1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版9.3双曲线及其性质基础篇考点一双曲线的定义及标准方程1.(2021湖北十堰月考,3)方程x22+my21m=1表示的曲线是双曲线,则m的取值范围是()A.-2m1C.m-2D.-1m0,b0)的焦点F(c,0)到渐近线的距离为32c,且点(2,3)在双曲线上,则双曲线的方程为()A.x29y23=1B.x212y23=1C.x23y212=1D.x23y29=1答案D3.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34x2图象上的点,则|OP|=()A.2
2、22B.4105C.7D.10答案D4.(2017课标理,5,5分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28y210=1B.x24y25=1C.x25y24=1D.x24y23=1答案B5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,13)双曲线x2-my2=1的渐近线方程为y=2x,则m=.答案14考点二双曲线的几何性质1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线x216y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.45答案A2.(2023届长春六中月考,8)若双曲线C:x
3、2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=12xC.y=3xD.y=5x答案A3.(2019课标理,10,5分)双曲线C:x24y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32答案A4.(2020课标,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32答案B5.(多选)(2023届河北邯郸摸底,10)已知双曲线C:x2
4、a2y23=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则()A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的一条渐近线方程为y=3xC.|PF1|-|PF2|=2D.双曲线C的焦距为4答案ABD6.(多选)(2023届重庆八中入学考,11)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是()A.与x2a2y2b2=1(a0,b0)共轭的双曲线是y2a2x2b2=1(a0,b0)B.互为共轭的双曲线的渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e22D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上答案CD7.(多选)(
5、2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线的方程可能是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-y24=1D.x24-y2=1答案ABD8.(2022河北邯郸一中开学考,8)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为54,O为坐标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,若OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为()A.8B.4C.22D.2答案A9.(多选)(2020新高考,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条
6、直线答案ACD10.(2023届安徽十校联考,14)已知双曲线E:x2a2y29=1(a0)的渐近线方程为y=3x,则双曲线E的焦距等于.答案4311.(2021新高考,13,5分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=3x12.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.答案413.(2020北京,12,5分)已知双曲线C:x26y23=1,则C的右焦点的坐标为;C的焦点到其渐近线的距离是.答案(3,0)314.(2021全国乙文,14,5分)双曲线x24y25=
7、1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.答案515.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=33x,则m=.答案-3考点三直线与双曲线的位置关系1.(2022河北沧州一中月考,8)已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y2=1的左,右焦点,点M在直线x-y+3=0上,则|MF1|+|MF2|的最小值为()A.213B.6C.26D.5答案C2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C:x216y29=1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点,且AFB=60,则OBF的面积为()A.92B.932C.32D.332答案D3.(多选)(2023
8、届湖北摸底联考,12)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,左、右顶点分别为A1,A2,则()A.过点A2与C只有一个公共点的直线有2条B.若C的离心率为5,则点F关于C的渐近线的对称点在C上C.过F的直线与C的右支交于M,N两点,则线段MN的长度有最小值D.若C为等轴双曲线,点P是C上异于顶点的一点,且|A1A2|=|PA2|,则PA1A2=6答案BCD4.(2023届浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P
9、,且OPOQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.解析(1)由离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上,可得ca=2,5a23b2=1,结合a2+b2=c2,解得a=2,b=23,c=4,则双曲线的方程为x24y212=1.(2)由OPOQ=0,可得OPOQ,设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=-1kx,由y=kx,3x2y2=12解得x2=123k2,y2=12k23k2,则|OP|2=12(1+k2)3k2,将k换为-1k,可得|OQ|2=12(1+k2)3k21,13k23,所以|OP|2+|OQ|2=24(1+k2)2(3k2)(3k21),令1+k2=t43t4,则k2=t-1
10、,所以|OP|2+|OQ|2=24t2(4t)(3t4)=24t23t2+16t16=243+16t16t2=24161t122+1,当t=2,即k2=1时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24.5.(2021新高考,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|TB|=|TP|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.解析(1)由题意知|F1F2|=217,因为|MF1|-|MF2|=20,b0
11、,xa),则2a=2,2c=217,解得a=1,c=17,则b2=c2-a2=(17)2-12=16,所以M的轨迹C的方程为x2-y216=1(x1).(2)如图,设T12,m,直线AB的方程为y-m=k1x12,由y=k1x12+m,x2y216=1(x1),得(16-k12)x2+(k12-2k1m)x-14k12+k1m-m2-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=k122k1mk1216,x1x2=14k12+m2k1m+16k1216,则|TA|=1+k12x112,|TB|=1+k12x212,所以|TA|TB|=(1+k12)x112x212=(m2+12
12、)(1+k12)k1216.设直线PQ的方程为y-m=k2x12,同理得|TP|TQ|=(m2+12)(1+k22)k2216,因为|TA|TB|=|TP|TQ|,所以(m2+12)(1+k12)k1216=(m2+12)(1+k22)k2216,所以1+k12k1216=1+k22k2216,即k12=k22,由题意知k1k2,所以k1+k2=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.6.(2022新高考,21,12分)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2y2a21=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=22,求PA
13、Q的面积.解析(1)点A在双曲线上,4a21a21=1,解得a2=2.C的方程为x22-y2=1.设直线l:y=kx+m.联立,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4km12k2,x1x2=-2m2+212k2,kPA=y11x12,kQA=y21x22,由kPA+kQA=0,得y11x12+y21x22=0,化简得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k2m2+212k2+(m-2k-1)4km12k2-4(m-1)=0,化简得(2k+m-1)(k+1)=0,2k+m-1=0或k+1=0.
14、若2k+m-1=0,则l:y=k(x-2)+1,这时直线l过点A,不合题意,k+1=0,k=-1.(2)由(1)知k=-1,从而l:y=-x+m,不妨设直线PA的倾斜角为2,直线QA的倾斜角为00,b0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=3x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1x20,y10.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.M在AB上;PQAB;|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析(1)由题意知c=2
15、,ba=3,c2=a2+b2,解得a=1,b=3,C的方程为x2-y23=1.(2)易知直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+b(k3),由y=kx+b,3x2y23=0消y得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由0,得b2+3-k20,由根与系数的关系得x1+x2=2kb3k2,x1x2=b233k2,x1-x2=(x1+x2)24x1x2=23(b2+3k2)3k2,设点M的坐标为(x0,y0),则直线PM、QM的方程分别为y-y0=-3(x-x0),y-y0=3(x-x0),故y1y0=3(x1x0),()y2y0=3(x2x0),()(*)-(*)得y1-y2=-3(x1+x2
16、-2x0),即k(x1-x2)=-3(x1+x2-2x0),解得x0=kb2+3k2+kb3k2,又(*)+(*)得y1+y2-2y0=3(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,k(x1+x2)+2b-2y0=3(x2-x1),解得y0=3b2+3k2+3b3k2=3kx0.故点M的轨迹方程为y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.若选择作为条件,作为结论,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,则由y=k(x2),y=3x,得x=2kk3,y=23kk3,A2kk3,23kk3,同理B2kk+3,23kk+3,又由y=k
17、(x2),y=3kx,得x=2k2k23,y=6kk23,M2k2k23,6kk23,xM=xA+xB2,yM=yA+yB2,即M为AB的中点,|MA|=|MB|.若选择作为条件,作为结论,当直线AB的斜率不存在时,点M即为F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,不符合题意,舍去;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m0,3.不妨设点A在渐近线y=3x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).由y=m(x2),y=3x,得x=2mm3,y=23mm3,A2mm3,23mm3,同理B2mm+3,23mm+3,此时xM=xA+xB2=2m2m23,yM=yA+yB2=6m
18、m23,点M在直线y=3kx上,6mm23=3k2m2m23,解得k=m,故PQAB.若选择,作为条件,作为结论,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,则yA=k(xA2),yA=3xA,解得xA=2kk3,yA=23kk3,同理,得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,设线段AB的中点为C(xC,yC),则xC=xA+xB2=2k2k23,yC=yA+yB2=6kk23,由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的中垂线上,即点M在直线y-yC=-1k(x-xC)上,将该直线方程与y=3kx联立,得xM=2k2k23=xC,yM
19、=6kk23=yC,即点M恰为线段AB的中点,故点M在直线AB上.综合篇考法一求双曲线的标准方程1.(2022天津河西期末,4)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为()A.x29y216=1B.x216y29=1C.y29x216=1D.y216x29=1答案C2.(2022海南琼海嘉积三中月考,5)双曲线x2a2y2b2=1的离心率为5,且过A(4,43),则双曲线方程为()A.x2-y24=1B.x26y224=1C.x28y248=1D.x24y216=1答案D3.(2020天津,7,5分)
20、设双曲线C的方程为x2a2y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24y24=1B.x2y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=1答案D4.(2022天津和平模考,4)在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x-y=0,则双曲线C的方程为()A.x234y23=1B.4x23y23=1C.4x23y23=1或x234y23=1D.4y23x23=1答案B5.(2021湖南永州二模,15)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2y2b
21、2=1(a0,b0)的离心率为355,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为5,则双曲线C的方程为.答案x25y24=16.(2022广州二模,13)写出一个同时满足下列性质的双曲线方程:.中心在原点,焦点在y轴上;一条渐近线方程为y=2x;焦距大于10.答案y224x26=1(答案不唯一)7.(2023届湖北起点考试,21)已知双曲线C与双曲线x212y23=1有相同的渐近线,且过点A(22,-1).(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点,且DEDF=0,DGEF于G,证明:存在定点H,使得|GH|为定值.解析(1)因为双
22、曲线C与双曲线x212y23=1有相同的渐近线,所以设双曲线C的方程为x2-4y2=(0).因为双曲线C过点A(22,-1),所以(22)2-4(-1)2=,解得=4,所以双曲线C的标准方程为x24-y2=1.(2)证明:(i)当直线EF的斜率存在时,设EF:y=kx+m,E(x1,y1),F(x2,y2),联立y=kx+m,x24y2=1,消y整理得(4k2-1)x2+8kmx+4(m2+1)=0,由=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)0,得4k2-m2-10,由根与系数的关系得x1+x2=8km4k21,x1x2=4m2+44k21,因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k
23、2x1x2+km(x1+x2)+m2,DEDF=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,所以(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,所以(k2+1)4m2+44k21+(km-2)8km4k21+m2+4=0,化简,得3m2+16km+20k2=0,即(3m+10k)(m+2k)=0,所以m1=-2k,m2=-103k,均满足4k2-m2-10,b0)的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率为()A.52B.3C.2D.5答案A2.(2019课标文,10,5分)双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin
24、40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50答案D3.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且F1PF2=60,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A4.(2022江苏百校大联考,4)图1所示的为陕西历史博物馆收藏的国宝金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右支、y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为10
25、33,下底座外直径为2393,杯高为6,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则双曲线C的离心率为()A.2B.2C.3D.4答案A5.(2022江苏海门开学考,7)从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮廓为圆O,将篮球表面的线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为()A.2B.62C.355D.477答案D6.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2y25=1(a0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是.答案327.(2023届广
26、东佛山顺德教学质量检测一,15)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为l:y=bax,左、右焦点分别是F1,F2,过点F2作x轴的垂线与渐近线l交于点A,若AF1F2=6,则双曲线C的离心率为.答案2138.(2023届湖北名校联盟联合测评,14)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作圆O:x2+y2=a2的切线l,l与圆O切于点B,并与双曲线的右支交于点C,若|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为.答案59.(2023届广西北海一模,15)如图,已知双曲线M:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,
27、正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上,则双曲线M的离心率是.答案13+1310.(2022浙江,16,4分)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x100,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.答案212.(2022长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为.答案5+1213.(2021广州一模,15)已知圆(x-1)2+y2=4与双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则C的离心率为.答案26314.(2021东北三省三校第一次联考,15)双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点(P在第二象限,Q在第一象限),F1P=2PQ,F1QF2Q=0,则双曲线C的离心率为.答案4第 14 页 共 14 页
