1、057数学文化专栏/COLUMNS一、模型思想的内涵模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实情境或具体情境中抽象出数学问题；用数学符号建立方程、不等式、函数，来表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。我们如何理解并借助数学的语言与方法描述一类现实问题，培养学生的模型思想？图1中的路程模型中，速度对应的即是图中的每份数，时间对应的即是份数，路程所对应的是总数。教学中，要让学生通过画一画、找一找、说一说，明白三者之间的关系，勾连速度、时间、路程与乘法中的每份数、份数与总数之间的关系，将路程问题与乘法的意义联系起来。由此推及，
2、总价、单价、数量，行数、列数、总数等问题其实都是路程模型。图1数学课程标准修订组组长、东北师范大学原校长史宁中教授在谈到模型思想时，认为：“在小学阶段最重要的模型有总量模型、路程模型、植树模型、工程模型。总量模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的关系是平等的，是并列的关系，部分量之间的运算要用加法。因此，总量模型还可以称为加法模型，这种模型具体表现为：总量=部分量+部分量。”显然，加法模型是一切运算的基础，在加、减、乘、除法中最基本的是加法，减法是加法的逆运算，乘法是求几个相同加数的特殊加法，除法又是乘法的逆运算，特殊的减法又可以看作除法。二、培养模型思想的路径培养学生的模型思想
3、离不开具体的教学内容，我们可以通过两个结合，寻找培养模型思想的路径。（一）教材融合，系统化备课我们以国家课程为基本，并与藏在数学书中的秘密读本相整合，寻找合适的内容以引导学生不断感悟模型思想。一个有趣的现象：面对四年级的数学题“256-199=256-200”时，学生往往容易写成“256-199=256-200-1”。结合藏在数学书中的秘密 三年级下册中的相关内容，在结束万以内数的口算与笔算加减法学习后，笔者设计了一节简便计算课。【课堂链接】计算中的捷径（片段1）设置“889+598”的应用情景：爸爸告诉明明，家里卖旧电器得了598元，现在要把这些钱都给他。明明原来有889元，加上598元后一
4、共有多少钱？师：明明现在一共有多少钱，怎么列式呢？你打算怎么算？文/伍春梅加法模型思想的培养策略058智慧/WISDOM生：笔算。师：可以口算吗？生：先算（很困难）教师再播放一段视频，视频中爸爸给了明明600元，面对多出来的2元，明明又该怎么办？学生看后进行讨论，同桌互相说一说。方法一：再现视频“明明：哦，我要找爸爸2元。”板书：889+598=1487 600 -2师追问：为什么加了600要减去2？生：因为爸爸多给了2元。师：我们来看给钱的过程。爸爸先给了600元，就要加上600；因为多给了，明明就要找2元给爸爸，就要减去2元。师总结：看来，多加上的要减去（多加要减）方法二：889+598=
5、1487 887+600师追问：怎么889变成了887，598为什么又变成了600呢？这样变化之后，总钱数有变化吗？（移多补少）从三年级与四年级的学生反馈对比看，很显然，学生不会因年龄的增加自主构建知识体系。有的教师听完课后表示：这不是四年级的内容吗？好像也是奥数的内容？但笔者认为，学完竖式计算后增加简便计算教学，在知识层面是对竖式计算的有益补充。在能力层面可以培养学生灵活的计算能力，学生在简便运算时进行多种数的拆分、重组、转化，有利于突出运算思维的推理，有利于提升运算策略，有利于提高思维的敏捷性、灵活性；在思想层面可以引导学生初步构建总量模型，构建的过程培养了学生的想象力，这个想象力主要表现
6、在利用现实背景，想象事物中的各种数量，以及数量之间的各种数量关系。只要是能培养学生核心素养的东西，让学生越早接触越好。但在培养的过程中也要考虑以下问题：小学生学习数学更多地依靠生活经验与几何直观，建模思想再重要，也应具体内容具体处理。一刀切、模式化的做法容易流于形式，出现异化。因此，实际教学中不仅要考虑什么时候教，还要考虑以怎样的方式进行。此外，在整合教材内容时还要注意教材编排的知识系统、学生掌握知识的实际情况、恰当的时机和方式方法等原则。（二）单元整合，结构化教学结构化能反映数学内部的本质与联系。备课是教学的第一个环节，备课要备大单元，把握单元知识的内在结构、相邻内容的关联结构、相关内容的整
7、体结构、学科内容的全景结构，关注数学逻辑体系、内容主线，寻找知识点中蕴藏的模型思想。例如在教学小数加减法之前，要沟通整数、小数之间的关系，理清二者的意义联结：在数位顺序表上，小数与整数之间以“个”位为对称轴，两边的数位呈现对称关系，向左不断累加，向右不断细分，整数与小数其计数本质都是十进制；而整数与小数的加减法，其本质也是一致的，即相同的计数单位相加减。沟通二者之间的意义与算法的本质，有利于实现知识的结构、方法的建模、思维的培养。三、培养模型思想的四个环节模型思想的建立是一个很复杂的过程，我们在实践的基础上总结出了建模的四个环节：强化问题情景，产生建模需求；给予探索空间，建立模型；多元表征，解
8、释模型；精练固化，应用模型。（一）强化问题情境，产生建模需求教学中要通过创设学生熟悉的情境，提供有挑战的问题，让学生产生建立模型的需求。上海市数学特级教师曹培英老师认为：“适宜的问题应该是小学生熟悉的，建模信息容易获取的，建模所需数学知识比较简单；是学生第一次遇到的新问题且有别于常规的实际问题，解决问题的过程或答案具有一定的开放性；对学生有一定的吸059数学文化专栏/COLUMNS引力。”比如，一年级的练习题：1+9=（）+（）=（）+（）=（）+（）=10。学生往往会在第一个空里填10。究其原因，是因为他们没有理解这个总量模型。教师可以把模型设计成情景应用题：现在教室里有10个同学，不知道男
9、同学有多少，女同学有多少人，你能说说有多少种可能吗？学生就可以通过列举，得到1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=1+9=10。此情景有一定的开放性，可以发散学生的思维，也可以帮助学生建立加法模型，还可以培养学生的方程思想。（二）给予探索空间，建立模型这里的探索空间包括时间与方式两个维度。学生间知识起点与思维是不一样的，学生在问题情境中自主探索，与同伴、教师交流，产生思维的碰撞，在一次又一次的猜想、验证、纠错中理解知识，将知识内化成自己的东西。如果教师只是以告知的方式或单一的方式进行教学，学生体验不深刻，不仅不能掌握知识、形成技能，更重要的是不能培养数学方法与能力，更
10、别提思想了。如图2中的植树问题，教师带领学生分析路太长，画图不方便，然后让学生自主选择路的长度画图，接着通过对比总结在不同长度的路中种树，相同的地方是树的棵数总比段数多1（两端植），最后再次利用“一一对应”，理解多的那棵在哪里。图2（三）多元表征，解释模型建立模型的过程如此复杂、抽象，而解释模型又是最重要的环节。数学语言有三种常用的表现形态，即文字语言形态、符号语言形态、图形语言形态。教学中实现三种语言形态的相互转换，可以帮助学生解释模型，理解内涵，理清思维过程。小学数学教学有其特殊性。鉴于小学生的年龄特征，对建模思想中的具体内容教师应采用不同的方式进行处理，如以举例子、讲故事等帮助学生建模、
11、解释模型，也可以利用直观图帮助学生解释模型，直观图包括事物直观（人民币、水果图等），单位模型直观（矩形图、方块图等），几何直观（数轴图、统计图、线段图等）。数学语言有三种常用的表现形态，即文字语言形态、符号语言形态、图形语言形态。教学中实现三种语言形态的相互转换，可以帮助学生解释模型，理解内涵，理清思维过程。060智慧/WISDOM【课堂链接】计算中的捷径（片段3）师出示问题：59+63+58+57+64，这么多数，明明该怎么算呢？生自主探索：提供柱形图（见图3），利用手中的柱形图圈一圈或自己想办法算一算，展示出思考的过程。图3方法一：移多补少生：把63移1个给59，移2个给58，把64移3个
12、给57，这样就凑成了5个60，还多了一个，就是301（见图4）。1 2 359+63+58+57+64=301 图4方法二：多加减去，少加再加生：把59变成60，多算就减1-1+3-2-3+459+63+58+57+64=301（60）（60）（60）（60）（60）师小结：看来，多个接近整十的数相加，可以把这些数看成接近的整十数来计算，这个方法就是凑整。学生通过动手移一移或补一补，让每一步都有直观支撑，也给学生的计算搭建了脚手架。在这个过程中，学生理解凑整的道理，借助直观图形突破算理，构建模型。（四）精练固化，应用模型当模型基本建立后，我们要用不同的练习固化模型，应用模型。有效的练习可以帮助
13、学生巩固模型，可以设计一些基础练习、反例练习、变式练习、提升练习。【课堂链接】计算中的捷径（片段3）1.建模练习：填一填，在里填运算符号，在（）里填数。628+204=628+200+（）364+292=364+300-（）632-395=632-（）+（）362-54-46=362-（5446）96+103+98+101+105=（）（）+（）2.基础练习，形成技能：看谁算得又对又快。328+297 659-306 753-395438+203 632-73-27 84+76+82+79+80+773.应用练习：根据325-297=325-300+3讲一个故事。4.挑战练习：1000-285可以怎样算呢？模型思想的建立是一个循序渐进的过程，真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程，当生活中的原型结构抽象出数学结构时，模型思想就建立起来了。愿我们都能做一个真正的探索者，与学生同生共长。（作者单位：四川省乐山市峨眉山市第一小学校）
