1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版9.3双曲线及其性质考点一双曲线的定义及标准方程1.(2021北京,5,4分)若双曲线x2a2y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为()A.2x2-y2=1B.x2-y23=1C.5x2-3y2=1D.x22y26=1答案B设双曲线的半焦距为c,由题意可知2a23b2=1,e=ca=2,c2=a2+b2,解得a2=1,b2=3,则双曲线的方程为x2-y23=1.2.(2017课标理,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C
2、的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B本题考查双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24-y25=k(k0),即x24k-y25k=1,双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为x24-y25=1.故选B.一题多解椭圆x212+y23=1的焦点为(3,0),双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,a2+b2=(3)2=9,双曲线的一条渐近线为y=52x,ba=52,联立可解得a2=4,b2=5.双曲线C的方程为x24-y25=1.3.(2017课标文,5
3、,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.PFx轴,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=1231=32.故选D.4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1D.y2-x24=1答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=2x,故排除D.故选C.
4、5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案A由题意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为x25-y220=1.6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),
5、则双曲线C的方程为()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1答案A由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=bax,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为x24-y212=1,故选A.评析本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学
6、生的运算求解能力和逻辑推理能力.7.(2016课标,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,2c=22|m|=4,|m|=1,方程x2m2+n-y23m2n=1表示双曲线,(m2+n)(3m2-n)0,-m2n3m2,-1n0,3m2n0,m2+n+3m2n=4,或m2+n0,3m2n0,(3m2n)(m2+n)=4,由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.知识拓展对于方程mx
7、2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D设A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由题意得x02+y02=22,y0=b2x0,可得x02=164+b2,y02=b24164+b2=4b24+b2,结合2x02y0=2b,可得b2=12.所以双曲线的方程为x24-y212=1.故选D.9.(2015课标文,16,5分)已知F是
8、双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.答案126解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F,则F(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF|=2+|PF|.APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF|AF|+2=17,即当A、P、F三点共线时,APF的周长最小.设P点坐标为(x0,y0),y00,由x03+y066=1,x02y028=1得y02+66y0-96=0,所以y0=26或y0=-86(舍去).所以当APF的周长最小时,该三角形的面积S=
9、12666-12626=126.10.(2015课标文,15,5分)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=12x,则该双曲线的标准方程为.答案x24-y2=1解析根据渐近线方程为x2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=(0).因为双曲线过点(4,3),所以42-4(3)2=,即=4.故双曲线的标准方程为x24-y2=1.考点二双曲线的几何性质1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线x216y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.45答案A双曲线x216y29=1的渐近线方程为y=34x,根据对称性,不妨取y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到直
10、线3x-4y=0的距离d=|3340|32+(4)2=95,故选A.易错警示在写渐近线方程时首先要根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点位置:双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax;双曲线y2a2x2b2=1(a0,b0)的焦点在y轴上,渐近线方程为y=abx.2.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且F1PF2=60,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A设双曲线C的标准方程为x2a2y2b2=1(a0,b0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF
11、2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即4c2=9a2+a2-23aacos 60,可得ca=72,所以双曲线C的离心率e=ca=72.故选A.方法总结求圆锥曲线的离心率,一般是利用条件得到a,c或a,b的关系式,然后利用离心率的定义得出结论.3.(多选)(2020新高考,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线答案ACDA选项中,若mn
12、0,则方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1,因为mn0,所以01m0,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=1n,所以此曲线表示圆,半径为1n,所以B不正确.C选项中,若mn0,则方程mx2+ny2=1可化为y2=1n(xR),即y=1n,表示两条直线,所以D正确.故选ACD.4.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12答案D由题意得e=ca=5,又a2+b2=c2,b2a2=c2a2a2=e2-1=4,b2=1,a2=14.a0,a=12.易错警示把双曲线的离心率错认为e=1b2a2而出错.5.(
13、2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案Ba2=3,b2=1,c=a2+b2=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.6.(2015课标理,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20,则y0的取值范围是()A.33,33B.36,36C
14、.223,223D.233,233答案A若MF1MF2=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=3为半径的圆上,则x02+y02=3,x022y02=1,解得y02=13.可知:MF1MF20点M在圆x2+y2=3的内部y020,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,3a),又M点在双曲线E上,于是(2a)2a2-(3a)2b2=1,解得b2=a2,e=1+b2a2=2.8.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D双曲线x2a2-y2b2=1的两
15、条渐近线方程为y=bax,则点(3,-4)在直线y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba=43,所以e=1+b2a2=53.故选D.9.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.12B.22C.1D.2答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为c,b2a,c,b2a,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以A1B=c+a,b2a,A2C=ca
16、,b2a,因为A1BA2C,所以A1BA2C=0,即(c+a)(c-a)-b2ab2a=0,即c2-a2-b4a2=0,所以b2-b4a2=0,故b2a2=1,即ba=1,又双曲线的渐近线的斜率为ba,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.10.(2014课标理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m答案A由题意知,双曲线的标准方程为x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(3m+3,0).其中一条渐近线的方程为y=1mx,即x-my=0,
17、由点到直线的距离公式可得d=|3m+1|1+(m)2=3,故选A.评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力.11.(2014课标文,4,5分)已知双曲线x2a2-y23=1(a0)的离心率为2,则a=()A.2B.62C.52D.1答案D由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a2=4,又a0,所以a=1,故选D.12.(2013课标理,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()A.y=14xB.y=13xC.y=12xD.y=x答案Cb
18、a=e21=541=12,C的渐近线方程为y=12x.故选C.13.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3答案B不妨设双曲线C为x2a2-y2b2=1(a0,b0),并设l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=2b2a,2b2a=22a,b2=2a2,离心率e=ca=1+b2a2=3,故选B.14.(2016课标,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=13,则E的
19、离心率为()A.2B.32C.3D.2答案A解法一:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,可得Mc,b2a,|MF1|=b2a.由sinMF2F1=13,可得cosMF2F1=1132=223,又tanMF2F1=|MF1|F1F2|=b2a2c,b2a2c=13223,b2=22ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-22ac=0e2-22e-1=0,e=2.故选A.解法二:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,得Mc,b2a,|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sinMF2F1=|MF1|MF2|=b2a2a+b2a=13a2=b2a=b
20、,e=1+ba2=2.故选A.15.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,e12e22=t2t211,即e1e21.结合图形易知mn,故选A.思路分析根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立e12e22关于m的解析式,然后判定范围即可.16.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=33x,则m=.答案 -3解析由题意知双曲线的焦点在y轴上,且m0,b0)的左焦点为F,
21、过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x100)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.答案4解析由双曲线C:x2m-y2=1(m0),得渐近线方程为y=mmx,结合题设得-3m=mm,m=3,双曲线C的方程为x23-y2=1,C的焦距为23+1=4.20.(2022全国甲文,15,5分)记双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.答案 2(答案不唯一,在(1,5范围内取值均可)解析欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则00,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距
22、离为32c,则其离心率的值是.答案2解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为|bc|b2+(a)2=32c,b=32c,b2=34c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=ca=2.23.(2017课标理,15,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案233解析本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b,则A点到渐近线y=bax的
23、距离为32b,又将y=bax变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|ba|a2+b2=|ab|c,所以|ab|c=32b,即ac=32,所以双曲线离心率e=ca=233.24.(2017课标文,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.答案5解析由题意可得3a=35,所以a=5.25.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案2解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.e=ca=1+b2a2=1+m1=3,m=2.26.(2016山东理,13,5分)已知双曲线
24、E:x2a2-y2b2=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案2解析由已知得|AB|=|CD|=2b2a,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以4b2a=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-12(舍去).评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键.27.(2016北京理,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直
25、线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析由OA、OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=22,根据c2=2a2可得a=2.评析本题考查等轴双曲线及其性质.28.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的一条渐近线为3x+y=0,则a=.答案33解析由双曲线x2a2-y2=1(a0)知其渐近线方程为y=1ax,又因为a0,所以1a=3,解得a=33.29.(2014浙江理,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双
26、曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案52解析由x3y+m=0,y=bax得Aam3ba,bm3ba,由x3y+m=0,y=bax得Bam3b+a,bm3b+a,则线段AB的中点为Ma2m9b2a2,3b2m9b2a2.由题意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=54,e=52.考点三 直线与双曲线的位置关系1.(2022新高考,21,12分)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2y2a21=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l
27、的斜率;(2)若tanPAQ=22,求PAQ的面积.解析(1)点A在双曲线上,4a21a21=1,解得a2=2.C的方程为x22-y2=1.设直线l:y=kx+m.联立,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4km12k2,x1x2=-2m2+212k2,kPA=y11x12,kQA=y21x22,由kPA+kQA=0,得y11x12+y21x22=0,化简得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k2m2+212k2+(m-2k-1)4km12k2-4(m-1)=0,化简得(2k+m-1)(k
28、+1)=0,2k+m-1=0或k+1=0.若2k+m-1=0,则l:y=k(x-2)+1,这时直线l过点A,不合题意,k+1=0,k=-1.(2)由(1)知k=-1,从而l:y=-x+m,设直线PA的倾斜角为,直线QA的倾斜角为,则PAQ=-,|tan(-)|=22,即kPAkQA1+kPAkQA=22,由题意知kQA=-kPA,解得kPA2=2或kPA2=12.双曲线C的渐近线斜率为22,kPA2=2,由对称性可取kPA=-2,则kQA=2,直线PA的方程为y=-2(x-2)+1,联立y=2(x2)+1,x22y2=1,得x1=10+423,同理,x2=10423,|PA|=1+kPA2|x
29、12|=43(2+1)3,|QA|=1+kQA2|x22|=43(21)3,由tanPAQ=22得sinPAQ=223,SPAQ=12|PA|QA|sinPAQ=1243(2+1)343(21)3223=1629.2.(2022新高考,21,12分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=3x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1x20,y10.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.M在AB上;PQAB;
30、|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析(1)由题意知c=2,ba=3,c2=a2+b2,解得a=1,b=3,C的方程为x2-y23=1.(2)易知直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+b(k3),由y=kx+b,3x2y23=0,得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由0,得b2+3-k20,x1+x2=2kb3k2,x1x2=b233k2,x1-x2=(x1+x2)24x1x2=23(b2+3k2)3k2,设点M的坐标为(x0,y0),则直线PM、QM的方程分别为y-y0=-3(x-x0),y-y0=3(x-x0),故y1y0=3(x1x0),()
31、y2y0=3(x2x0),()(*)-(*)得y1-y2=-3(x1+x2-2x0),即k(x1-x2)=-3(x1+x2-2x0),解得x0=kb2+3k2+kb3k2,又(*)+(*)得y1+y2-2y0=3(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,k(x1+x2)+2b-2y0=3(x2-x1),解得y0=3b2+3k2+3b3k2=3kx0.故点M的轨迹方程为y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.若选择作为条件,作为结论,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,则由y=k(x2),y=3x,得x=2kk3,y=23
32、kk3,A2kk3,23kk3,同理B2kk+3,23kk+3,又由y=k(x2),y=3kx,得x=2k2k23,y=6kk23,M2k2k23,6kk23,xM=xA+xB2,yM=yA+yB2,即M为AB的中点,|MA|=|MB|.若选择作为条件,作为结论,当直线AB的斜率不存在时,点M即为F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,不符合题意,舍去;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m0,3.不妨设点A在渐近线y=3x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).由y=m(x2),y=3x,得x=2mm3,y=23mm3,A2mm3,23mm3,同理B2mm+3,2
33、3mm+3,此时xM=xA+xB2=2m2m23,yM=yA+yB2=6mm23,点M在直线y=3kx上,6mm23=3k2m2m23,解得k=m,故PQAB.若选择,作为条件,作为结论,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,则yA=k(xA2),yA=3xA,解得xA=2kk3,yA=23kk3,同理,得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,设线段AB的中点为C(xC,yC),则xC=xA+xB2=2k2k23,yC=yA+yB2=6kk23,由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的中垂线上,即点M在直线y-yC=-1k(x-xC)上,将该直线方程与y=3kx联立,得xM=2k2k23=xC,yM=6kk23=yC,即点M恰为线段AB的中点,故点M在直线AB上.第 15 页 共 15 页
