1、数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.4基于-CIS 值的非合作合作双型博奔的求解袁柳洋1,2，段炼1（1.武汉科技大学理学院，湖北武汉430 0 6 5）(2.湖北省冶金工业过程系统科学重点实验室，湖北武汉430 0 6 5)摘要：本文研究了非合作-合作双型博奔模型求解的问题.首先利用于-CIS值，求解非合作-合作双型博奔中的合作博奔阶段，再对非合作博奔阶段求其纯策略纳什均衡，获得了基于-CIS值的双型博奔的一种新的求解方法推广了原始双型博奔模型的求解方法并证明其可行性.关键词：非合作博奔；合作博奔；非合作-合作双型博奔；Q-CIS值MR(2010)主题分类号：
2、9 1A10;91A12文献标识码：A1 引言博奔论，又被称作“对策论”博奔行为指的是具有竞争性质或者对抗性质的行为，主要涉及三个基本因素：参与人、参与人的策略、参与人的收益.根据参与人之间是否合作，博奔可以划分为合作博奔和非合作博奔.合作博奔是指参与人在博奔中选取策略的本意是其所在联盟的整体利益的最大，因此它主要研究联盟的构建以及收益的分配问题.在非合作博奔中，参与人在博奔中选取策略的本意是其个人利益的最大，它主要研究参与人自身策略的选择问题.目前文献对合作博奔和非合作博奔分别都进行了大量的研究，具体见文献 1-5 但单一的博奔形式往往不能满足现实情况，因为在现实情况博奔中，竞争和合作相互联
3、系、相互影响，所以不仅应考虑收益的分配，还需要对策略进行选择.为了解决此类博奔问题，Brandenburger和Stuart在文献 6 】中首次提出了“BiformGame”的概念，将非合作博奔和合作博奔进行了有机的结合，被称为非合作合作双型博奔.随着双型博奔的提出，后续很多学者对其进行深入研究和拓展，尤其是双型博奔的求解问题.很多学者在求解双型博奔时选取核心求解，见文献 7-10 ，但是核心可能为空或者不唯一.为了保证核心的存在性和唯一性，文献 6 要求合作博奔的特征函数满足加总性条件和无外部性条件，但是很多实际问题却不一定满足这些条件后来，南江霞等在文献 11 选取了Shapley值来求解
4、双型博奔，此方法是按照联盟中成员的边际贡献的比例来分配利益，以此保证联盟的公平性，但会忽略每个参与人的努力程度 12 .后来，有学者研究了 CIS 值（Center of imputation set value)，并将其应用于双型博奔的求解，文献 13 用此方法求解时要求特征函数满足无相关性条件，不仅使参与人策略的改变不影响其他参与人的联盟收益，也可以一定水平降低核心作为合作博奔解时的要求CIS值的分配逻辑 14 是，首先给每个参与人分配其个人收益，然后把大联盟剩余收益平均分配给每*收稿日期：2 0 2 1-11-2 4基金项目：湖北省教育厅科学技术研究项目资助（Q20211111)；湖北省
5、冶金工业过程系统科学重点实验室开放基金项目资助(Y2017905).作者简介：袁柳洋（198 8-)，女，湖北武汉，副教授，主要研究方向：优化理论与算法及全局优化.中图分类号：0 2 2 5文章编号：0 2 55-7 7 97(2 0 2 3)0 4-0 2 97-10接收日期：2 0 2 2-0 4-0 2298一个参与人但结果导致参与人的收益区别在于其初始个人收益的不同，一定程度上忽视了个人对于联盟的贡献2 0 16 年，文献 15 将ED值和CIS值进行凸组合得到-CIS值，用于求解效用可转移合作博奔，并证明其合理性.受文献 13 的启发，本文在求解非合作-合作双型博奔时采用-CIS值对
6、合作博奔阶段进行求解，将求得的分配值作为非合作博奔阶段的支付值，从而得出非合作博奔阶段的纯策略纳什均衡解在利用-CIS值对双型博奔求解时，首先令其特征函数满足无相关性条件；然后，采用-CIS值作为双型博奔的均衡解，证明了均衡解的存在性和相关性质；最后，通过两个数值实例说明基于-CIS值的非合作-合作双型博奔均衡解的合理性，并与文献 13 所采用的方法对比，说明本文所给方法的有效性.本文改进了文献 13 提出的基于 CIS 值的双型博奔模型，提出基于-CIS 的非合作-合作双型博奔新理论框架，在求解不满足无外部性条件的非合作合作双型博奔问题的同时一定程度上强调个体的贡献性，使双型博奔的求解方法更
7、具普适性.2非合作合作双型博奔模型及-CIS值本节首先介绍非合作合作双型博奔模型，其次说明-CIS值的定义.定义2.1 6 设参与人集合为N=1,2,n),p(N）是集合N的幂集，对于任意的联盟ACN，一个n人非合作合作双型博奔记为：其中：（1）幂集是一个集合的所有子集组成的集合，即表示所有可能形成的联盟的集合；(2)对于ViEN，s i 为参与人i选择的策略，则参与人i所有可能选择的策略为策略集S,即有 s=(sl,s2,.,s),S=(S1 S2.S);(3)A为联盟，对于每个联盟A N，参与人i选择策略si，特征函数是V(s)(A)：p(N）R，那么V(si)（A）是N的所有子集A上的实
8、值函数，即联盟A的收益，通常情况下,V(s)(0)=0,0 表示空集;(4)对于ViN,0i1，其中i是参与人i的信心指数.在上述双型博奔的定义中：条件（1）解释了什么是幂集；（2）刻画了参与人的策略选择；(3)说明了参与人形成联盟后的价值；（4)描述了参与人的乐观程度，且参与人越乐观，该指数越大.如果合作博奔的解是单值解时，信心指数可以忽略，此时n人非合作-合作双型博奔可以简记为 ;在最初提出的非合作合作双型博奔中，要求特征函数满足加总性、无外部性和不协调性时，可以得到非合作合作双型博奔的有效解具体的三个性质的定义如下：定义2.2 6 对于Vi EN,如果一个双型博奔(S1,S?,S;V(s
9、)(A)）满足加总性条件,则对每个策略局势siE Si,有：数学杂志(Sl,S2,.,Sn;V(s)(A);l,2,.,a).(S1,S,.,Sn;V(s)(A).nV(s)(N)-V(s)(N(i)=V(s)(N).i=1Vol.43No.4加总性条件说明在双型博奔第2 阶段的合作博奔中，参与人的附加值之和等于该博奔中创造的总价值；若特征函数符合该条件，那么该合作博奔的核心存在且唯一。定义2.3 6)对于ViE N,如果一个双型博奔(S,S?,，Sn;V(s)(A)）满足无外部性条件,则对ri,siE Si,且s-i S-i,有:其中：(1)s-i=(sl,(2)S-i=(SI S2 Si-
10、1 Si+1 Sn).无外部性条件说明参与人的策略选择不会影响其他参与人所能得到的价值.定义 2.4 6 对于 Vi E N,如果一个双型博奔(S1,S?,S;V(s)(A)满足不协调性条件,则对ri,si E Si,且r-i,s-i E S-i,有:当且仅当不协调性条件说明，当一个参与人改变策略时，对其所创造的整体价值的影响独立于其他参与者的策略选择.或者说，当其他参与人不改变其行为策略时，没有参与人愿意改变其行为策略，即保证非合作博奔纳什均衡解的存在 13.Q-CIS值是由ED值和CIS值进行凸组合得到的.定义2.5 15】在合作博奔V(s)(N)中，对于任意参与人Vi N,sES,0i1
11、,有:(s)(N)=CIS;(s)(N)+(1-)ED;(s)(N).(2.1)其中：袁柳洋等：基于-CIS值的非合作-合作双型博奔的求解V(r,s-)(N(i)=V(s,s-)(N(i).,si-1&i+1V(r,r-)(N)V(s*,s-i)(N),V(ri,s-i)(N)V(s,s-i)(N),299snnCIS;(s)(N)=V(s)(i)ED;(s)(N)(s)(N)-ZV(s)(i)j=11(s)(N).(2.2)(2.3)将式(2.2）和式(2.3）代入式(2.1）有：np(s)(N)=V(s)(i)且-CIS值具有总体有效性，即：nV(s)(N)=s(s)(N)=(V(s)(i
12、)i=1(s)(N)-ZV(s)(G).j=1n(s)(N)-ZV(s)(i).i=1j=1(2.4)n3003非合作合作双型博奔模型的求解本节首先讨论双型博奔均衡解的存在条件，然后给出求均衡解的计算步骤.非合作一合作双型博奔的均衡解定义如下。定义3.1在双型博奔(S1,S2,.,Sn;V(s)(A)中,对每个参与人iE N,s E S,r Si,则s*=（s 1，：，s ）E S为其非合作博奔的纯策略纳什均衡解时，有：此时参与人的获益价值也是该博奔的纳什均衡为(s*)(N),(s*)(N),：，%(s*)(N),并将该非合作-合作双型博奔的均衡解记为 s*；（(s*)(N),(s*)(N)，
13、：，%(s*)(N).为研究基于-CIS值的双型博奔均衡解存在的条件，文献 13 定义无相关性条件如下：定义3.2 13 对于ViE N,一个双型博奔(S1,S2,S;V(s)(A)满足无相关性条件,如果对 ri,si E Si,且 r-i,s-i S-i,有 V(s)(i)=V(ri,s-i)(i),且数学杂志P8(s*)(N)%(ri,s-)(N).nVol.43nj=1,ji无相关性条件表示，当参与人i改变策略而其他参与人的策略不变时，参与人i的单值收益不变，且其他参与人的单值收益之和也不变.定义3.3 6）在双型博奔(S1,S,S;V(s)(A)中如果存在 s*S,有:rES则称策略局
14、势s*具有有效性.当双型博奔的特征函数满足无相关性条件时，均衡解的存在性由下面定理3.1给出.定理3.1假设双型博奔（S1,S,，S;V(s)(A)）的特征函数满足无相关性条件，则s*；（(s*)(N),(s*)(N),：，P%(s*)(N)）是该双型博奔的均衡解，当且仅当对于任意的riEsi,有:(3.1)证必要性：假设 s*;（p(s*)(N),(s*)(N)，：，P%(s*)(N)）是双型博奔的均衡解，则由定义3.1,有：由式(2.4)可得:V(s*)(i)+从而|NIV(s*)(i)+V(s*)(N)-V(s*)Gi)j=1,jiV(s*)(N)=maxV(r)(N),V(s*)(N)
15、V(r,s-)(N),p8(s*)(N)(r,s-)(N),V(s*)(N)-V(s*)(G)V(r,s-)(i)+j=1(r,s-)(N)-LaV(r,s)(G),n|NIV(ri,s-*)(i)+V(r,s-)(N)j=1n-ZaV(r,s-)(),j=1j=1No.4则再根据定义3.2,且0 1,有：充分性：因为V(s*)(N)V(r,s-i)(N)，且双型博奔满足无相关性条件,则对于0 1,有：a(I I-1)(s)()+V(s)(M)-j=1,ji(IN|-1)V(ri,s-)(i)+V(r,s-)(N)-从而 aV(s*)(i)+V(s )(N)-D -1 a V(s )()a V
16、(r,-)()+V(r i,-)(N)-D=1 V(ri,s-)(),即得证.作为定理3.1的特殊情况，可得到下面推论.推论 3.1 假设双型博奔(S1,S2,Sn;V(s)(A)）满足V(s)(）=V(r ,s-)(i),(i =1,2,n)，则对于任意的 r S,(s*;(s*)(N),P(s*)(N),.,P%(s*)(N)是该双型博奔的均衡解，当且仅当对于任意的ri Si，有：证必要性：假设（s*；（(s*)(N),(s*)(N)，%(s*)(N)）是该双型博奔的均衡解，则由定义3.1,有:由式(2.4)可得V(s*)(i)+:从而|NiV(s)(i)+V(s*)(N)-Zav(s*)
17、(G)a|Niv(r,s-)()+V(r,-)(N)-av(r,s-)(),袁柳洋等：基于-CIS值的非合作-合作双型博奔的求解a(I/1)(s)()+V(s)(M)-nV(s*)()j=1,j牛inV(ri,s-)(i),j=1,jiV(s*)(N)V(ri,s-*)(N).V(s*)()nV(r,s-)(i),j=1,j+iP%(s*)(N)%(ri,s-*)(N),V(s*)(N)V(r,s-i*)(N).p(s*)(N)(ri,s-)(N),V(s*)(N)-aV(s*)(j)aV(r,s-*)j=1j=1301(r,s-*)(N)-ZaV(r,s)(),j=1j=1302又V(s*)
18、(G)=V(r,s-)(i),且 0 1,有V(s*)(N)V(r,s-)(N).充分性:因为 V(s*)(N)V(r,s-)(N),且V(s*)()=V(ri,s-)(i),对于0 1,alNiv(s)(i)+V(s)(N)-Zav(s)(G)a|niv(r,s-)(i)+V(r,-*)(N)-Zav(r,-)(G),即(s*)(N)(ri,s-)(N),得证.定理3.2 假设双型博奔（S1,S?，Sn;V(s)(A)）的特征函数满足无相关性条件和不协调性条件，则当 s*;（(s*)(N),(s*)(N)，：，(s*)(N)）是该双型博奔的均衡解时，s*是一个有效策略.证V(s*)(N)-V
19、(r)(N)=V(s,r2,.,)(N)-V(r)(N)+V(s),s2,3,.r)(N)由定理3.1和不协调性条件可得上述等式的右边每个组合都非负，从而V(s*)(N)V(r)(N),由定义3.3可知，策略局势s*具有有效性.定理3.3假设双型博奔（S1,S2，Sn;V(s)(A)）的特征函数满足无相关性条件，当策略局势s*具有有效性时，s*；（(s*)(N),(s*)(N)，%(s*)(N)）是该双型博奔的均衡解.证当策略局势s*具有有效性时，对任意rE S,可得V(s*)(N)V(r)(N),则式(3.1）成立，再由定理3.1,有 s*；（p(s*)(N),(s*)(N)，%(s*)(N
20、)）是该双型博奔的均衡解。推论3.2 假设双型博奔（S1,S2,.,S;V(s)(A)）满足V(s)(i）=V(r ,s-i)(i）和不协调性条件，则当 s*；（s(s*)(N),(s*)(N)，P%(s*)(N)）是该双型博奔的均衡解时，策略局势s*具有有效性.推论3.3假设双型博奔(S1,S2,S;V(s)(A)满足V(s)(i)=V(r,s-)(i),当策略局势s*具有有效性时，s*;(s*)(N),(s*)(N),，%(s*)(N)是该双型博奔的均衡解.本文中定理3.2 和定理3.3及其推论都得到了与文献 6 相同的结论，区别在于特征函数的要求文献 6 中非合作合作双型博奔均衡解存在的
21、充要条件是要求特征函数满足加总性条件和无外部性条件，而本文的模型与文献 13 类似只需要特征函数满足无相关性条件；同时本文对文献 6 给出的有效解的条件也做了弱化，即特征函数满足无相关性条件和不协调性条件即可.下面给出求解非合作合作双型博奔均衡解的计算步骤.步骤1：首先得到一个合作博奔V(s)(N)，该合作博奔是在任意的策略局势sE S下形成的；然后求该合作博奔V(s)(N）的解，利用-CIS值对每个策略局势下进行求解。本文将ED值看作效率分配，将CIS值看作公平分配，可以权衡效率与公平凸组合时的取值.比如令的取值为，从而参与人i(i=1,2，n）在每个策略局势下的分配值就可以得到;数学杂志j
22、=1-V(s,2,.,)(N)+.+V(s*)(N)-V(s,.,s-1,)(N)Vol.43j=1No.4步骤2：步骤1得到了参与人i(i=1,2,，n）的分配值，将其作为每个策略局势sES下非合作博奔的支付值，以此形成非合作博奔，再求解其纯策略纳什均衡解.4数值实例分析例1在一个简单供应链中，有三个参与人，分别记R1,R2和R3，他们之间既存在竞争元素也存在合作元素.三个参与人都需要作出策略选择，其目的都是使各自利益最大化每个参与人都有2 个策略选择：不做广告（记为0）和做广告（记为1)表1给出三个参与人在不同策略局势下的联盟效用值(数据主要来源于文献 13)如在策略局势（不做广告，不做广
23、告，不做广告）即（0,0,0）下，所形成的合作博奔的特征函数为V(1)=2,V(2)=3,V(3)=4,V(1,2)=5,V(2,3)=8,V(3,1)=5,V(1,2,3)=11,表示的是组成的不同联盟在此策略局势下的收益.且通过表1可以看出，当参与人R2和R3都选择做广告时，无论参与人R1做广告与否，其单值收益始终为2，但是对于无参与人R1参加的联盟收益会产生影响，所以特征函数不满足无外部性，从而表1中特征函数对于加总性、无外部性和不协调性条件均不满足0R20V(1,2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2 0V(2,3)=8,V(2)=3V(3,1)=5,V(3)=4R1V(1,2,
24、3)=121V(1,2)=5,V(1)=2 V(2,3)=7,V(2)=2 V(3,1)=5,V(3)=5在三个参与人R1,R和R3之间既存在竞争元素也存在合作元素时，可将其看作一个非合作合作双型博奔，利用文献 6 给出的方法求解时会发现策略局势（做广告，做广告，不做广告）即（1,1,0）的核心不存在，导致无法求解利用文献 13 给出的方法求解其结果如表2所示.R11(18,18,36)6(66666，6下面用本文给出的方法进行求解。步骤1：利用-CIS值求解每个策略局势下的合作博奔的结果如表3所示.袁柳洋等：基于-CIS值的非合作-合作双型博奔的求解表1不同策略局势下联盟的收益R31V(1,
25、2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=8,V(2)=3V(3,1)=8,V(3)=4V(1,2,3)=9V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=5,V(2)=2V(3,1)=5,V(3)=5表2 不同策略局势下合作博奔的CIS值01R2R2010(16,22，6，6（1212303031R20V(1,2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=7,V(2)=3V(3,1)=5,V(3)=4V(1,2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=7,V(2)=2V(3,1)=8,V(3)=5R30(162266，1616元34)1V(1,2,3)=
26、12V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=9,V(2)=3V(3,1)=5,V(3)=4V(1,2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=8,V(2)=2V(3,1)=7,V(3)=51304与文献 13 的方法相比，虽然都可以求出合作博奔阶段的解，但通过数值对比可以看出，本文给出的方法在一定程度上使得初始个人价值较低的参与人获得了比文献 13 方法略高的收益值，可以更好的进行分配，在一定程度加强个人贡献程度的作用.步骤2：由步骤1形成的非合作博奔，将参与人分配值作为非合作博奔的支付值，可以求出非合作博奔的纯策略纳什均衡点有两个:s1(做广告，不做广告，不做广告）即（1，
27、0,0）和s2(不做广告，做广告，做广告）即（0.1.1），其对应的纳什均衡值为（号，号，碧）和（%，号）。则当参与人R1,R2和R3选择上述策略局势的时候可以得到最大化的利润值为其纳什均衡值由上述分析可知例1中的特征函数满足无相关性条件，且当参与人R1,R2和R3选择策略局势S1和S2时，有：V(si)(N)V(r,si)(N),V(s2)(N)V(r,s2)(N),从而（8 1;（%，号，碧)和（s2;（号，告，%）为例1的均衡解。反之也成立，与定理3.1的结论具有一致性.例2 假设例1中的收益表如表4所示.01V(1,2,3)=13V(1,2,3)=11V(1,2)=5,V(1)=2 V
28、(1,2)=5,V(1)=2 0V(2,3)=8,V(2)=3 V(3,1)=5,V(3)=4R1V(1,2,3)=12V(1,2)=5,V(1)=2 1V(2,3)=7,V(2)=2 V(3,1)=7,V(3)=5 对该双型博奔的合作阶段进行求解，利用本文提出的双型博奔模型可得到结果如表5所示.表5不同策略局势下合作博奔的-CIS值数学杂志表3不同策略局势下合作博奔的-CIS值R30R200R11(，21，6，表4不同策略局势下联盟的收益R30R2V(2,3)=8,V(2)=3V(3,1)=8,V(3)=4V(1,2,3)=9V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=5,V(2)=2V(3
29、,1)=5,V(3)=5Vol.431R2102266，16190V(1,2,3)=14V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=7,V(2)=3V(3,1)=5,V(3)=4V(1,2,3)=13V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=7,V(2)=2V(3,1)=8,V(3)=51R2V(1,2,3)=12 V(1,2)=5,V(1)=2 V(2,3)=9,V(2)=3V(3,1)=5,V(3)=4V(1,2,3)=10V(1,2)=5,V(1)=2V(2,3)=8,V(2)=2V(3,1)=7,V(3)=51No.4由上述分析可知例2 中的特征函数满足无相关性条件和不协调性条件，求
30、得非合作博奔阶段的纯策略纳什均衡点为:8 3(不做广告，不做广告，做广告）即（0,0，1）其对应的纳什均衡值为（，号，号)，当参与人选择策略局势3时，有V(s)N）V(r，s )(N），从而【8 3;（窖，号，)为例2 的均衡解，与定理3.2 的结论具有一致性。5结论非合作合作双型博奔模型的提出是为了解决既包含了冲突元素又存在了合作元素的博奔问题，而求解非合作合作双型博奔的重中之重在于合作博奔阶段的求解本文提出并证明了采用-CIS值对双型博奔合作博奔阶段的合作博奔进行求解的可行性，进而得出非合作博奔阶段的非合作博奔的纯策略纳什均衡解虽然本文降低了文献 6 提出的求解要求，也改进了文献 13 提
31、出的求解方法，但是-CIS值本身并不符合个体合理性的要求，故选其求解合作博奔时，可能会影响联盟的稳定性，因此可以进一步考虑其他形式的解.袁柳洋等：基于-CIS值的非合作-合作双型博奔的求解0R200.26，R161305R31R2101参考文献1 Morgenstern O.Theory of games and economic behaviourM.New Jersey:Princeton UniversityPress,1947.2 Kuhn H W.Classics in game theoryM.New Jersey:Princeton University Press,1997.3
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38、del.Firstly,the Q-CIS value is introduced and applied to the solutionsof the cooperation stage of the biform game,then the Nash equilibrium of the non-cooperativestage is solved,a new solution method is proposed for the noncooperative-cooperative biform gamebased on the Q-CIS value.The solution method of the original biform game model is extendedand its feasibility is proved.Keywords:non-cooperative game;cooperative game;Biform games;-CIS value2010 MRSubject Classification:91A10;91A12
