1、第 卷第 期学报 年 月 :././.基于诣零根是素理想的两类广义正合序列赵 伟王芊芊唐文婷熊文楷(阿坝师范学院 数学学院四川 汶川)摘 要:通过引入弱非诣零同态像的概念结合非诣零同态像与非诣零同态核基于诣零根是素理想而得到的 正合序列和 正合序列及其关系得以刻画 作为应用相关结果推广到了乘法封闭子集的情况关键词:诣零根素理想 正合序列 正合序列中图分类号:.文献标志码:文章编号:()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金“环上的同调理论及其应用”()中国博士后科学基金“非诣零正合序列的性质及其应用”()四川省自然科学基金“乘法理想论中的同调方法研究”()阿坝师范学院资助项目()作者简介:赵伟(
2、)男四川眉山人阿坝师范学院数学学院副教授博士研究方向:环与同调引言正合序列是经典同调理论的基本工具 随着同调理论的的发展也出现了一些广义正合序列例如 正合序列、正合序列、正合序列、正合序列、挠正合序列等 本文主要讨论由诣零根是素理想而得到的 正合序列和 正合序列的性质及其关系如果环 的诣零根()(所有幂零元素构成的理想)是 的一个素理想那么 称为一个 环设 是一个 环 是一个 模 则 存在 ()使得 是 的子模 如果 则称 为一个非诣零挠模如果 则称 为一个非诣零无挠模记 ()考虑分式环 和分式模 的结构有环同态:()/和模同态:()/可以验证()是一个()模设 是一个 环 是 模 到 的同态
3、 定义映射:()()(/)()/则 是()模()到()的同态定义.若:()()是()模的一个单同态(满同态同构)则称 为一个 单同态(满同态、同构)另一方面对于分式环 和分式模 有是 模 设 是 模 到 的同态 定义映射:(/)()/则 是 模 到 的同态定义.如果:是 模的一个单同态(满同态、同构)则称 为一个 单同态(满同态 同构)除非特殊说明本文恒设 是一个 环并记 ()非诣零同态核与(弱)非诣零同态像这一节我们将介绍本文中最重要的工具:非诣零同态核与(弱)非诣零同态像设:是 模的同态 则 的核记为 ()令 存在 使得()()则 是 的子模且()定义.子模 称为 模同态 的非诣零同态核引
4、理.设:是 模的同态 则 为 单同态当且仅当 是非诣零挠模即 证.由于 为 单同态当且仅当 是单同态当且仅当 若 则()于是我们有(/)()/若 为 单同态则/即存在 使得 于是 我们得到 是非诣零挠模即 反之设 若(/)()/则存在 使得()即 由已知得 于是/为 单同态 定理.设:是 模的同态 则以下等价:()为 单同态()()为 单同态证.()()由于 为 单同态当且仅当 是单同态当且仅当 若 则存在 使得()我们有/()()/于是/即 所以 ()()由引理.可得 为 单同态()()设 为 单同态由引理.得 若/则/()()/于是存在 使得()()即 因此存在 使得 即/所以 我们有 为
5、 单同态 由定理.知一个单同态必是 单同态也是 单同态设:是 模的同态 则 的像记为 存在 使得 ()令 存在 使得 ()与 存在 使得 ()则 与 都是 的子模且 定义.子模 称为 模同态 的非诣零同态像子模 称为 模同态 的弱非诣零同态像引理.设:是 模的同态则 证.设 则存在 使得 ()记 ()有 于是 ()反之若 可设 ()其中 所以存在 使得 即 ()这就是 于是有 引理.一个 模的同态:是 满同态当且仅当 引理.一个 模的同态:是 满同态当且仅当 的上核 /是一个非诣零挠模证.设 为 满同态 若 /则存在 使得/(/)()/我们有 ()()这说明/是一个非诣零挠模反之设/是一个非诣
6、零挠模 若 于是 /由已知则存在 使得 ()即/()/()(/)这说明 是一个 满同态 定理.设:是 模的同态 则 为 满同态当且仅当 证.因为 为 满同态当且仅当/是一个非诣零挠模 设 /则/是一个非诣零挠模当且仅当存在 使得 ()当且仅当 所以 为 满同态当且仅当 显然一个满同态必是 满同态也是 满同态 正合序列与 正合序列设 是 模与同态的序列 若 即 则称 为一个复形若 则称 为一个正合序列 若()()()是()模的复形(正合序列)则称 为一个 复形(正合序列)这是基于诣零根是素理想的一类广义正合序列 本节我们给出基于诣零根是素理想的另一类广义正合序列即 正合序列的概念并证明它们具有与
7、正合序列类似的性质引理.设 是 模与同态的序列 则:()序列 是 复形当且仅当 ()序列 是 正合序列当且仅当 定义.若 是 模的复形(正合序列)则称 为一个 复形(正合序列)引理.一个 模与同态的序列 是 正合的当且仅当()/和()/都是非诣零挠模证.设序列 是 正合的由于(/)()/于是存在 使得()若 ()/其中 记()则()/()/()()/()/(/)/由于 于是有()/(/)()/即存在 使得()()于是()()这就是说 (/)即()/是非诣零挠模同理若 ()/其中 记()则存在 使得()()即 (/)所以()/也是非诣零挠模反 之 设()/和()/都是非诣零挠模 当 时则存在 使
8、得()()对任意 有(/)()/若/则(/)()/于是存在 使得 从而 ()我 们 有/()/()即 这说明序列 是 正合的 引理.设 是 模与同态的序列 则:()()/是非诣零挠模当且仅当 ()()/是非诣零挠模当且仅当 证.()因为()/是非诣零挠模当且仅当对任意 存在 使得()即()若 则存在 使得 ()所以()()即 因 此 反之对任意 有()所以存在 使得()因此()/是非诣零挠模()设()/是非诣零挠模 若 则存在 使得()于是我们得到 ()/这是非诣零挠模因此有 使得 这样就存在 使得 ()所以 反之设 对 ()/有 存在 使得 ()即 所以()/定理.一个 模与同态的序列 是
9、正合的当且仅当 证.由 正合序列的定义与引理.和引理.可证 借助非诣零同态核与(弱)非诣零同态像的概念由引理.与定理.可以看到 正合序列和 正合序列与正合序列有完全类似的性质下面我们说明 正合序列与 正合序列的关系引理.设 是 模与同态的序列 则 当且仅当 证.仅需证必要性 设 则存在 使得 ()因为 ()所以有 使得()即 推论.若序列 是 正合的则 是 正合的证.因为 所以由引理.、引理.与定理.可证 在这一节的最后我们给出例子说明:一般情况下 正合序列不一定是 正合的例子.考虑短正合序列:/这里 是 的非诣零理想即 ()于是/是一个非诣零挠 模 序列 是 正合序列但不是 正合序列综上所述
10、正合序列和 正合序列都是 正合序列 正合序列不一定是正合序列也不一定是 正合序列 正合序列不一定是正合序列正合序列也不一定是 正合序列 正合序列与 挠正合序列设 是一个具有单位元非平凡的交换环 是 的一个子集 若 且当 时有 则称 是 的一个乘法封闭子集 特别地当 是 的一个素理想时 是 的一个乘法封闭子集 例如当 是 环时记 ()则 是 的一个乘法封闭子集 于是前两节的概念和结论可以自然地推广到乘法封闭子集的情况设 是一个具有单位元非平凡的交换环 是一个乘法封闭子集:是 模的同态如果:是 模的单同态(满同态、同构)则称 称为一个 单同态(满同态 同构)设 是 模与同态的序列 如果 是 模的正
11、合序列则称 为 正合序列同理如果:()()是()模的单同态(满同态、同构)则称 为一个 挠单同态(挠满同态 挠同构)设 是 模与同态的序列 如果()()()是()模的正合序列则称 为 挠正合序列设 是一个 模 则 存在 使得 是 的子模 如果 则称 为一个 挠模如果 则称 为一个 无挠模设:是 模的同态 令 存在 使得 ()存在 使得 ()与 存在 使得()()可以类似地证明以下定理:定理.一个 模的同态:是 单同态当且仅当 当且仅当 是 挠单同态同态:是一个 满同态(挠满同态)当且仅当 ()(下转第 页)(.):().:【责任编辑:王 菁】(上接第 页)定理.一个 模与同态的序列 是 正合序列(挠正合序列)当且仅当 ()事实上在文献中已经提到了 正合序列和 挠正合序列只是在这里我们给出了一个类似经典的刻画参考文献:.:.():.():():.().():():.():.赵伟.诣零根为素理想的几类交换环.内江师范学院学报():.():.:【责任编辑:王兴全】
