线，他与 x 轴（图 3 中的虚线）的交点即为方程式（14）的解。设置迭代精度=0.001，采用牛顿迭代法，同样经过 5 次迭代得到=0.310 4。计算相对界限受压区高度 b=0.518 0，相对受压区高度n=0.264 2,nb,满足适筋梁要求；1/3.5，将值代入式（9）或式（1
18、3），得到受拉钢筋的面积=14 929 mm2。手册的结果为=0.339，=14 297 mm2，两者数值非常接近8。3 结语基于 Matlab 圆形支护桩正截面受弯承载力快速计算，通过分析局部均匀配筋的计算公式，明确了适筋梁的判定条件。（1）通过对现行规范中圆形截面支护桩正截面受弯承载力计算公式的分析，建立了全截面均匀配筋、局部均匀配筋时弯矩与混凝土受压区圆心角2 的函数关系 f1()、f2()；编制 Matlab 程序，计算 f1()、f2()，并绘制曲线图。)（2）通过对 f1(、f2(曲线分析，确定了求解超越方程时 的分布范围，从而保证求解超越方程时迭代法的收敛性。（3）通过对局部均匀
19、配筋公式的分析，明确了适筋梁的判定条件。（4）本文采用的方法，紧扣现行规范，概念明确，利用 Matlab 软件编制计算程序可快速、准确地计算出全断面均匀配筋、局部均匀配筋时受拉钢筋的面积，且较其他方法更加简单明了。因此，实际运用非常方便。参考文献(References)：1 中华人民共和国住房和城乡建设部,中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局.混凝土结构设计规范:GB 500102010S.北京:中国建筑工业出版社,2011.Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the Peoples Re-public of China,Ge
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27、culation of reinforcement area according to therequirements of the specification,by analyzing the calculation formula of local uniform reinforcement,itsanalyzed with the calculation formula of flexural bearing capacity of normal section for circular supporting pilesin Technical Specification for Ret
28、aining and Protection of Building Foundation Excavations（JGJ 1202012).The plotting the function curve of bending moment versus central angle 2 which lies in the compressive zone ofconcrete based on Matlab,the distribution range of in solving transcendental equation is preliminarilydetermined to ensu
29、re the convergence of the iterative process.By analyzing the calculation formula of localuniform reinforcement,the judgement condition of balanced-reinforced beam is defined with very convenientpractical application.Keywords:Matlab；circular section；flexural bearing capacity；local uniform reinforceme
30、nt；convergence征订路基工程及合订本启事2023 年度路基工程正在征订，邮发代号 62-156，双月出版，每期（本）25 元，全年 6 期（本）150 元。读者可到当地邮局办理订阅，也可直接到编辑部订阅。为满足读者需要，本刊备有历年合订本，每本 150 元（含邮资、包装费）。邮政汇款：成都市金牛区通锦路 16 号路基工程编辑部邮编：610032市电：（028）86442963（传真）路电：（061）42963银行账号：中国建设银行股份有限公司成都金仙桥支行路基工程编辑部：51001446408050264369E-mail：龚道平，等：基于 Matlab 圆形支护桩正截面受弯承载力快速计算 31
