1、高考数学,专题五三角函数与解三角形5.4解三角形,考点一正弦定理和余弦定理,考向一正弦定理的应用,1.(2023届沈阳四中月考,5)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A+cos B=0,C=,则=()A.2-B.C.D.答案D,2.(2022河北衡水中学模拟,3)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则c=()A.2B.C.D.1答案D,3.(2019课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=()A.6B.5C.4D.3答案A,4.(2
2、022江苏盐城响水中学学情分析,8)在ABC中,a、b、c分别为ABC的内角A、B、C的对边,sin A(sin A+2sin Bsin C)=3sin 2B+3sin2C,则角C的大小为()A.B.C.D.答案A,5.(2020课标文,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.(1)求A;(2)若b-c=a,证明:ABC是直角三角形.解析(1)由已知得sin2A+cos A=,即cos2A-cos A+=0.所以=0,cos A=.由于0A,故A=.(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=sin A.由(1)知B+C=,所以s
3、in B-sin=sin.即sin B-cos B=,sin=.由于0B,故B=.从而ABC是直角三角形.,考向二余弦定理的应用,1.(2023届重庆南开中学质检,4)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,b=,A=30,则c=()A.B.2C.或2D.2或答案C,2.(2020课标理,7,5分)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A.B.C.D.答案A,3.(2021全国甲文,8,5分)在ABC中,已知B=120,AC=,AB=2,则BC=()A.1B.C.D.3答案D,4.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,14)ABC的内角A,B,C的对
4、边分别为a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-,5.(2021浙江,14,6分)在ABC中,B=60,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=,cosMAC=.答案2,6.(2017天津文,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析(1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理的推论,得cos A=-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bs
5、in B,得sin B=.由(1)知,A为钝角,所以cos B=.于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A,=-=-.,7.(2021新高考,18,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.(1)若2sin C=3sin A,求ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.解析(1)2sin C=3sin A,2c=3a,又c=a+2,2(a+2)=3a,a=4,b=a+1=5,c=a+2=6,
6、cos A=,sin A=,SABC=bcsin A=56=.(2)由已知得cba,若ABC为钝角三角形,则角C为钝角,cos C=0,a(0,3).同时还应考虑构成ABC的条件,即a+bca+(a+1)a+2a1.综上所述,当a(1,3)时,ABC为钝角三角形.存在正整数 a=2,使得ABC为钝角三角形.,考点二解三角形及其应用,1.(2022广东深圳六校联考二,3)已知ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解的一组条件是()A.a=1,b=2,A=B.a=2,b=1,A=C.a=2,b=3,A=D.a=4,b=3,A=答案C,2.(2023届长春六中月考,1
7、0)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若sin(A+B)=sin A+sin B,cos C=,且SABC=4,则c=()A.B.4C.D.5答案B,3.(2017课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.答案B,4.(2021全国乙,理15,文15,5分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60,a2+c2=3ac,则b=.答案2,5.(2022全国甲,理16,文16,5分)已知ABC中,点D在边BC上,ADB=120,AD=2,C
8、D=2BD.当取得最小值时,BD=.答案-1,6.(2020天津,16,14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin的值.解析(1)在ABC中,由余弦定理及a=2,b=5,c=,有cos C=.又因为C(0,),所以C=.(2)在ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sin A=.(3)由ac及sin A=,可得cos A=,进而sin 2A=2sin Acos A,=,cos 2A=2cos2A-1=.所以,sin=sin 2Acos+cos 2Asin=+=.,7.(2023届湖北摸底
9、联考,18)在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,ABD=45,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=3.(1)求AC的长;(2)求sinADC的值.解析(1)在ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD,因为AB=6,AD=3,ABD=45,所以18=36+BD2-26BDcos 45,化简得BD2-6BD+18=0,解得BD=3,因为BD2+AD2=AB2,所以ADB=90.又DE=2BE,所以DE=2,所以AE2=DE2+AD2=(2)2+(3)2=26,则AE=,又AE=EC,所以AC=2.(2)由ADB=90,AE=,DE=2,AD=3,得
10、sinEAD=,cosEAD=.在ACD中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcosEAD=50,则CD=5.在ACD中,由正弦定理,得=,则sinADC=.,8.(2020新高考,17,10分)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sinB,C=,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析方案一:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=
11、c.,由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.由csin A=3,得c=b=2,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件.由C=和余弦定理得=.,由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由c=b,与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.,9.(2021新高考,19,12分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.解析(1)证明:在ABC中,由BDsinABC=asin C及正弦定理可得BDb=ac,又b2=ac,所以BDb=b2,故BD=b.(2)由AD=2DC得AD=b,DC=,在ABD中,cos A=,在ABC中,cos A=.故,
