1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版专题三函数的概念与基本初等函数3.1函数及其性质考点一函数的概念及表示1.(2015湖北文,7,5分)设xR,定义符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,1,x0,0,x=0,x,x0,0,x=0,x,x0,解得x1,AB=x|-2x0,解得x1,故选D.5.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=4|x|+lgx25x+6x3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6答案C要使函数f(x)有意义,需满足4|x|0,x25x+6x30,即|x|4,(x3)(x2)x30,解之得2x3或30
2、,即(log2x)21,log2x1或log2x2或0x12.故f(x)的定义域为0,12(2,+).7.(2016课标文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=1x答案D函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.易错警示利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.评析本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.8.(2022北京,4,4
3、分)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有()A. f(-x)+f(x)=0B. f(-x)-f(x)=0C. f(-x)+f(x)=1D. f(-x)-f(x)=13答案Cf(x)=11+2x,f(-x)=11+2x=2x2x+1,f(x)+f(-x)=11+2x+2x2x+1=1.故选C.一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时, f(0)+f(0)=12+12=1, f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时, f(-1)-f(1)=11+2111+210,故B选项错误.根据排除法可知选C.9.(2022北京,11,5
4、分)函数f(x)=1x+1x的定义域是.答案(-,0)(0,1解析由题意得x0,1x0,解得x1且x0,所以函数f(x)的定义域为(-,0)(0,1.10.(2015课标文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=.答案-2解析因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a(-1)3-2(-1),故a=-2.11.(2016江苏,5,5分)函数y=32xx2的定义域是.答案-3,1解析若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.考点二分段函数1.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=1x,x0,2x,x0,则f(f(-
5、2)=()A.-1B.14C.12D.32答案Cf(-2)=2-2=14,f(f(-2)=f 14=1-14=12,选C.2.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=3xb,x1,2x,x1.若f f56=4,则b=()A.1B.78C.34D.12答案Df56=356-b=52-b,当52-b1,即b32时,f52b=252b,即252b=4=22,得到52-b=2,即b=12;当52-b32时,f52b=152-3b-b=152-4b,即152-4b=4,得到b=7832,舍去.综上,b=12,故选D.3.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=a2x,x0,2x,x1,则ff
6、12=;若当xa,b时,1f(x)3,则b-a的最大值是.答案 3728;3+3解析f12=122+2=74,ff12=f74=74+471=3728.f(x)的大致图象如图.当xa,b时,1f(x)3,由图可得b1且b+1b-1=3,b=2+3,f(a)=1,-a2+2=1,解得a=1或a=-1,(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一题多解:第二空:当x1时,y=-x2+22,f(x)=3x+1x-1=3(x1),故x=2+3,令-x2+2=1(x1),解得x=1或x=-1,令x+1x-1=1(x1),无解,amin=-1,b=2+3,(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.5.
7、(2014课标文,15,5分)设函数f(x)=ex1,x1,x13,x1,则使得f(x)2成立的x的取值范围是.答案(-,8解析f(x)2x1,ex12或x1,x132x1,xln2+1或x1,x8x0,则函数在R上单调递增;若k0且a1)单调性的判断:若a1,则函数在R上单调递增;若0a0,则函数在(0,+)上单调递增;若0,则函数在(0,+)上单调递减.2.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+4|sinxC.y=2x+22-xD.y=ln x+4lnx答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,
8、D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+33,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则00),则y=2x+22-x=t+4t,t0,易知y=t+4t在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,tR且t0,则y=ln x+4lnx=t+4t,显然t0,所以幂函数y=x12在(0,+)上单调递增.B选项,指数函数y=2-x=12x在(0,+)上单调递减.C选项,因为012f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1B.,13(
9、1,+)C.13,13D.,1313,+答案A当x0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f (x)=11+x+2x(1+x2)20,f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得13x1,故选A.7.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)|x|且f(x)2x,xR.()A.若f(a)|b|,则abB.若f(a)2b,则abC.若f(a)|b|,则abD.若f(a)2b,则ab答案B依题意得f(a)2a,若f(a)2b,则2af(a)2b,2a2
10、b,又y=2x是R上的增函数,ab.故选B.8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx1(x2)的最大值为.答案2解析解法一:f (x)=1(x1)2,x2时, f (x)0恒成立,f(x)在2,+)上单调递减,f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2.解法二:f(x)=xx1=x1+1x1=1+1x1,f(x)的图象是将y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.y=1x在2,+)上单调递减,f(x)在2,+)上单调递减,故f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得 f(x)=1+1x1.x2,x-11,01x11,11+1x12,即11,则f(
11、f(-2)=, f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2)=f(4)=4+64-6=-12.当x1时, f(x)=x20,当x1时,f(x)=x+6x-626-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6f(-2),则a的取值范围是.答案12,32解析由题意知函数f(x)在(0,+)上单调递减.因为f(2|a-1|)f(-2), f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)f(2),所以2|a-1|212,解之得12a32.考点四函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|
12、ln x|D.y=2-x答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x
13、)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案By=x
14、3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移
15、1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A, f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=2x2x+2,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=2x+2,此函数为非奇非偶函数,故选B.5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x1,2时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.32C.74D.5
16、2答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为1,2内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f92的值.解析由题知f(x+1)=f(x+1),f(x+2)=f(x+2),即f(x)=f(x+2),f(x)=f(x+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+-f(1)=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.又由题知f(x+1)为奇函数,xR,所以f(1)=0,即a+b=0.由得a=2,b=2,从而f(x)=-2x2+2,x1,2.所以f92=f52+2
17、=f52=f12=f32=(2)322+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),f(3)=f(1)=0,f92=f12=f32,由结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以f92=(2)322+2=52.6.(多选)(2022新高考,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f (x)的定义域均为R,记g(x)=f (x).若f322x,g(2+x)均为偶函数,则()A. f(0)=0B.g12=0C. f(-1)=f(4)D.g(-1
18、)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(x),则g(x)=f (x)=cos(x),由于f322x=sin322x=sin322x=-cos(2x),g(2+x)=cos(2+x)=cos(2+x)=cos(x),所以f322x,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=cos(-)=-g(2),故选项D错误.由于f322x是偶函数,所以f 322x是奇函数,即g322x是奇函数,则g32=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g12=g322=g32+2=-g32+2=g1
19、2=g32212=g32+212=g2+12=g212=g32=0,故选项B正确.由f322x=f32+2x,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知f322x=f32+2xf32x=f32+xf(-x)=f(3+x),取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对两边求导知-f (-x)=f (3+x)f (-x)=-f (3+x),即g(-x)=-g(3+x),取x=-32,知g32=0.g(2+x)=g(2-x)g(-x)=g(x+4),由知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g12=
20、g212=g32=0,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.7.(2017课标文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=-(-12)=12.8.(2015课标理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),则ln(x+a+x2)+ln(a+
21、x2-x)=0,ln(a+x2)2-x2=0,得ln a=0,a=1.9.(2014课标文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,f(-1)=f(1)=3.10.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=2x+sinxx2+1,则g(x)为奇函数,有g(
22、x)max+g(x)min=0,故M+m=2.考点五 函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x12时, fx+12=fx12.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D当x12时,由fx+12=fx12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f13=13,则f53=()A.-53B.13C.13D.53答案C解题指导:求出函数f(x)的周期再进行
23、转化,即可求解.解析由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f53=f532=f13=13,故选C.知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为a.3.(2022新高考,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则k=122f(k)=
24、()A.-3B.-2C.0D.1答案A令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x),故f(x+2)+f(x)=f(x+1).由得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),故f(0)=2,同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(
25、5)+f(6)=0,所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7,又f(x)+g(2-x)=5,所以由-,得f(x)+f(x-2)=-2,则f(x
26、+2)+f(x)=-2,所以由-,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.对于,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.对于,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7,对于,令x=1,得f(1)+g(1)=5,由,得f(1)=-1.对于,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1.对于,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3.则i=122f(k)=5(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-
27、1)+(-3)=-24.故选D.5.(2021新高考,13,5分)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析f(x)=x3(a2x-2-x)为偶函数,f(1)=f(-1),2a-12=12a2,a=1.当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.6.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=lna+11x+b是奇函数,则a=,b=.答案 -12;ln
28、 2解析f(x)是奇函数,f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x1,x-1,即当x=-1时,a+11x=0,a+12=0,a=-12,此时f(x)=ln1+x2(1x)+b,f(x)为奇函数且在x=0处有意义,f(0)=0,即ln1+02(10)+b=ln12+b=0,b=-ln12=ln 2.综上可知,a=-12,b=ln 2.7.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=4x,则f 52+ f(1)=.答案-2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x),又f(x)的周期为2,f(x+2)=f(x),f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,f(1)=0.又f52=f12=-f12=-412=-2,f52+f(1)=-2.第 14 页 共 14 页
