1、高考数学,专题七数列7.3等比数列,考点一等比数列及其前n项和1.等比数列的相关概念1)定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.=q(n2,nN*,q0).2)通项公式:an=a1qn-1(nN*,a1,q0).推广:an=amqn-m(m,nN*,mn).3)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称G为a与b的等比中项,即G=(a,b同号).2.等比数列的前n项和公式Sn=,考点二等比数列的性质1.等比数列的单调性设等比数列an的首项为a1,
2、公比为q.1)当q1,a10或01,a10时,数列an为递减数列;3)当q=1时,数列an是常数列;4)当q0时,数列an是摆动数列.2.等比数列的运算性质1)若an是等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,qN*.特别地,若2m=p+q,则apaq=.反之,不一定成立.2)若an是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是等比数列,公比为qm.,3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列an,anbn和(0,nN*)是等比数列.3.等比数列的前n项和的性质1)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是
3、等比数列.注意:当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比数列.2)若a1a2an=Tn,则Tn,成等比数列.3)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则=q;若项数为2n+1,则=q.,注意:在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下标的对应关系.,考法等比数列的判定与证明,温馨提示证明一个数列an不是等比数列,只需要说明前三项满足a1a3,或者存在一个正整数m,使得amam+2即可.,例(2022湖南衡阳八中月考,18)已知数列an满足a1=1,a2=,+-=0(n2,nN*).记bn=-.(1)证明:bn是等比数列;(2)设cn=2log2bn+2+bn,求数列cn的前n项和Sn.,解析(1)证明:因为+-=0,所以-=2,整理得bn=2bn-1,因为b1=-=2,所以bn是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)易知bn=2n,因为cn=2log2bn+2+bn=2n+4+2n,所以Sn=(6+8+2n+4)+(2+22+2n)=+=n2+5n-2+2n+1.,
